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2014年人教A版数学理配套课件:第二章 第十三节定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用


第十三节 定积分的概念与微积分基本 定理、定积分的简单应用

1.定积分 (1)定积分的定义及相关概念 一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=

x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b,将区间[a,b]等分成n个小
区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξ i(i=1,

2,

?,n),作和式 ? f ? ?i ? ?x=? b ? a f ? ?i ?, 当n→∞时,上述和式
n n i ?1 i ?1

n

无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上

的定积分,记作

? f ? x ? dx.
a

b

在? f ? x ? dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间 a

b

[a,b] 叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做 _________ 积分变量 ,_______ f(x)dx 叫做被积式. _________

(2)定积分的性质
k ? f ? x ? dx 为常数). ① ? kf ? x ? dx =__________(k a a
b b b b a b b

?a f1 ? x ? dx ? ?a f 2 ? x ? dx ② ?[f1 ? x ? ? f 2 ? x ?]dx =__________________.
c b

?a f ? x ? dx = ?a f ? x ? dx+?c f ? x ? dx (其中a<c<b). ③___________

2.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)
F ? b ?-F ? a ? 这个结论叫做微积分基本 =f(x),那么 ? f ? x ? dx=_________, a
b

定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.

3.定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边 梯形的面积引入的,但 是定积分并不一定就是 曲边梯形的面积.这要 结合具体图形来定:设 阴影部分的面积为S.

① S= b f ? x ? dx; ?a
-? f ? x ? dx ; ②S=_________
a b

③S=________________ ?a f ? x ? dx-?c f ? x ? dx ; ④S= ? f ? x ? dx-? g ? x ? dx=?[f ? x ?-g ? x ?]dx . a a a
b b b

c

b

(2)变速直线运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=________. ?a v ? t ? dt
b

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则

? f ? x ? dx=
a

b

? f ? t ? dt .(
a b

b

)

(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,则

? f ? x ? dx>0 .(
a b

)

(3)若 ? f ? x ? dx<0, 那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成 a 的图形一定在x轴下方.( )

(4)若f(x)是偶函数,则 ? f ? x ? dx=2 ? f ? x ? dx. ( ?a 0
(5)若f(x)是奇函数,则

a

a

)

? f ? x ? dx=0.
?a

a

(

)

【解析】(1)正确.定积分与被积函数、积分上限和积分下限有 关,与积分变量用什么字母表示无关. (2)正确.根据定积分的几何意义知,该说法正确. (3)错误.也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分 的面积.

(4)正确. 当f(x)是偶函数时,其图象关于y轴对称,故

? f ? x ? dx 与 ? f ? x ? dx 相等,故 ? f ? x ? dx=2? f ? x ? dx.
0 a ?a 0 ?a 0

a

a

(5)正确. 当f(x)是奇函数时,其图象关于原点对称,故

?

0

?a

f ? x ? dx与 ? ? f ? x ? dx 相等,
0 a 0 a ?a ?a 0

a



? f ? x ? dx=? f ? x ? dx+? f ? x ? dx=0.
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√

答案:

1.已知f(x)为偶函数且 ? f ? x ? dx=4,则? f ? x ? dx 等于( 0 ?6
(A)0 (B)4
0

6

6

)

(C)8
6

(D)16

【解析】选C.原式 =? f ? x ? dx+? f ? x ? dx, ?6 0
∵f(x)为偶函数,

∴其在y轴两侧的图象对称,
∴对应的面积相等,则 ? f ? x ? dx ? 4 ? 2=8. ?6
6

2.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点 做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为(
11 ?D? 6 2 17 2 【解析】选A. s=? ? t 2-t+2 ? dt=( 1 t 3- 1 t 2+2t) |1 = . 1 3 2 6 17 ?A? 6 14 ? B? 3 13 ?C? 6

)

? x 2,x ? 0, 1 ? 3.设f ? x ?=? 则? f ? x ? dx 等于( x ?1 ? ? 2 ,x ? 0, 1 1 2 ? A ? ? x dx ? B ? ? 2x dx
?1 0 ?1

)

? C ? ??1 x dx ? ?0 2
2
1

1

x

dx
2

【解析】选D.∵f ? x ?=? ?
0 x 1 ?1 ?1 0

? x ,x ? 0,

? D ? ??1 2

0

x

dx ? ? x 2dx
0

1

x 2 ? ? ,x ? 0,

? ? f ? x ? dx=? 2 dx+? x 2dx.

4.由直线 x=- ? ,x= ? ,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图
3 3

形的面积为(

)

?A?

1 2

? B?1
? 3

?C?

3 2

? D?

3

【解析】选D.结合函数图象可得所求的面积是定积分

?

? 3 ? ? 3

cos xdx=sin x | ? = 3.
? 3

5.已知t>1,若 ? ? 2x+1? dx=t 2,则t=______. 1
2 t 2 【解析】 2x + 1 dx = x + x | = t +t-2, ? ? ? ? 1 ?1 t

t

从而得方程t2+t-2=t2,解得t=2. 答案: 2

考向 1

定积分的计算
1

【典例1】(1)(2012·江西高考)计算定积分 ? (x 2 ? sin x)dx ? ?1

______.
(2)(2013·莆田模拟)?
2
? 2 0

1 ? sin 2xdx ?______.
3

(3) f ? x ?= 3+2x-x , 则 ? f ? x ? dx 为______. 1

【思路点拨】(1)利用微积分基本定理求得定积分的值.(2)因 为 1 ? sin2x ? sinx ? cosx , 故应去掉绝对值后再解.(3)先判断出
f ? x ?= 3+2x-x 2 表示的几何意义,再利用定积分的几何意义求

解.
2 【规范解答】?1? ? ? x 2 ? sin x ? dx ? ( 1 x 3 ? cos x) |1 ? . ?1 ?1
1

答案:

2 3

3

3

(2)

?

? 2 0

1 ? sin 2xdx

? ? sin x ? cos x dx

? ? (cos x ? sin x)dx ? ? ? sin x ? cos x ? dx ? ? sin x ? cos x ? | ? ? cos x ? sin x ? |
? 4 0

? 2 0 ? 4 0

? 2 ? 4

? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2.

?

?

? 2 ? 4

答案: 2 2 ? 2

(3)由 y= 3+2x-x 2= 4-? x-1?2, 得(x-1)2+y2=4(y≥0), 表示以(1,0)为圆心,2为半径的圆在x轴上方的部分, ∴

? ∴?

3

1

1, 是圆面积的 3+2x-x dx
2

3

1

1 3+2x-x 2 dx= ? ? ? 22=?. 4

4

答案: π

【互动探究】在本例题(3)中条件不变,求 ? f ? x ? dx 的值. ?1

3

【解析】由本例题(3)的解答过程知, 3 f ? x ? dx 表示以(1,0) ??1
为圆心,2为半径的圆在x轴上方的部分的面积, 故
1 2 f x dx = ? ? ? 2 =2?. ? ? ??1 2
3

【拓展提升】计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函 数与常数的积的和或差. (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定 积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数 . (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值. (5)计算原始定积分的值.

【变式备选】求下列定积分. (1) ?
0 ??
2

? cos x+e ? dx.
x

(2)? 3-2x dx. 1 (3)? ? 3x 3+4sin x ? dx. ?5
5 0

【解析】(1)?

??

? cos x+e ? dx=?
x

0

??

cos xdx+? e x dx
??

0

1 0 x 0 =sin x |- + e | =- 1 . ? -? ? e

3 ? 3 - 2x , 1 ? x ? , ? 2 (2)∵ 3-2x =? ? 3 ?2x-3, ? x ? 2, ? 2 ?3
2 2 1 1

? ? 3-2x dx=? 2 3 ? 2x dx+?3 3 ? 2x dx ? ? ? 3 ? 2x ? dx ? ?3 ? 2x ? 3? dx
3 2 1 2 2

? ? 3x ? x 2 ? | ? ? x 2 ? 3x ? |2 3
2

3 2 1

2

3 3 3 3 ? [3 ? ? ( ) 2] ? ? 3 ? 1 ? 12 ? ? ? 22 ? 3 ? 2 ? ? [( ) 2 ? 3 ? ] 2 2 2 2 ? 9 9 9 9 1 ? ? 2 ? ? ?2 ? ? ? ? . 2 4 4 2 2

(3) ? ? 3x 3+4sin x ? dx 表示直线x=-5,x=5,y=0和曲线y=f(x) ?5
5

=3x3+4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和,且在x轴上

方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号.
又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x) =-(3x3+4sin x)=-f(x). 所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数, 所以 ? (3x 3 +4sin x)dx= ? ? (3x 3 +4sin x)dx, ?5 0 所以? (3x 3+4sin x)dx=? (3x 3+4sin x)dx+? (3x 3+4sin x)dx=0. ?5 ?5 0
5 0 5 0 5

考向 2

平面图形的面积问题

【典例2】(1)(2012·山东高考)设a>0,若曲线 y ? x 与直线 x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=______. (2)抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积为 ______.

【思路点拨】(1)作出图象,利用定积分求解即可. (2)画出草图,设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 的面积问题.可以从把x当积分变量与把y当积分变量两个角度 求解.

【规范解答】(1)求曲线 y ? x 与直线x=a,y=0所围成封闭图 形的面积,即 ? 答案:
4 9
a 0 3 2 3 2 a 解得 a ? 4 . xdx ? x 2 |0 ? a 2 ? 0 ? a 2, 3 3 9

(2)方法一:如图,
2 ? y 由 ? ? 2x, ? y ? 4 ? x,

得交点A(2,2),B(8,-4), 则 S=?[ 2x-(- 2x )]dx+?[4-x- - 2x ]dx 0 2
3 2 4 2 3 x 2 2 16 38 2 ? x 2 |0 ?(4x ? ? x 2 ) |8 ? ? ? 18. 2 3 2 3 3 3 2 2 y 1 1 方法二: S=? [? 4-y ?- ]dy=(4y ? y 2 ? y3 ) |2 18. ?4 = ?4 2 2 6
2 8

?

?

答案:

18

【互动探究】在本例题(1)中,将“直线x=a,y=0”改为“直 线y=x-2,y轴”,其他条件不变,则a的值为______. 【解析】y ? x 与y=x-2以 及y轴所围成的图形如图所 示的阴影部分,

? 联立 ? y ? x, 得交点坐标为(4,2),故所求面积为 ? y ? x ? 2, 2 4 2 3 x 4 16 S ? ?[ x ? ? x ? 2 ?]dx ? [ x 2 ? ( ? 2x)] |0 ? . 0 3 2 3 即 a 2 ? 16 ,解得a ? 4 3 . 3 3 4 3 答案: 3

【拓展提升】利用定积分求平面图形面积的四个步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、 下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.

(4)计算定积分,写出答案.

【提醒】利用定积分求平面图形的面积,一定要找准积分上限、
下限及被积函数,当图形的边界不同时,要分情况讨论 .

【变式备选】(1)曲线y=sin x(0≤x≤π )与直线 y= 1 围成的
2

封闭图形的面积是(

)

?A? 3

? B? 2 ? 3
2

?C? 2 ?

? 3

?D? 3 ?
6

? 3

【解析】选D.由 sin x= 1 与0≤x≤π得 x= ? 或
1 5? ? S=? sin xdx- ? ( - ) 2 6 6 5? ? =?-cos x ? | ?6 ? 3 6 5? ? ? ? =-cos ? (?cos )- = 3- . 6 6 3 3
5? 6 ? 6

5? ,所以曲线 6

y=sin x(0≤x≤π)与直线 y= 1 围成的封闭图形的面积是
2

1 1 ? x ? 0, ? x+,- (2)函数 f ? x ?=? ? ? 的图象与x轴所围成的封闭图形 cos x, 0?x? ? 2 ?

的面积为______.

【解析】

根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为
? ? 1 ? 3 1 1 2 ? ? sin ? sin 0 ? . S ? ?1?1 ? ? 2 cos xdx ? ? sin x |0 0 2 2 2 2 2 答案: 3 2

考向 3

定积分在物理中的应用

【典例3】(1)一辆汽车的
速度-时间曲线如图所示,

则该汽车在这一分钟内行
驶的路程为______米.

(2)(2013·惠州模拟)一物体按规律x=b t3做直线运动,式中
x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方(比例

系数为k,k>0).则物体由x=0运动到x=a时,阻力所做的功
为______.

【思路点拨】(1)先求出v与t的函数关系式,再求v关于t的积 分.(2)先求出物体的速度及媒质阻力Fzu,再由 Fzu dx 可得阻力 ? 所做的功.

【规范解答】(1)根据题意,v与t的函数关系式如下:
?3 0 ? t<20, ? 2 t, ? v ? t ?=?50-t, 20 ? t<40, ?10, 40 ? t ? 60. ? ?

所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s ? ? v ? t ? dt ? ?
0 60 20 0 40 60 3 tdt ? ? ? 50 ? t ? dt ? ? 10dt 20 40 2

3 20 1 60 = t 2 |0 ?(50t ? t 2 ) |40 20 ?10t |40 ? 900 ? 米 ? . 4 2

答案:

900

(2)物体的速度 v ? dx ? ? bt 3 ? ? ? 3bt 2 .
dt

媒质阻力Fzu=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4.
a 当x=0时,t=0;当x=a时, t ? t1 ? ( ) 3 , b
1

又dx=vdt,故阻力所做的功为:
Wzu ? ? Fzu dx ? ? ? k ? ? 3bt
t1 0 2 3 t1 0

? kv ? v ? dt ? k ?
2

t1

0

v3dt

?

dt

27 3 7 27 3 7 2 ? kb t1 ? k a b . 7 7 答案: 27 k 3 a 7 b 2 7

【拓展提升】定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t=a到t=b所经过的路程 s ? ? v ? t ? dt. a (2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同 方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是 W ? ? F ? x ? dx. a
b b

【变式训练】一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2

-4t+3(m/s)运动.求:
(1)在t=4 s的位置.

(2)在t=4 s内运动的路程.
【解析】(1)在时刻t=4时该点的位置为
1 3 4 2 2 4 t ? 4t ? 3 dt ? ( t ? 2t ? 3t) | ? ?m?, ? 3 0 ?0 ? 3 即在t=4 s时刻该质点距出发点 4 m. 3
4

(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间
[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0,

在区间[1,3]上,v(t)≤0,所以t=4 s时的路程为
s=? ? t -4t+3? dt+ ? ? t -4t+3? dt +? ? t 2-4t+3? dt
1 2 3 2 4 0 1 3

1 1 3 1 3 2 3 4 =( t 3-2t 2+3t) 1 + ( t - 2t + 3t) + ( t -2t 2+3t) |3 0 1 3 3 3 4 4 4 = + + =4 ? m ?, 3 3 3

即质点在4 s内运动的路程为4 m.

【易错误区】求封闭图形面积时被积函数不正确致误 【典例】(2013·揭阳模拟)曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成 的图形的面积是______. 【误区警示】本题易出现的错误有两方面:(1)不能正确画出 草图,准确分割图形,通过分段积分求面积. (2)搞不清被积函数是两函数相加还是相减.

【规范解答】作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x的图象,所求 面积为下图中阴影部分的面积.
? y=x 2, 解方程组 ? ? y=x,

得交点(1,1),(0,0).
? y=x 2, 解方程组 ? ? y=3x,

得交点(3,9),(0,0),

因此,所求图形的面积为
S= ? ? 3x-x ? dx+? ? 3x-x 2 ? dx 0 1
1 3

= ? 2xdx+? ? 3x-x 2 ? dx 0 1
1 3

2 3 3 = x 2 |1 0 +( x - x ) |1

3 1 3 1 13 =1 +( ? 32- ? 33 )-( ?12- ?13 )= . 2 3 2 3 3

3 2

1 3

答案:

13 3

【思考点评】定积分求平面图形面积关注点
(1)利用定积分求平面图形的面积时,应画出草图,因此,应 熟练掌握基本初等函数的图象,特别是不同的幂函数在同一坐 标系中的图象.另外,当某一边界是不同的函数的图象时,还 要能够正确分割图形确定积分上、下限,分段求面积 . (2)被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界的 函数.

e 1.(2013·佛山模拟) ? 1 dx =( 1

(A) 1 ? 1
e

x

)
e

(B)1 ? 12 (D)e-1
x

(C)1

e e 【解析】选C.根据微积分基本定理, 1 dx ? lnx |1 故选C. ? 1, ?1

2.(2013·深圳模拟)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积 为( (A) 1
12

) (B) 1
4

(C) 1

3

(D) 7

12

【解析】选A.由题意得: 曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0),
1 (1,1),故所求封闭图形的面积为? ? x 2 ? x 3 ? dx ? 1 ?1 ? 1 ?1 ? 1 , 0

3

4

12

故选A.

3.(2012·湖北高考)已知二次函数y =f(x)的图象如图所示, 则它与x轴所围图形的面积为(
2? 5 3 C ? ? 2

)

?A?

4 3 ? D ? ? 2

? B?

【解析】选B.由图象可知二次函数的表达式为f(x)=1-x2,
1 1 4 ∴S= ? ?1 ? x 2 ? dx ? (x ? 1 x 3 ) |1 ? (1 ? ) ? ( ? 1 ? )? . ?1 ?1
1

3

3

3

3

4.(2013·汕尾模拟)如图, 由两条曲线y=-x2,y=
1 - x 2 及直线y=-1所围成 4

的图形的面积为______.
? y=-x 2, 【解析】由 ? 得交点A(-1,-1),B(1,-1).由 y=-, 1 ? 1 2 ? y =- x, ? 4 得交点C(-2,-1),D(2,-1). ? ? ? y=-1,
1 2 1 1 4 ∴所求面积 S=[ 2 ? (- x 2+x 2 )dx+? (- x 2+ 1)dx]= . 0 1

4 答案: 3

4

4

3

5. (2013·茂名模拟)已知函数 y=x2与y=kx(k>0)的图象所围 成的阴影部分(如图所示)的面积 为 4 ,则k=______.
3

【解析】直线方程与抛物线方程联立,先求出积分区间为
kx 2 x 3 k k3 4 [0,k],再由 ? ? kx-x ? dx=( - ) |0 = = , 0 2 3 6 3
k 2

求得k=2. 答案: 2

1.如图,圆O:x2+y2=π 2内的正弦曲线y=sin x与x轴围成的 区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落 在区域M内的概率是(
4 ?A? 2 ? 2 ?C? 2 ? 4 ? B? 3 ? 2 ? D? 3 ?

)

? 【解析】选B.依题意得,区域M的面积等于2 ? sin xdx=-2cos x |0 ?0

=4.圆O的面积等于π×π2=π3,因此点A落在区域M内的概率

是 43 ,选B.
?

2.若 y=? ? sin t+cos tsin t ? dt , 则y的最大值是( 0 (A)1 (B)2 (C) ? 7
2

x

)

(D)0

【解析】选B.y= x ? sin t+cos tsin t ? dt ?0 = ? (sin t+ 1 sin 2t)dt 0
x

2 x =(-cos t- 1 cos 2t) |0 4 =-cos x- 1 cos 2x+ 5 4 4 =-cos x- 1 ? 2cos 2 x-1?+ 5 4 4 =- 1 cos 2 x-cos x+ 3 2 2 =- 1 ? cos x+1?2 +2 ? 2. 2


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