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高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算

一、学习任务 1. 理解导数的定义,能根据导数的定义,求函数 y = c ,y = x ,y = x 2 ,y = x 3 ,y =

y = √x 的导数. 2. 了解基本初等函数的导数公式;了解导数的四则运算法则;能利用导数公式表中的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax + b) ) 的导数.

1 , x

二、知识清单
导数的计算 利用导数求函数的切线方程

三、知识讲解
1.导数的计算 描述: 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f (x) = c(c为常数) 基本初等函数的导函数

导数的运算法则

f ′ (x) = 0 f (x) = xα (α ∈ Q? ) f ′ (x) = αxα?1 f (x) = sin x f ′ (x) = cos x f (x) = cos x f ′ (x) = ? sin x f (x) = ax (a > 0且a ≠ 1) f ′ (x) = ax ln a f (x) = ex f ′ (x) = ex 1 f (x) = loga x f ′ (x) = x ln a 1 f (x) = ln x f ′ (x) = x

[f (x) ± g(x)]′ = f ′ (x) ± g ′ (x) ; [f (x) ? g(x)]′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x); ′ f (x) f ′ (x)g(x) ? f (x)g ′ (x) (g(x) ≠ 0) . [ ] = g(x) [g(x)]2

复合函数的导数 对于两个函数 y = f (u) 和 u = g(x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称 这个函数为函数 y = f (u) 和 u = g(x) 的复合函数(composite function),记作

y = f (g(x)) .

y = f (g(x)) .
复合函数 y = f (g(x)) 的导数和函数 y = f (u) , u = g(x) 的导数间的关系为
′ = y ′ ? u′ , yx u x ′ 是 y 对 u 的导数,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. yu

例题: 求下列函数的导数: (1)f (x) = π ;(2)f (x) = x 2 ;(3)f (x) = 解:(1)f ′ (x) = π ′ = 0; (2)f ′ (x) = (x 2 )′ = 2x ; (3)f ′ (x) = (

1 ;(4)f (x) = √x. x8

1 ) = (x?8 )′ = ?8x?9 ; x8 1 1 1 1 (4)f ′ (x) = (√x )′ = (x 2 )′ = x? 2 = . 2 2√x
求下列函数的导数:

ex . x2 解:(1)y ′ = (sin x ? cos x)′ = (sin x)′ ? (cos x)′ = cos x + sin x; (2)y ′ = (x ln x)′ = x ′ ln x + x(ln x)′ = ln x + 1 ; (e x )′ ? x 2 ? e x ? (x 2 )′ ex (x ? 2) ex ′ (3)y ′ = ( . = = ) x2 x3 x4
(1)y = sin x ? cos x (2)y = x ln x;(3)y = 求下列函数的导数: (1)y = x ? sin

x x cos ;(2)y = (2x2 + 3)(3x ? 2) . 2 2 x x 1 1 解:(1)y ′ = (x ? sin cos )′ = (x ? sin x)′ = 1 ? cos x. 2 2 2 2 (2)y ′ = [(2x 2 + 3)(3x ? 2)] ′ = (6x3 ? 4x2 + 9x ? 6)′ = 18x2 ? 8x + 9.
求下列函数的导数: (1)y = e3x+2 ;(2)ln(2x ? 1).


解:(1)y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ? (3x + 2)′ = 3e3x+2 ; (2)y ′ = (ln(2x ? 1))′ =

1 2 . ? (2x ? 1)′ = 2x ? 1 2x ? 1

2.利用导数求函数的切线方程 描述: 利用导数求函数的切线方程 步骤一:求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ; 步骤二:根据直线方程的点斜式,得到切线方程为 y ? f (x0 ) = f ′ (x0 )(x ? x0 ). 例题: 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程. 解:因为 y = ex + 1,所以 y ′ = ex ,故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为

k = e0 = 1,
所以曲线 y = ex + 1 在点 (0, 2) 处的切线方程为

y = x + 2.
求与曲线 f (x) = x 4 相切且斜率为 4 的切线方程. 解:设切点坐标为 (x 0 , y 0 ),因为 f ′ (x) = 4x3 ,所以该切线的斜率为

. f ′ (x0 ) = 4x3 0
由 4x 3 = 4,得 x0 = 1,则 0

= 1, y 0 = x4 0
即切点的坐标为 (1, 1).所以所求切线的方程为

y = 4x ? 3.
已知曲线 y = 方程.

1 3 8 x 上一点 P (2, ),求:(1)在点 P 处的切线方程;(2)过点 P 的切线 3 3 1 3 x ,所以y ′ = x2 ,所以 3 y ′ | x=2 = 2 2 = 4.

解:(1)因为 y =

所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 .所以在点 P 处的切线方程是

y?


8 = 4(x ? 2), 3

12x ? 3y ? 16 = 0.
(2)设切点为 (x 0 , y 0 ),则由(1)知切线的斜率 k = x2 ,切线方程为 y ? y 0 = x2 (x ? x 0 ) . 0 0 又切线过点 P (2,

8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上,所以 3 3 ? ? 8 ? y = x2 (2 ? x0 ), 0 0 ?3 1 ? ? y = x3 , ? 0 3 0 ? 3x2 + 4 = 0, x3 0 0

整理得



(x0 ? 2)2 (x0 + 1) = 0.
所以 x 0 = 2 或 x 0 = ?1 . 当 x 0 = 2 时,y 0 =

8 ,切线斜率 k = 4,切线方程为 12x ? 3y ? 16 = 0 ; 3 1 当 x 0 = ?1 时,y 0 = ? ,切线斜率 k = 1,切线方程为 3x ? 3y + 2 = 0 . 3
已知函数 f (x) = ex (ax + b) ? x 2 ? 4x,曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为

y = 4x + 4,求 a ,b 的值.
解:求导得

f ′ (x) = ex (ax + a + b) ? 2x ? 4,
因为切线 y = 4x + 4 过点 (0, 4) 且斜率为 4 ,所以

f (0) = 4, f ′ (0) = 4,


f (0) = b = 4, f ′ (0) = a + b ? 4 = 4,
解得a = 4,b = 4 .

四、课后作业

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1. 下列求导运算正确的是 (

) 1 x ln 2 ′ D.(x 2 cos x) = ?2x sin x
B.(log2 x) ′ =

1 1 ′ ) =1+ 2 x x C.(3 x )′ = 3 x log3 e
A.(x +
答案: B

2. 一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s = 是 ( A.0 秒
答案: D 解析:

)
B.1 秒末 C.2 秒末

1 3 3 t ? t 2 + 2t ,那么速度为零的时刻 3 2
D.1 秒末和2 秒末

因为 s =

1 3 3 t ? t 2 + 2t ,所以 3 2 v = s' (t) = t 2 ? 3t + 2,

令 v = 0 ,得 t 2 ? 3t + 2 = 0 ,解得 t 1 = 1 , t 2 = 2 . 3. 若 f (x) = x 2 ? 2x ? 4 ln x ,则 f ′ (x) > 0 的解集为 ( A.(0, +∞)
答案: C 解析:

)

C.(2, +∞)

B.(?1, 0) ∪ (2, +∞) D.(?1, 0)

f (x) 定义域为 (0, +∞) , f ′ (x) = 2x ? 2 ?


4 > 0, x

x2 ? x ? 2 > 0. x ∵ x > 0 , ∴ (x ? 2) (x + 1) > 0 , ∴ x > 2 .
4. 曲线 y = xex + 2x + 1 在点 (0, 1) 处的切线方程为
答案: 解析:



3x ? y + 1 = 0 y ′ = (x + 1) ex + 2 .

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