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乘法公式经典题型及拓展


乘法公式
一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,?x?y???y?x??x2?y2 ② 符号变化,??x?y???x?y????x?2?y2? x2?y2

③ 指数变化,?x2?y2??x2?y2??x4?y4 ④ 系数变化,?2a?b??2a?b??4a2?b2 ⑤ 换式变化,?xy??z?m???xy??z?m?? ??xy?2??z?m?2 ?x2y2??z?m??z?m? ?x2y2??z2?zm?zm?m2? ?x2y2?z2?2zm?m2 ⑥ 增项变化,?x?y?z??x?y?z? ??x?y?2?z2 ??x?y??x?y??z2 ?x2?xy?xy?y2?z2 ?x2?2xy?y2?z2 ⑦ 连用公式变化,?x?y??x?y??x2?y2? ??x2?y2??x2?y2? ?x4?y4 2 2 ⑧ 逆用公式变化,?x?y?z? ??x?y?z? ???x?y?z???x?y?z????x?y?z???x?y?z?? ?2x??2y?2z? ??4xy?4xz 例 1.已知 a ? b ? 2 , ab ? 1 ,求 a 2 ? b 2 的值。 解:∵ (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ∴ a 2 ? b 2 = (a ? b) 2 ? 2ab ∵ a ? b ? 2 , ab ? 1 ∴ a 2 ? b 2 = 22 ? 2 ?1 ? 2 例 2.已知 a ? b ? 8 , ab ? 2 ,求 (a ? b) 2 的值。 解:∵ (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ∴ (a ? b) 2 ? (a ? b) 2 ? 4ab ∴ (a ? b) 2 ? 4ab = (a ? b) 2 ∵ a ? b ? 8 , ab ? 2 ∴ (a ? b) 2 ? 82 ? 4 ? 2 ? 56 例 3:计算 19992-2000×1998 〖解析〗此题中 2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。 解:19992-2000×1998 =19992-(1999+1)×(1999-1) =19992-(19992-12)=19992-19992+1 =1 例 4:已知 a+b=2,ab=1,求 a2+b2 和(a-b)2 的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
1

解:a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 (a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0 例 5:已知 x-y=2,y-z=2,x+z=14。求 x2-z2 的值。 〖解析〗此题若想根据现有条件求出 x、y、z 的值,比较麻烦,考虑到 x2-z2 是由 x+z 和 x-z 的积得来的,所以只要求出 x-z 的值即可。 解:因为 x-y=2,y-z=2,将两式相加得 x-z=4,所以 x2-z2=(x+z)(x-z)=14×4=56。 例 6:判断(2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1)+1 的个位数字是几? 〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案,故有一定的规律可循。观 察到 1=(2-1)和上式可构成循环平方差。 解: (2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1)+1 =(2-1) (22+1) (24+1)……(22048+1)+1 4096 =2 =161024 因为当一个数的个位数字是 6 的时候,这个数的任意正整数幂的个位数字都是 6, 所以上式的个位数字必为 6。 例 7.运用公式简便计算 (1)1032 (2)1982 解: (1)1032??100?3?2 ?1002?2?100?3?32 ?10000?600?9 ?10609 (2)1982??200?2?2 ?2002?2?200?2?22 ?40000?800?4 ?39204 例 8.计算 (1)?a?4b?3c??a?4b?3c? (2)?3x?y?2??3x?y?2? 解: (1)原式???a?3c??4b???a?3c??4b???a?3c?2??4b?2?a2?6ac?9c2?16b2 (2)原式??3x??y?2???3x??y?2???9x2?? y2?4y?4??9x2?y2?4y?4 例 9.解下列各式 (1)已知 a2?b2?13,ab?6,求?a?b?2,?a?b?2 的值。 (2)已知?a?b?2?7,?a?b?2?4,求 a2?b2,ab 的值。 (3)已知 a?a?1???a2?b??2,求 (4)已知 x ? ? 3 ,求 x4 ?
1 x

a 2 ? b2 ? ab 的值。 2

1 的值。 x4

分析:在公式?a?b?2?a2?b2?2ab 中,如果把 a?b,a2?b2 和 ab 分别看作是一个整体, 则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个。 解: (1)∵a2?b2?13,ab?6 ??a?b?2?a2?b2?2ab?13?2?6?25 ?a?b?2?a2?b2?2ab?13?2?6?1 (2)∵?a?b?2?7,?a?b?2?4 ? a2?2ab?b2?7 ① a2?2ab?b2?4 ② ①?②得 2?a2?b2??11,即 a 2 ? b2 ? ①?②得 4ab?3,即 ab ? (3)由 a?a?1???a2?b??2
2

11 2

3 4

得 a?b??2

?

a 2 ? b2 1 1 1 2 2 ? ab ? ? a2 ? b2 ? 2ab ? ? ? a ? b ? ? ? ? ?2? ? 2 2 2 2 2
?

1? 1 (4)由 x ? ? 3 ,得 ? ?x? ? ?9

x

?

x?

即 x2 ?

1 ?2?9 x2 x4 ?

? x2 ?

1 ? 11 x2

1 ? ? ? ? x 2 ? 2 ? ? 121 x ? ?

?

即 x4 ?

1 ? 2 ? 121 x4

1 ? 119 x4

例 10.四个连续自然数的乘积加上 1,一定是平方数吗?为什么? 分析:由于 1?2?3?4?1?25?52 2?3?4?5?1?121?112 3?4?5?6?1?361?192 …… 得猜想:任意四个连续自然数的乘积加上 1,都是平方数。 解:设 n,n?1,n?2,n?3 是四个连续自然数 则 n?n?1??n?2??n?3??1 ??n?n?3????n?1??n?2???1 ??n2?3n?2?2?n2?3n??1 ??n2?3n??n2?3n?2??1 ??n2?3n?1?2 2 2 ∵n 是整数,? n ,3n 都是整数 ? n ?3n?1 一定是整数 2 ??n ?3n?1?是一个平方数 ?四个连续整数的积与 1 的和必是一个完全平方数。 例 11.计算 (1)?x2?x?1?2 (2)?3m?n?p?2 解: (1)?x2?x?1?2??x2?2???x?2?12?2? x2???x??2?x2?1?2???x??1?x4?x2?1?2x3?2x2?2x ?x4?2x3?3x2?2x?1 (2)?3m?n?p?2??3m?2?n2???p?2?2?3m?n?2?3m???p??2?n???p??9m2?n2?p2?6mn?6mp?2np 分析:两数和的平方的推广 ?a?b?c?2 ???a?b??c?2 ??a?b?2?2?a?b??c?c2 ?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2 ?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac 即?a?b?c?2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac 几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的 2 倍。

二、乘法公式的用法
(一)、套用:这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去 脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力。
2 2 4 4 2 2 2 2 例 1. 计算: 5 解:原式 ? 5 x ? 3 y ? 2 5 x ? 9 y x ? 3 y 5 x ? 3 y

?

? ?

?

????
2

2

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
2 4 例 2. 计算: ? 1 ? a a ? 1 a ? 1 a ? 1 ? ? ? 2 2 4 解:原式 ? 1 ? a 1 ? a 1 ? a

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?? 1 ?a ?? 1 ?a ?
4 4 8 ?1 ?a

3 x ? 2 y ? 5 z ? 1 ? 3 x ? 2 y ? 5 z ? 1 例 3. 计算: ? ? ? ?

2 y ? 5 z ? 3 x ? 1 2 y ? 5 z ? 3 x ? 1 解:原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3

? 2 y ? 5 z 3 x ? 1 ? ?? ? ?
2

2

2 2 2 ? 4 y ? 9 x ? 2 5 z ? 2 0 y z ? 6 x ? 1

三、逆用:学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置, 得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。 例 4. 计算: ? 578 abc ? ? ?? 578 abc ? ? ? ?
2 2

5 a ? 7 b ? 8 c ? 5 a ? 7 b ? 8 c 5 a ? 7 b ? 8 c ? 5 a ? 7 b ? 8 c 解:原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?1 0 a 1 4 b? 1 6 c ? ? ?1 4 0 a b? 1 6 0 a c

四、变用:

题目变形后运用公式解题。

x ? y ? 2 z x ? y ? 6 z 例 5. 计算: ? ? ? ?

x ? y ? 2 z ?? 4 z x y ? 2 zz ? 4 解:原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? x ? y ? 2 z 4 z ? ?? ? ?
2 2

2 2 2 ? x ? y ? 1 2 z ? 2 x y ? 4 x z ? 4 y z

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例,经过 变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
1. ?a ? b? ? 2ab ? a2 ? b2
2

2. ?a ? b? ? 2ab ? a2 ? b2
2

3. ?a ? b? ? ?a ? b? ? 2 a2 ? b2
2 2

?

?

4. ?a ? b? ? ?a ? b? ? 4ab
2 2

灵活运用这些公式, 往往可以处理一些特殊的计算问题, 培养综合运用知识的能力。
2 2 例 6. 已知 a ? b ? 4 ,ab ? 5 ,求 a 的值。 ?b

2 2 2 ? ba ? ? b ? 24 a b ? ? 2 ? 5 ? 2 6 解: a ? ? 2

例 7. 计算: ? a ? b ? c ?? d b ? c ? d ? a ?? ?
2

2

b ? c ? a ?? d b ? c ? a ? d 解:原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
2

2

? 2 bc ? ad ? ? ?? ? ?
2 2 2 2

?

2

?


2 ? 2 a ? 2 b ? 2 c ? 2 d ? 4 b c ? 4 a d

2 例 8. 已知实数 x、y、z 满足 xy ,那么 x ( ? 2 y ? 3 z ? ? ? 5 , z ? x yy ? ? 9

4

解:由两个完全平方公式得: ab ? 从而
2 2 12 z ?5 ? x ? y ?? y9 ? ? 4

1 ? a ? b? 2 ? ? a ? b? 2 4

?

?

?

?

25 1 2 ? ?5 ? 2 y ? ? y ? 9 4 4 ? ? y2 ? 6y ? 9 ? ? ? y2 ? 6y ? 9 ? ? ? y ? 3?
2

?

?

∴ z2 ? ?y ? 3? ? 0
2

∴ z ? 0, y ?3 ∴ x ?2 ∴ x ? 2y ? 3z ? 2 ? 2 ? 3? 0 ? 8

三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”. 例 1 计算(-2x2-5)(2x2-5) 分析: 本题两个因式中 “-5” 相同, “2x2” 符号相反, 因而 “-5” 是公式(a+b)(a-b)=a2-b2 中的 a,而“2x2”则是公式中的 b. 解:原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4. 例 2 计算(-a2+4b)2 分析:运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2 时,“-a2”就是公式中的 a,“4b”就是公式中 的 b; 若将题目变形为(4b-a2)2 时, 则 “4b” 是公式中的 a, 而 “a2” 就是公式中的 b. (解 略) (二)、注意为使用公式创造条件 例 3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 分析:粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x”、“5”两项同 号,“y”、“z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式 的形式. 解:原式=?(2x+5)+(y-z)??(2x+5)-(y-z)? =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2. 例 4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2 分析:若先用完全平方公式展开,运算十分繁冗,但注意逆用幂的运算法则,则可 利用乘法公式,使运算简便. 解:原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2 =[(a3-1)(a6+a3+1)]2 =(a9-1)2=a18-2a9+1
5

例 5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1). 分析:此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公 式,使问题化繁为简. 解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1 (三)、注意公式的推广 计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的 2 倍. 例 6 计算(2x+y-3)2 解:原式=(2x)2+y2+(-3)2+2〃2x〃y+2〃2x(-3)+2〃y(-3) =4x2+y2+9+4xy-12x-6y. (四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式 例 7 (1)已知 x+y=10,x3+y3=100,求 x2+y2 的值; (2)已知:x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2 的值. 分析:粗看似乎无从下手,但注意到乘法公式的下列变形:x2+y2=(x+y)2-2xy, x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,问题则十分简单. 解:(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知条件代入得 100=103-3xy〃10, ∴xy=30 故 x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40. (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1. 例 8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2. 分析:直接展开,运算较繁,但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 2 2 2 2 (a+b) +(a-b) =2(a +b ),因而问题容易解决. 解:原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2 =2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2] =2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2 =4a2+4b2+4c2 (五)、注意乘法公式的逆运用 例 9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2. 分析:若按完全平方公式展开,再相减,运算繁杂,但逆用平方差公式,则能使运 算简便得多. 解:原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)] =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac. 例 10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2 分析:此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式, 则运算更为简便. 解:原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2 =[(2a+3b)+(4a-5b)]2 =(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2.
6

四、怎样熟练运用公式:
(一) 、明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:符号左边是两个二项式相 乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平 方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下 正确运用公式. (二) 、理解字母的广泛含义 乘法公式中的字母 a、b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母 含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x+2y-3z)2,若视 x+2y 为公式中的 a,3z 为 b,则就可用(a-b)2=a2-2ab+b2 来解了。 (三) 、熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算, 此时要根据公式 特征,合理调整变化,使其满足公式特点. 常见的几种变化是: 1、位置变化 如(3x+5y) (5y-3x)交换 3x 和 5y 的位置后即可用平方差公式计 算了. 2、符号变化 如(-2m-7n) (2m-7n)变为-(2m+7n) (2m-7n)后就可用平方 差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?) 2 3、 数字变化 如 98×102, 992, 912 等分别变为 (100-2) (100+2) , (100-1) , (90+1) 2 后就能够用乘法公式加以解答了. 4、系数变化 如(4m+ n ) (2m- n )变为 2(2m+ n ) (2m- n )后即可用平方差公
2 4 4 4

式进行计算了. 5、项数变化 如(x+3y+2z) (x-3y+6z)变为(x+3y+4z-2z) (x-3y+4z+2z)后 再适当分组就可以用乘法公式来解了. (四) 、注意公式的灵活运用 有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如 计算(a2+1)2〃(a2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则 后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1) (a2-1)]2=(a4-1)2=a8-2a4+1. 对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左) 运用.如计算(1-
1 22

) (1-

1 32

) ( 1-

1 42

)…(1-

1 92

) (1-

1 10 2

) ,若分别算出各因式

的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而 逆用平方差公式,则可巧解本题. 即原式=(1-
2 2 3 3

1 2

) ( 1+
9 10 10

1 2

) (1-
2 10

= 1 × 3 × 2 × 4 ×…×

× 11 = 1 × 11 =

1 ) ( 1+ 1 3 3 11 . 20

) ×…× ( 1 -

1 10

) ( 1+

1 10



有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变 式主要有:a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab 等. 用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效. 如已知 m+n=7,mn=-18,求 m2+n2,m2-mn+ n2 的值.
7

面对这样的问题就可用上述变式来解, 即 m2+n2=(m+n)2-2mn=72-2×(-18)=49+36=85, m2-mn+ n2= (m+n)2-3mn=72-3×(-18)=103. 下列各题,难不倒你吧?! 1、若 a+ 1 =5,求(1)a2+
a
2 4

1 a2

, (2) (a- 1 )2 的值.
a
8 16

2、求(2+1) (2 +1) (2 +1) (2 +1) (2 +1) (232+1) (264+1)+1 的末位数字. (答案:1.(1)23; (2)21.2. 6 )

五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)=a2±2ab+b2, (a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3.

第一层次──正用 即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用. 例 1 计算

(2)(-2x-y)(2x-y).

(2)原式=[(-y)-2x][(-y)+2x]=y2-4x2.

第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用. 例 2 计算

(1)19982-1998〃3994+19972; 解(1)原式=19982-2〃1998〃1997+19972 =(1998-1997)2=1

第三层次──活用 :根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式; 有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
8

例 3 化简:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1. 分析直接计算繁琐易错, 注意到这四个因式很有规律, 如果再增添一个因式 “2-1” 便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解. 解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216. 例 4 计算:(2x-3y-1)(-2x-3y+5) 分析仔细观察,易见两个因式的字母部分与平方差公式相近,但常数不符.于是可 创造条件─“拆”数:-1=2-3,5=2+3,使用公式巧解. 解原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2) =[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)] =(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5.

第四层次──变用 :解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式, 如 a +b2=(a+b)2-2ab,a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.
2

例 5 已知 a+b=9,ab=14,求 2a2+2b2 和 a3+b3 的值. 解: ∵a+b=9,ab=14,∴2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92-2〃14)=106, a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=93-3〃14〃9=351

第五层次──综合后用 :将(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2 综合, 可得 (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(a+b)2-(a-b)2=4ab;

等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷. 例 6 计算:(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 解:原式=
1 1 [(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2- [(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2 4 4

=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2

六、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式: 对于学习的两种(三个)乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公 式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它 们。假设 a、b 都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。 如图 1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图
9

的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;图 2 中的两个图阴影部分面积分别为 (a+b)2 与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a-b)2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧: ①提出负号: 对于含负号较多的因式, 通常先提出负号, 以避免负号多带来的麻烦。 例1、 运用乘法公式计算: (1)(-1+3x)(-1-3x); (2)(-2m-1)2 解: (1)(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2. (2) (-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2= 4m2+4m+1. ②改变顺序:运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公 式的特征更加明显. 例2、 运用乘法公式计算: 1 1 1 a (1)( a- b )(- b - ); (2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2) 3 4 4 3 1 1 1 a 1 1 1 1 解: (1)( a- b )(- b - )=(- b+ a )(- b - a ) 3 4 4 3 4 3 4 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 =( b- a )( b + a )=( b)2- ( a)2 = b- a 4 3 4 3 4 3 16 9 2 2 (2) (x-1/2)(x +1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x +1/4) =(x2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16. ③逆用公式 将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得 a2-b2 = (a+b)(a-b),
10

逆用积的乘方公式,得 anbn=(ab)n,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。 例3、 计算: (1)(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; (2)(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 解: (1)(x/2+5)2-(x/2-5)2 =[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)] =(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x〃10=10x. 2 2 2 (2)(a-1/2) (a +1/4) (a+1/2)2 =[(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2)] 2 =[(a-1/2 ) (a+1/2) (a2+1/4)] 2 =[(a2-1/4 ) (a2+1/4)] 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8-a4/8+1/256. ④合理分组:对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各 因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与 完全平方公式进行计算。 计算: (1)(x+y+1)(1-x-y); (2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 解: (1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2 =1-(x2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-y2. (2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z) =[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)] = (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2) = 4x2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y2-z2+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛。尤其多项式 乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特 征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行。 一. 先分组,再用公式 例 1. 计算: ( a ? b ? c ? d ) ( ? a ? b ? c ? d ) 简析:本题若以多项式乘多项式的方法展开,则显得非常繁杂。通过观察,将整式 ;将另一个整式 ( a ? b ?? cd )运 用 加 法 交 换 律 和 结 合 律 变 形 为 ( ? bd ? ) ? ( ac ? ) ,则从其中找出了特点,从而利用平方差公式即 ? bd ? ) ? ( ac ? ) ( ?a ? b ? c ? d ) 变形为 ( 可将其展开。 ( ? b ? d ) ? ( a ? c ) ? b ? d ? a ? c 解:原式 ? ? ? ?? ? ? ? ?
2 2 ? ( ?? bd ) ? ( a ? c ) 2 2 2 2 ? b ? 2 b d ? d ? a ? 2 a c ? c

二. 先提公因式,再用公式 y?? y? ? 例 2. 计算: ?8 x? ??4 x? ? ? 2?? 4? 简析:通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的 x 的系数成倍数,y 的系数也 成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数 2 出来,变为 y? ? 2? 4 x ? ? ,则可利用乘法公式。 ? 4?

11

y y ? ? ? ? 解:原式 ?24 4 x? ? ? x? ? ? ? ? ? ? 4 4
2 ? 2 ? y? ? ? 2 ?? 4 x ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? 2 y ? 32 x 2 ? 8

三. 先分项,再用公式 例 3. 计算: ? 23 xy ? ? 2 23 xy ? ? 6 ? ? ? 简析: 两个多项中似乎没多大联系, 但先从相同未知数的系数着手观察, 不难发现, x 的系数相同,y 的系数互为相反数,符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。 若将 2 分解成 4 与 ? 2的和,将 6 分解成 4 与 2 的和,再分组,则可应用公式展开。 ( 2 x ? 4 ) ? ( 2 ? 3 y ) 2 x ? 4 ? 2 ? 3 y 解:原式= ? ? ? ? ? ? ? ?
2 ? ( 2 x ? 4 ) ? 2 ? 3 y ? ? 2 2 2 ? 4 x ? 1 6 x ? 1 2 ? 1 2 y ? 9 y

四. 先整体展开,再用公式 例 4. 计算: ( a ? 2 b ) ( a ? 2 b ? 1 ) 简析:乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即 ? ,再 ( a ? 2 b ) ? 1 ? 将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开。 ( ab ? 2 ) ( ab ?? 2 )1 解:原式 ? ? ? ? ( a ? 2 ba ) (? 2 b ) ? ( a ? 2 b )
2 2 ? a ? 4 b ?? a2 b

五. 先补项,再用公式 8 4 2 例 5. 计算: 3 ?? ( 3 1 ) ( 31 ? ) ( 31 ? ) ( 3 ? 1 ) 简析:由观察整式 (3?1 ),不难发现,若先补上一项 (3?1 ),则可满足平方差公式。 多次利用平方差公式逐步展开,使运算变得简便易行。 8 4 2 ( 31 ? ) ( 31 ? ) ( 31 ? ) ( 3 ? 1 ) ( 3 ? 1 ) 3 ? 解:原式 ? 2 8 4 ( 3 ? 1)( 3 ? 1)( 3 2 ? 1)( 3 2 ? 1) ? 3? 2 8 4 ( 3 ? 1)( 3 ? 1)( 3 4 ? 1) ? 3? 2 8 8 ( 3 ? 1)( 3 ? 1) ? 3? 2 16 ( 3 ? 1) ? 3? 2 16 5 3 ? ? 2 2 六. 先用公式,再展开
12

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 例 6. 计算: ? 1 ? 1 ? 1 ? … 1 ?2 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1 ? 0

? 2 ? 1? 2 ? 1? ? 简析:第一个整式 ? 1 ? 2 ? 可表示为 ?1 ? ? ? ? ,由简单的变化,可看出整式符合 ? 2? ? ? 2 ? ? ? ?

平方差公式,其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可。 ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? 解:原式 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? … 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ? ?3 ? ?3 ? ?4 ? ?4 ? ?1 ? ?1 ? 0 0 3 1 4 2 5 3 1 191 1 ? ? ? ? ? ? … ??? 2 2 3 3 4 4 1 0 1 0 2 0 七. 乘法公式交替用 2 2 2 2 例 7. 计算: ( x ? z ) ( xx ? 2 z ? z ) ( x ? z ) ( xx ? 2 z ? z ) 简析:利用乘法交换律,把第一个整式和第四个整式结合在一起,把第二个整式与 第三个整式结合,则可利用乘法公式展开。 2 2 2 2 解:原式 ? () x ? z ( x ? 2 x z ? z ) ( x ? 2 x z ? z ) () x ? z

? ? ? ? ( x ? z ) ( x ? z ) ( x ? z ) ( x ? z ) ? ? ? ?
2 2

?

? ( x ? z) 3 ( x ? z) 3 ? ?( x ? z)( x ? z)? ? (x2 ? z2 )3 ? x 6 ? 3x 4 z 2 ? 3x 2 z 4 ? z 6
3

八、中考与乘法公式
1. 结论开放 例 1. (02 年济南中考)请你观察图 1 中的图形,依据图形面积的关系,不需 要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是______________。

2 2 xy ? xy ??? y 分析:利用面积公式即可列出 ? ? ? ?x
2 2 2 2 ??? y xy xy ? x ? y x ? 2 x y ? y 或x 或? ? ? ? ? ??
2

在上述公式中任意选一个即可。

例 2. (03 年陕西中考)

13

如图 2,在长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形( a?b) ,把余下的部 分剪成一个矩形,如图 3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是 ______________。

2 2 2 a ? b a ??? ba ??? b? a b a ? b 分析:利用面积公式即可列出 ? 或a ? ? ? 2b ? ? ?

2. 条件开放 例 3. (03 年四川中考)多项式 9 x 2 ? 1 加上一个单项式后,使它能成为一个整 式的完全平方, 则加上的单项式可以是____________ (填上你认为正确的一个即可, 不必考虑所有的可能情况) 。 分析:解答时,可能习惯于按课本上的完全平方公式,得出
2 2 9 x ? 16 ? x ? 3 x ? 1 x ? 16 ? x ? 3 x ? 1 ? ? 或9 ? ?只要再动点脑筋,还会得出 2 2

9x2 ? 1 ?

81 4 ? 9 2 ? x ? ? x ? 1? ?2 ? 4
2

2

9 x 2 ? 1 ? 1 ? ?3 x ?

2 2 2 9 x ? 1 ? 9 x ? 1

故所加的单项式可以是 ? 6 x,或

81 4 x ,或 ?1,或 ?9x2 等。 4

3. 找规律 例 4. (01 年武汉中考) 观察下列各式:

?x ?1??x ?1? ? x2 ?1 ?x ?1??x2 ? x ?1? ? x3 ?1 ?x ?1??x3 ? x2 ? x ?1? ? x4 ?1
… …
n n ? 1 n ? 2 由猜想到的规律可得 ? ____________。 x ? 1 x ? x ?? x … ? x ? 1 ? ?

?

?

分析:由已知等式观察可知 4. 推导新公式

nn ? 1n ? 2 n ? 1 x ? 1 x ? x ? x ? … ? x ? 1 ? x ? 1 ?? ? ?

2 a ? 1 a ? 2 a ? 1 例 5. 在公式 ? 中,当 a 分别取 1,2,3,……,n 时,可得下列 ?? 2

n 个等式

14

?1 ? 1? 2 ? 12 ? 2 ? 1 ? 1 ?2 ? 1? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 1 ?3 ? 1? 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 1
… …
2

?n ? 1?

? n ? 2n ? 1
2

将这 n 个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式:

12 ??? 3… ?? n __________(用含 n 的代数式表示)
分析:观察已知等式可知,后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边,将已 知等式左右两边分别相加,得:
2 2 移项,整理得: n ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? … ? 2 ? n ? n ? ?

1 123 ??? … ?? n n n ? 1 ? ? 2
例 6. (04 年临汾中考)阅读材料并解答问题:我们已经知道,完全平方公式可以 用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些等式也可以用这种形式表示,例如: 2 2 2 a ?? b a baa ?? 2 3 b ? b 就可以用图 4 或图 5 等图表示。 ? ? ? ?

(1)请写出图 6 中所表示的代数恒等式____________;

(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示:
2 2 a ?? b a 3 b ? a ?? 43 a b b ? ? ? ?

(3)请仿照上述方法另写一个含有 a,b 的代数恒等式,并画出与之对应的几何图 形。
2 2 2 a ? b 2 b ? aaba ? 225 ? ? b 解: (1 ) ? ? ? ?

(2)如图 7

15

(3)略

16


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