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辅导班函数中存在性和任意性问题


函数中的任意性与存在性问题
例 1 已 知 函 数
f ( x) ? 2k 2 x ? k , x ?[0,1]







g ( x) ? 3x 2 ? 2(k 2 ? k ? 1) x ? 5, x ? [?1,0] ,

1:存在 x1 ? [0

,1] x2 ? [?1,0] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范围.

2:对任意 x1 ? [0,1] ,存在 x2 ?[?1,0] , g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求 k 的取值范 围.

3:对任意 x1 ?[0,1] ,存在 x2 ?[?1,0] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求 k 的取 值范围.

4

存在x1 ? ?0,1?, x2 ? ?? 1,0?, 使得g ( x2 ) ? f ( x1 )成立".求k的取值范围 .

例 2 有

已知 成立,求实数 的取值范围.

,其中

.,若对任意的



1. 数 在

, 上的值域

,使得 的交集不空,即

,等价于函数 .



上的值域

与函

2.对 函数 在

, 上的值域

,使得 的子集,即 .

,等价于函数



上的值域



3 若对 在



,使

,等价于 (这里假设



上的最小值不小于 存在) 。

上的最小值即

4

使得

等价于

5 已知 价于

是在闭区间 .

的上连续函,则对

使得

,等

1

函数 f ( x) ? x , g ( x) ? x ? ax ? 1,若对
2 2

?x1 ???1,3?, ?x2 ??1,2?, f ( x1 ) ? g( x2 ) ,求实数 a 的取值范围

2

若存在正数 x 使 2 (x-a)<1成立,则 a 的取值范围是

x

1 3 已知 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ( ) x ? m ,若对 ? x1 ? ? ?1,3? ,? x2 ? ?0, 2? , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 m 2
的取值范围

3

将上题中的任意改为存在

7

函数 f ?x? ? x 2 ? 4x ? 3, g ?x? ? mx ? 5 ? 2m “若存在 x1 ? ?1,4? ,总存在

x2 ? ?1,4?,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立”求 m 的范围

2 8 函 数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5 , 若 f ( x) 在 区 间 ?? ?,

2? 上 是 减 函 数 , 且 对 任 意 的

x1 , x2 ? ?1, a ? 1?,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4

求 a 的范围

9 已知集合 A ? x|x2 ? 5x ? 4 ≤0 ,集合 B ? x | x2 ? 2ax ? a ? 2 ≤0

?

?

?

?

(1)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围;


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