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【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练·对接高考练习:专题2第3讲 平面向量


一、选择题 1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点, → → 则EB+FC=( → A.BC → C.AD → → → → 如图,EB+FC=-(BE+CF) ). 1→ B.2AD 1→ D.2BC

解析

1→ 1→ 1→ 1→ =-(2BA+2BC+2CA+2CB) → 1→ 1→ 1 → → =-(2BA+2CA)=2(AB+AC)=AD,故选 C.

答案

C

→ 2.(2014· 河南十所名校联考)在△ABC 中,M 是 AB 边所在直线上任意一点,若CM → → =-2CA+λCB,则 λ=( A.1 C.3 解析 答案 ). B.2 D.4 由点 A,B,M 三点共线知:-2+λ=1,所以 λ=3. C

3.(2014· 吉林省实验中学模拟)在△ABC 中,D 是 AB 中点,E 是 AC 中点,CD 与 → → → BE 交于点 F,设AB=a,AC=b,AF=xa+yb,则(x,y)为( ).

-1-

?1 1? A.?2,2? ? ? ?1 1? C.?3,3? ? ? 解析

?2 2? B.?3,3? ? ? ?2 1? D.?3,2? ? ?

→ 2→ 2 1 → 由题意知点 F 为△ABC 的重心, 设 H 为 BC 中点, 则AF=3AH=3×2(AB

→ 1 1 +AC)=3a+3b, 1 1 所以 x=3,y=3. 答案 C

4.(2014· 龙岩期末考试)在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的两个顶点为 O(0,0), → → → → A(1,1),且OA· OC=1,则AB· AC等于( A.-1 C. 2 解析 ). B.1 D. 3 → → → → → → → 依题意,|OA|=|OC|=|AB|= 2,OA· OC=|OA||OC|cos ∠AOC=1,cos ∠

→ → → 1 π π → → → → AOC=2,∠AOC=3,则|AC|=|OA|=|OC|= 2,∠BAC=3,AB· AC=|AB||AC|cos ∠BAC=1. 答案 B

5.(2014· 浙江卷)设 θ 为两个非零向量 a,b 的夹角,已知对任意实数 t,|b+ta|的 最小值为 1( ).

A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定 解析 由于|b+ta|2=b2+2a· bt+a2t2, 令 f(t)=a2t2+2a· bt+b2, 而 t 是任意实数,

4a2· b2-?2a· b?2 4a2b2-4a2b2cos2 θ 4b2sin2 θ 所以可得 f(t)的最小值为 = = =1,即 4a2 4a2 4
-2-

|b|2sin2 θ=1,则若 θ 确定,则|b|唯一确定. 答案 B

二、填空题 1 6.(2014· 江西卷)已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α,且 cos α=3,若向量 a=3e1- 2e2,则|a|=________. 解析 答案 1 1 e1· e2=1×1×3=3,|a|= a· a= 3 ?3e1-2e2?2= 1 9+4-12×3=3.

→ → → → 7.如图, 在△ABC 中, ∠C=90° , 且 AC=BC=3, 点 M 满足BM=2 MA, 则CM· CB =________.

解析

法一

如图建立平面直角坐标系.

由题意知:A(3,0),B(0,3), → → 设 M(x,y),由BM=2MA,

? ? ?x=2?3-x?, ?x=2, 得? 解得? 即 M 点坐标为(2,1), ?y-3=-2y, ? ? ?y=1, → → 所以CM· CB=(2,1)· (0,3)=3. 法二 → → → → → → → ? →? → 2→ → → 1 CM· CB=(CB+BM)· CB=CB2+CB×?2 BA?=CB2+3CB· (CA-CB)=3 ?3 ?

-3-

→ CB2=3. 答案 3

→ → 8. (2014· 杭州质量检测)在△AOB 中, G 为△AOB 的重心, 且∠AOB=60° , 若OA· OB → =6,则|OG|的最小值是________.

解析

→ 2→ 2 1 → → 1 → → 如图,在△AOB 中,OG=3OE=3×2(OA+OB)=3(OA+OB),

→ → → → 又OA· OB=|OA||OB|· cos 60° =6, → → ∴|OA||OB|=12, → → → → → 1 → → 2 1 → 2 1 → 2 1 2 2 ∴ | OG | = 9 ( OA + OB ) = 9 (| OA | + | OB | + 2 OA · OB ) = 9 (| OA | + | OB |2 + 12)≥ 9 → → → → ? → → ? 1 ×?2|OA||OB|+12?=9×36=4(当且仅当|OA|=|O B |时取等号). ∴|OG|≥2, 故|OG ? ? |的最小值是 2. 答案 2

三、解答题 9.(2013· 江苏卷)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. (1)证明 αcos 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得 cos

β+sin αsin β=0,

即 a· b=0,因此 a⊥b. (2)解 ?cos α+cos β=0, 由已知条件? ?sin α+sin β=1,
-4-

cos β=-cos α=cos(π-α), 由 0<α<π,得 0<π-α<π, 又 0<β<π,故 β=π-α.则 sin α+sin (π-α)=1, 1 π 5π 即 sin α=2,故 α=6或 α= 6 . π 5π 5π π 当 α=6时,β= 6 (舍去),当 α= 6 时,β=6. 5π π 所以,α,β 的值分别为 6 ,6. 10.已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). (1)当 m∥n 时,求 sin x+cos x 的值; 3sin x-2cos x

(2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+ π? ? B),函数 f(x)=(m+n)· m,求 f?B+8?的取值范围. ? ? 解 (1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x, 1 -3+1 ? 1? 3×?-3?-2 ? ? 2 =-9.

sin x+cos x tan x+1 1 于是 tan x=-3,∴ = = 3sin x-2cos x 3tan x-2

(2)在△ABC 中 A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理,得 3sin C=2sin Asin C, 3 ∵sin C≠0,∴sin A= 2 .又△ABC 为锐角三角形, π π π ∴A=3,于是6<B<2. ∵f(x)=(m+n)· m= (sin x+cos x,2)· (sin x,-1)=sin2 x+sin xcos x-2= π? 3 ? sin?2x-4?-2, ? ? π? π? 3 π? 2 ? ? 2 3 π π π ? B+8?- ?- = sin 2B- .由 <B< ,得 <2B<π, ∴f?B+8?= 2 sin?2? ? 4? 2 2 2 6 2 3 ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ∴0<sin 2B≤1,-2< 2 sin 2B-2≤ 2 -2,
-5-

1-cos 2x 1 2 + sin 2 x - 2 = 2 2 2

π ? 3 2 3? 即 f(B+8)∈?- , - ?. 2 2 2? ? 11.(2014· 陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x, y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上. → → → → (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. 解 (1)法一 → → → ∵PA+PB+PC=0,

→ → → 又 PA+ PB + PC = (1 - x,1 - y) + (2 - x,3 - y) + (3 - x,2 -y) = (6 - 3x,6 - 3y) ,∴ ?6-3x=0, ?x=2, ? 解得? ?6-3y=0, ?y=2, → → 即OP=(2,2),故|OP|=2 2. 法二 → → → ∵PA+PB+PC=0,

→ → → → → → 则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0, → 1 → → → → ∴OP=3(OA+OB+OC)=(2,2),∴|OP|=2 2. → → → (2)∵OP=mAB+nAC,

?x=m+2n, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴? ?y=2m+n, 两式相减得,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1.
-6-


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