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高中数学平面向量的坐标运算


2.3.2平面向量的坐标运算

复习回顾
1. 向量的加法:
b a+b B

`
C a+b D B a 平行四边形法则

三角形法则(“首尾相接,首尾连”)和平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) C
a

b

a b 三角形法则

A

A 2:向量的减法 a ? b可以表示为从向量b的终点指向向 量a的终点的向量。 3.向量共线定理

(1)

b与a(a ? 0)共线 ? b ? ? a.
4.平面向量基本定理: 如果, , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向 ? e1 ? 量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 5.向量的夹角(起点为同一点)

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一、平面向量的坐标表示

分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作 为基底?任一向量a ,用这组基底可表示为 有且只有一对实 y 数x、y,使得 a =xi + yj. a (x,y)叫做向量a的坐标,记作 j a=(x,y) x O i 那么i =( 1,0) 1 j =( 0 , )

0 =( 0 ,0)

概念理解 1.以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y

2.点A的坐标与向量a 的坐标的关系? 两者相同
j 向量a
一一对应

A (x, y)

a

a

坐标(x ,y)

O i

x

3.a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

概念应用
例1.如图,用基底i ,j 分别表示向量a、b 、c 、d ,并 求它们的坐标. 解:由图可知 a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j ?  a ? (2,3) 同理, b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3) c ? ?2i ? 3 j ? (?2,?3)

A2
A
A1

d ? 2i ? 3 j ? (2,?3)

练习:已知O是坐标原点 点A在 , 第一象限, | OA |? 4 3, ?xOA ? 60?, 求向量OA 的坐标.

二、平面向量的坐标运算 1.已知a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,求a+b,a-b. 解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j 即 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

同理可得 a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差

2.已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ).求 AB 解:AB ? OB ? OA
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )

? ( x2 , y 2 ) ? ( x1 , y1 )
? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
O

x

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.

?a ? (?x, ?y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标.

知识应用
例2.已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,

a-b,3a+4b的坐标.
解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19)

例3. 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (-2,1)、( -1,3)、(3,4),求顶点D的坐标. 解:设顶点D的坐标为(x,y) ?   ? ( ?1 ? ? 2),? 1)(1, AB ( 3 ? 2)
1? ?  3 ? x ? ? x ? 2 ? ?    ? (1,2) ? (3 ? x,4 ? y ) ?y ? 2 ?2 ? 4 ? y ?  顶点D的坐标为( , 2 2)
DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由 AB ? DC,得

三、课堂练习:
1 1.若M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ? MN , 求P点的坐标; 2 1 1 解:设P(x, y) 则(x-3, y+2)= (-8, 1)=(-4, ) 2 2

? x ? 3 ? ?4 ? ?y?2? 1 ? 2 ?

? x ? ?1 ? ∴ ?y ? ? 3 ? 2 ?

∴P点坐标为(-1, -

3) 2

2.若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB ?2 BC = (-3,-3) 3.已知:四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证: 四边形ABCD是梯形。 解:∵ AB=(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴ AB=1/2DC

AB DC 且 ∴ ∥ ∴四边形ABCD是梯形

|

AB

|?| DC |

2.3平面向量的坐标运 算及共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示 ? 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y3 ), b ? 0


? a // b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? 例3.已知 a =(4,2),

? =(6, y),且 b

? a // b



求y.

例4.已知A(-1, -1), B(1,3), C(2, 5),试判断A,B,C三点之间的位置关 系.

例5.设点P是线段 P P2上的一点 P , P2 1 1 的坐标分别是 ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ) (1)当点P是线段 P P2 的中点时,求点P 1 的坐标; (2)当点P是线段 P P2 的一个三等分点 1 时,求点P的坐标.
问题:若点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),λ 为 1 实数,且 P P ? ? PP ,则点 P的 1 2 坐标为多少?

? b =(-x, 2)共线且方向相同,求x

? 例6.若向量 a =(-1,x)与

作业:

课本P101 A组:1,2,3,4,5, 6, 7


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