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【解析】2015届辽宁省沈阳二中高三上学期10月月考数学(文)试题(201410)


沈阳二中 2014——2015 学年度上学期 10 月份小班化学习成果 阶段验收高三( 15 届)数学(文科)试题
命题人:高三数学组 审校人:高三数学组
【试卷综评】 本试卷试题主要注重基本知识、 基本能力、 基本方法等当面的考察, 覆盖面广, 注重数学思想方法的简单应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评学生,有 利于学生自我评价, 有利于指导学

生的学习, 既重视双基能力培养, 侧重学生自主探究能力, 分析问题和解决问题的能力,突出应用,同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

第Ⅰ卷

(60 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确 答案的序号涂在答题卡上.) 1.已知集合 A={x| 0 ? log 4 x ? 1 },B={x|x≤2},则 A∩B=( A.(0,1) B.(0, 2] C.(1,2) )

D.(1,2]

【知识点】交集及其运算;其他不等式的解法.A1 【答案解析】D 解析:由 A 中的不等式变形得:log41<log4x<log44, 解得:1<x<4,即 A=(1,4) ,∵ B=(﹣∞,2],∴ A∩ B=(1,2].故选 D 【思路点拨】求出集合 A 中其他不等式的解集,确定出 A,找出 A 与 B 的公共部分即可求 出交集. 【题文】2.有关下列命题的说法正确的是(
2


2

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:若“x =1 则 x≠1” B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

C.命题“ ? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“ ? x∈R ,均有 x +x+1<0”
2 2

D.命题“若 x=y,则 sinx=si ny”的逆否命题为真命题 【知识点】四种命题.A2 【答案解析】D 解析:对于 A,该命题的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,∴ A 错误; 2 2 对于 B,x=﹣1 时,x ﹣5x﹣6=0,充分性成立,x ﹣5x﹣6=0 时,x=﹣1 或 x=6,必要性不 成立,∴ 是充分不必要条件,B 错误; 2 对于 C,该命题的否定是:“?x∈R,均有 x +x﹣1≥0,∴ C 错误. 对于 D,x=y 时,sinx=siny 成立,∴ 它的逆否命题也为真命题,∴ D 正确. 故选:D. 【思路点拨】A 中,写出该命题的否命题,即可判断 A 是否正确; B 中,判断充分性和必要性是否成立,即可得出 B 是否正确; C 中,写出该命题的否定命题,从而判断 C 是否正确. D 中,判断原命题的真假性,即可得出它的逆否命题的真假性.
2

【题文】3.已知函数 f ? x ? ? m 2 ? m ? 1 x ?5 m ?3 是幂函数且是 ? 0, ?? ? 上的增函数,则 m 的 值为( ) A.2 B.-1 【知识点】函数的性质及应用.B8

?

?

C.-1 或 2
2
﹣ 5m﹣3

D.0 是幂函数,

【答案解析】B 解析:因为函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x 2 2 所以 m ﹣m﹣1=1,即 m ﹣m﹣2=0,解得 m=2 或 m=﹣1.

又因为幂函数在(0,+∞) ,所以﹣5m﹣3>0,即 m<﹣ ,所以 m=﹣1.故选 B. 【思路点拨】依题意利用幂函数的概念,由 m ﹣m﹣1=1,且﹣5m﹣3>0 即可求得 m 的值. 【题文】4.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则 有( )
2

?1? ?1? A.f? ?<f(2)<f? ? ?3? ?2? ?1? ?1? C.f? ?<f? ?<f(2) ?2? ?3?
【知识点】对数值大小的比较.B7

?1? ?1? B.f? ?<f(2)<f? ? ?2? ?3? ?1? ?1? D.f(2)<f? ?<f? ? ?2? ?3?

【答案解析】C 解析:∵ f(2﹣x)=f(x)∴ 函数的对称轴为 x=1 ∵ x≥1 时,f(x)=lnx∴ 函数以 x=1 为对称轴且左减右增,故当 x=1 时函数有最小值,离 x=1 越远,函数值越大,故选 C. 【思路点拨】由 f(2﹣x)=f(x)得到函数的对称轴为 x=1,再由 x≥1 时,f(x)=lnx 得到 函数的图象,从而得到答案. 【题文】5.已知向量 =(x ,y), A. B. C. =( -1,2 ),且 + =(1,3) ,则 D. 等于( )

【知识点】平面向量的坐标运算;向量的模.F2 【答案解析】C 解析: =( + )﹣ =(1,3)﹣(﹣1,2)=(2,1) ,| |= 故选 C. 【思路点拨】利用向量差的坐标表示,求出 =( x,y) ,再由| |= 【题文】 6 .数列 是等差数列, Tn、 Sn 分别是数列 ) 计算即可. 的前 n 项和,且 =

Sn a n 则 6 ?( ? Tn 2n ? 1 b6
A.

6 11

B.

7 13

C.

11 21

D.

12 23

【知识点】等差数列的性质.D2

【答案解析】C 解析:因为等差数列前 n 项和中,S2n+1=(2n+1)an, 所以 S11=11a6,T11=11b6,所以 故选:C. 【思路点拨】直接利用等差数列前 n 项和的性质,S2n+1=(2n+1)an,求出 的值. = = = ,∴ = .

?x ? y ? 2 ? 0 ? 【题文】7. 若变量 x、y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若 2 x ? y 的最大值为 ?1 ,则 a ? ( ?y ? a ?
A.-1 B.1 C.-2 D.2 【知识点】简单线性规划.E5



?x ? y ? 2 ? 0 ? 【答案解析】A 解析:由约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 作出可行域如图, ?y ? a ?

令 z= 2 x ? y ,化为直线方程的斜截式 y=2x﹣z, 由图可知,当直线过 C(﹣a﹣2,a)时 z=2x﹣y 取得最大值﹣1. 即﹣2a﹣4﹣a=﹣1,即 a=﹣1.故选:A. 【思路点拨】由约束条件作出可行域,令 z= 2 x ? y ,化为斜截式,由图得到最优解求出最 优解的坐标,代入目标函数,由其值等于﹣1 求得 a 的值. 【题文】8.tan70°cos10°(1- 3tan20°)的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2
[来源:Zxxk.Com]

)

【知识点】两角和与差的正切函数.C5 【答案解析】B 解析:tan70°cos10°(1﹣ =﹣cot20°cos10°( ﹣1) tan20°)=﹣tan70 °cos10°( tan20°﹣1)

=﹣2cot20°cos10°( =﹣2 =﹣

sin20°﹣ cos20°)

cos10°(sin20°cos30°﹣cos20°sin30°)

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

=1 故选:B. 【思路点拨】先把切转化成弦,进而利用诱导公式,两角和公式和二倍角公式对原式进行化 简整理,求得答案. 【题文】9.已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 A. 1 4 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2

m 的值为( M

)

【知识点】函数的值域.B1 【答案解析】C 解析:根据题意,对于函数 有 , ,当 x=﹣3 或 1 时 y 取最小值 m=2∴ ,
[来源:学&科&网]

所以当 x=﹣1 时,y 取最大值 故选 C.

【思路点拨】函数问题定义域 优先,本题要先确定好自变量的取值范围;然后通过函数的 单调性分别确定出 m 与 n 即可. 【题文】 10. 如图, 在Δ ABC 中,AD ? AB ,BC ?

3 BD , AD ? 1 , 则 AC ? AD = (
(D) 3



(A) 2 3

(B)

3 2

( C)

3 3

【知识点】向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】D 解析:∵ 在△ ABC 中,AD⊥ AB, ∴ = ( =0, ﹣ )? =( = + ) ? 转化成( = ﹣ + ? ? ) + = ? = ? = ?
[来源:学#科#网]

,故选 D. ? ,然后转化成 ? =

【思路点拨】将 ( ﹣ )?

,化简后得

,再进行化简可得结论.

【题文】11. 下列命题正确的个数为( ) ①已知 ?1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的范围是 ?1,7? ;

②若不等式 2 x ? 1>m( x 2 ? 1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的范围是 ( ③如果正数 a, b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 ?8,?? ? ④ a ? log 1 2, b ? log 1 3, c ? ( 3 )
3 2

7 ?1 3 ?1 ; , ) 2 2

1

0.5

大小关系是 a>b>c C.3 D.4

A.1 B.2 【知识点】命题的真假判断与应用.A2

【答案解析】B 解析:① 令 3x﹣y=z,作出可行域和直线 l:y=3x,

可知当直线 y=3x﹣z 过点 A(0,﹣1) (直线 x+y=﹣1 与 x﹣y=1 的交点)时,z 有最小值 1, 当直线过点 B(2,﹣1) (直线 x﹣y=3 与直线 x+y=1 的交点)时,z 有最大值 7, 故 3x﹣y 的范围是[1,7],故① 正确; ② 原不等式可整理为(x ﹣1)m﹣2x+1<0,令 f(m)=(x ﹣1)m﹣2x+1, 2 ∵ 不等式 2x﹣1>m(x ﹣1)对满足|m|≤2 的所有 m 都成立 ∴ ,解得 ,即 <x< ,故② 正确;
2 2

③ ∵ 正数 a,b 且满足 ab=a+b+3, ∴ ab=a+b+3≥2 +3, ∴ ≥ 4,

∴ ﹣1≤﹣2(舍) ,或 ﹣1≥2, ∴ ab≥9,即 ab 的范围是[9,+∞) ,故③ 错误; ④ 因为对数的底数小于 1,而真数大于 1,故对数值为负,即 a<0,b<0,由指数函数可知 c >0,故④ 错误. 故正确答案为:① ② . 故选:B. 【思路点拨】① 借助线性规划的知识可解得;② 变 m 为主元,利用恒成立可求得 x 的范围; ③ 借助基本不等式可得 ab 的范围;④ 借助指对数函数的单调性可判断大小. 【题文】12. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

1 f ( x) ? (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) , 若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为 2



) A. [? , ]

1 1 6 6

B. [?

6 6 , ] 6 6

C.

1 1 [? , ] 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

【知识点】函数恒成立问题;函数奇偶性的判断;函数最值的应用.B1 B4 【答案解析】B 解析:当 x≥0 时,

f(x)=
2 2


2 2 2 2

由 f(x)=x﹣3a ,x>2a ,得 f(x)>﹣a ;当 a <x<2a 时,f(x)=﹣a ; 由 f(x)=﹣x,0≤x≤a ,得 f(x)≥﹣a .∴ 当 x>0 时, ∵ 函数 f(x)为奇函数,∴ 当 x<0 时,
2 2 2 2



. .

∵ 对?x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x) ,∴ 2a ﹣(﹣4a )≤1,解得: 故实数 a 的取值范围是 .故选:B.

【思路点拨】把 x≥0 时的 f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得 x <0 时的函数的最 大值,由对?x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x) ,可得 2a ﹣(﹣4a )≤1,求解 该不等式得答案.
2 2

第Ⅱ卷

(90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 【来.源:全,品?中&高*考*网】已知正项数列 {an } 为等比数列且 5a2 是a4 与3a3 的等 差中项,若 a2 ? 2 ,则该数列的前 5 项的和为_________ 【知识点】等比数列的前 n 项和.D2 【答案解析】31 解析:设正项数列等比数列{an}的公比为 q,∵ 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项, ∴ 10a2=a4+3a3,∴ 10a2= ,又 a2=2,∴ 20=2q +6q,又 q>0.
2

解得 q=2.∴ a1=

=1.∴ 该数列的前 5 项的和=

=31.故答案为:31.

【思路点拨】利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【题文】14.. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a ,b,c,若 a +b =2c ,则 cosC 的最小值为_________ 【知识点】余弦定理.C8 1 2 2 2 2 【答案解析】 解析:因为 a +b =2c ,所以由余弦定理可知,c =2abcosC, 2
2 2 2

cosC=

= ×

≥ .故答案为: .

【思路点拨】通过余弦定理求出 cosC 的表达式,利用基本不等式求出 cosC 的最小值. 【题文】15.对于函数 f ( x) ? ?

?sin x,sin x ? cos x 给出下列四个命题: ?cos x,sin x ? cos x

①该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数 ②当且仅当 x ? ? ? k? (k ? Z ) 时,该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线 x ? ④当且仅当 2k? ? x ?

5 ? ? 2k? (k ? Z ) 对称 4

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时, 0 ? f ( x) ?

2 2

其中正确命题的序号是 (请将所有正确命题的序号都填上) 【知识点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的单调性.B4 C3 C7 【答案解析】③④ 解析:由题意函数 f(x)= 2π]上的图象.由图象知,函数 f(x)的最小正周期为 2π, 在 x=π+2kπ(k∈Z)和 x= +2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值﹣1,故① ② 错误, +2kπ(k∈Z)对称, ,故③ ④ 正确. ,画出 f(x)在 x∈[0,

由图象知,函数图象关于直线 x= 在 2kπ<x< 故答案为

+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ ③ ④

【思路点拨】由题意作出此分段函数的图象,由图象研究该函数的性质,依据这些性质判断 四个命题的真假, 此函数取自变量相同时函数值小的那一个, 由此可顺利作出函数图象. 【题文】16. 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? e x ? 【知识点】函数的图象.B10 【答案解析】 (??, e ) 解析:由题意可得:

1 ( x ? 0) 与 g ? x ? ? x 2 ? ln( x ? a ) 图象上存在关于 2

y 轴对称的点,则 a 的取值范围是__________________

存在 x0∈(﹣∞,0) ,满足 x0 +e ﹣ =(﹣x0) +ln(﹣x0+a) , 即 e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根, ∵ 当 x 趋近于负无穷大时,e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)也趋近于负无穷大, 且函数 h(x)=e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增函数,∴ h(0)= ﹣lna>0, ∴ lna<ln,∴ 0<a< ,∴ a 的取值范围是(0, 故答案为: (0, ) ) ,
2 x0 2 x x0 x0

2

x0

2

【思路点拨】由题 意可得:存在 x0∈(﹣∞,0) ,满足 x0 +e ﹣ =(﹣x0) +ln(﹣x0+a) , 函数 h(x)=e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)的图象和性质,得到 h(0)= ﹣lna>0,继而得到答案. 三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. ( 10 分)已知数列 {an} 的前 n 项和为 S n , 且 S n ? 2n 2 ? n ,n∈ N + , 数列 {bn} 满足
x

an ? 4 log 2 b n ? 3 , n∈ N + .
(1)求 an (2)求数列{ an ? bn }的前 n 项和 Tn. 【知识点】数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定. D2 D3 D4
【来.源:全 ,品…中&高*考*网】

【答案解析】(1) an = 4n - 1, bn ? 2n ?1 ;(2) Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 解析:(1) 由 Sn= 2n 2 ? n ,得 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;

+ 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈ N .

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ?1 ,n∈ N + (2)由(1)知 an bn ? (4n ? 1) ? 2n ?1 ,n∈ N + 所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ? 11? 2 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2
2 n ?1

?????????5 分

,

2Tn ? 3 ? 2 ? 7 ? 22 ? 11? 23 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2 n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ? 1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n ?1 )] ? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈ N + . ?????????10 分

【思路点拨】(1)由 Sn=2n +n 可得,当 n=1 时,可求 a1=3,当 n≥2 时,由 an=sn﹣sn﹣1 可求 通项,进而可求 bn;(2)由(Ⅰ)知, 和 【题文】18.(12 分)已知函数 f ? x ? ? 4sinxsin 2 ( ,利用错位相减可求数列的

2

? x ? ) ? cos2x. 4 2 ? 2? [? , ] (1)设ω >0 为常数,若 y=f(ω x)在区间 上是增函数,求ω 的取值范围; 2 3 ? 2? } ,B={x||f(x)-m|<2},若 A?B,求实数 m 的取值范围. (2)设集合 A ? {x | ? x ? 6 3 3 4

【知识点】正弦函数的定义域和值域;集合的包含关系判断及应用。A1 C5 【答案解析】 (1) ? ? (0, ] ; (2)m∈(1,4)

? 1 ? cos( ? x) 2 解析:(1)f(x) = 4sinx g ? cos2x ? 2sinx ? 1, ……………………2 2
[ ? , ?] [ ? , ][ ? ? ∵f(ω x)=2sinω x+1 在 上是增函数.∴


2? ? ?? ?? 3 ? , ? , ??? (0, ] . …………………………………………………6 3 2? 2 2? 4 ? 2 ? x ? ? 时,f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立 6 3

? 2 2 3

? 2? 2 3

? ? , ] , 2? 2 ?

(2)由|f(x)-m|<2 得:-2<f(x)-m<2,即 f(x)-2<m<f(x)+2. ∵A?B,∴当

[f ? x ? ? 2] ∴ max<m<[f ? x ? ? 2] min , ……………………………………………9
[ , ] 又x? 时, f ? x ?max ? f ( ) ? 3;f ? x ?min ? f ( ) ? 2 ,
∴m∈(1,4)……………………………………………………………………12 【思路点拨】 (1)化简函数 f ( x) ? 4sin x sin 2 (

? 2? 6 3

? 2

? 6

?

(2)先求|f(x)﹣m|<2 中的 m 的范围表达式, [? , ] 在区间 上是增函数,解答即可. f(x)﹣2<m<f(x)+2,m 大于 f(x)﹣2 的最大值,小于 f(x)+2 的最小值即可. 【题文】19.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 三边为 a,b,c 三边所对角为 A,B,C,满足 a cos C + (1)求角 A. (2)若 a = 1 ,求△ABC 的周长的取值范围 【知识点】余弦定理;正弦定理.C8 【答案解析】 (1 )A= ,或 A= (2)3 或 1+ .

? 2? 2 3

x ? ) ? cos 2 x ,然后利用 y ? f (? x) 4 2

1 c= b 2

解析: (1)等腰三角形△ ABC 中,∵ bcosC+ccosB= sinBcosC+cosBsinC= 即 sin(B+C)= (2)∵ a=1,当 A= 当 A= 时,B=C= , ,∴ A=

R,则由正弦定理可得

=sinA,∴ sinA=

,或 A=



时,△ ABC 为等边三角形,此时三角形的周长为 3; ,由 a=1 利用正弦定理可得 = ,即 = ,b= =c,

此时,三角形的周长为 1+

. . ,可得 A

综上可得,三角形的周长为 3 或 1+

【思路点拨】 (1)等腰三角形△ABC 中,由条件正弦定理】诱导公式求得 sinA= 的值. (2)由 a=1,可得当 A= 当 A=

时,△ABC 为等边三角形,求得此时三角形的周长为 3;

时,利用正弦定理求得 b、c 的值,可得三角形 的周长,综合可得结论.

【题文】20. (12 分)已知数列 {an }满足a1 ? (1)求证:数列 {

1 1 , (1 ? an )an ?1 ? 4 4

1 1 an ? 2

} 为等差数列;

(2)求证:

a a 2 a3 3 ? ? ? ? n ?1 ? n ? . a1 a 2 an 4

【知识点】数列与不等式的综合;等差关系的确定.D2 D4 【答案解析】 (1)见解析; (2)见解析。 解析: (1)

1 =-2 ,所以 { 1 } 是等差数列。?????????6 分 1 1 1 an +1 an an ? 2 2 2 1 1 (2)由(1)知 ? ? (n ? 1)(?2) ? ?2n ? 2, 1 1 an ? a1 ? 2 2

1

? an ?

1 1 n ? ? 2 2(n ? 1) 2(n ? 1)

由于

a k ?1 k ? 1 2(k ? 1) (k ? 1) 2 1 ? ? ? ? 1? ak 2(k ? 2) k k (k ? 2) k (k ? 2)
1 1 1 ( ? ) 2 k k?2

? 1?

于是

a a 2 a3 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ? n ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) a1 a 2 an 2 3 2 4 n n?2
?????????12 分 ∴an= ,则代入(1﹣

1 1 1 1 3 ? n ? (1 ? ? ? )? n? 2 2 n ?1 n ? 2 4

【思路点拨】 (1)利用得出数列的定义证明即可,令 bn=

an)an+1= ,化简可得 bn+1﹣bn=﹣2,即可得证; (2)由(1)可求得

= 即可得出结论.

?

=

=1+

=1+ (

) ,利用裂项求和

【题文】21. (12 分)函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0)
3 2

(Ⅰ) 在区间 (0, 1) 内, 求实数 a 使得函数 f ( x) 的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB; (Ⅱ)设 m>0,记 M(m, f (m) ) ,求证在区间(0,m)内至少有一实数 b,使得函数 图象在 x=b 处的切线平行于直线 AM. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性。B11 B12 【答案解析】 (I) a ?

2 ; (II)见解析。 3

解析: (Ⅰ)解:直线 AB 斜率 kAB=-1 令 f ?(a ) ? ?1(0 ? a ? 1) 解得 a ?

f ?( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 1

[来源:学§科§网]

即3a 2 ? 2a ? 1 ? ?1

2 …………………………………………………………………………4 3

(Ⅱ)证明:直线 AM 斜率 k AM
2

(m 3 ? m 2 ? m ? 1) ? 1 ? ? m2 ? m ?1 m?0

考察关于 b 的方程 f ?(b) ? m ? m ? 1 即 3b2-2b-m2+m=0 在区间(0,m)内的根的情况 令 g(b)= 3b2-2b-m2+m,则此二次函数图象的对称轴为 b ? 而 g ( ) ? ?m 2 ? m ?

1 3

1 3

1 1 1 ? ?( m ? ) 2 ? ?0 3 2 12

g(0)=-m2+m=m(1-m) g(m)=2m2-m-m(2m-1) ………………………………………………………8

1 时, g (0) ? 0, g (m) ? 0, 方程g (b) ? 0在区间(0, m) 内有一实根 2 1 1 1 (2)当 ? m ? 1时, g (0) ? 0, g ( ) ? 0, 方程g (b) ? 0在区间(0, ) 内有一实根 2 3 3 1 1 (3)当 m ? 1时, g ( ) ? 0, g (m) ? 0, 方程g (b) ? 0在区间( , m) 内有一实根 3 3
∴(1)当 0 ? m ? 综上,方程 g(b)=0 在区间(0,m)内至少有一实根,故在区间(0,m)内至少有一实数 b, 使得函数图象在 x=b 处的切线平行于直 AM …………………………………………………12 【思路点拨】 (Ⅰ )求出导数,求出切线的斜率 f′ (a) ,求得直线 AB 的斜率,令 f′ (a)= ﹣1(0<a<1)解方程即可得到 a; (Ⅱ )求出直线 AM 斜率,直求出线在 x=b 处的切线斜率 2 2 2 为 f′ (b) , 由切线平行于 AM, 可令 f′ ( b) =m ﹣m﹣1, 考察 3b ﹣2b﹣m +m=0 在区间 (0, m)内的根的情况,令 g(b)=3b ﹣2b﹣m +m,求得 g(0) ,g(m) ,g( ) ,对 m 讨论: 当 0<m< 时,当 ≤m<1 时,当 m≥1 时,由零点存在定理,即可得证. 【题文】22. (12 分)已知函数 f ( x) ?
2 2

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 2

(I) 若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, 求实数 a 的 取值范围; (II)若 a ? (1, e] (e ? 2.71828 ) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证:当 x1 , x2 ? [1, a ] 时, 不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. 【知识点】数列与不等式的综合;利用导数研究函数的单调性.B11 【答案解析】 (I) a ? ?1 或 a ? ?9 ; (II)见解析。 解析: (I) f ?( x) ? x ?

a , g ?( x) ? a ? 1 , x

∵ 函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, ∴ 当 x ? [1,3] 时, f ?( x) ? g ?( x) ? 即 (a ? 1)( x ? a ) ? 0 恒成立,
2

(a ? 1)( x 2 ? a ) ? 0 恒成立, x

∴?

?a ? ?1 ?a ? ? x

在 x ? [1,3] 时恒成立,或 ? 2

?a ? ?1 ?a ? ? x
2

在 x ? [1,3] 时恒成立,

∵?9 ? x ? ?1 ,∴a ? ?1 或 a ? ?9 (II) F ( x) ?

……………………………………6

1 2 a ( x ? a )( x ? 1) x ? a ln x, ?(a ? 1) x , F ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? 2 x x ∵F ( x) 定义域是 (0, ??) , a ? (1, e] ,即 a ? 1 ∴F ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, a ) 实际减函数,在 (a, ??) 是增函数 1 ∴ 当 x ? 1 时, F ( x) 取极大值 M ? F (1) ? ? a ? , 2 1 当 x ? a 时, F ( x) 取极小值 m ? F (a ) ? a ln a ? a 2 ? a , 2 ∵x1 , x2 ? [1, a ] ,∴| F ( x1 ) ? F ( x2 ) |?| M ? m |? M ? m
设 G (a) ? M ? m ?

1 2 1 a ? a ln a ? ,则 G?(a) ? a ? ln a ? 1 , 2 2

1 ,∵a ? (1, e] ,∴[G ?( a )]? ? 0 a ∴G ?(a ) ? a ? ln a ? 1 在 a ? (1, e] 是增函数,∴G ?(a ) ? G ?(1) ? 0 1 1 ∴G (a ) ? a 2 ? a ln a ? 在 a ? (1, e] 也是增函数 2 2 1 2 1 (e ? 1) 2 ∴G (a ) ? G (e) ,即 G (a ) ? e ? e ? ? ?1 , 2 2 2 1 2 1 (e ? 1) 2 (3 ? 1) 2 而 e ?e? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ,∴G (a ) ? M ? m ? 1 2 2 2 2 ∴ 当 x1 , x2 ? [1, a ] 时,不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. ……………………………12
∴[G ?( a )]? ? 1 ? 【思路点拨】 (Ⅰ )由题意得 f′ (x)?g′ (x)=(x+ ) (a+1)= 3]时, 或
2

?(a+1)≥0,当 x∈[1,

恒成立,求得﹣x 的最值,即可得出结论;
2

(Ⅱ )由题意得 F(x)=f(x)﹣g(x)= x +alnx﹣(a+1)x,利用导数研究函数的单调性 及极值、最值,即可得出结论.


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