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计数原理


1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
1.分类加法计数原理 (1) 问题引入:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车。如果一天中火车有 3 班,汽车 有 2 班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? (2) 分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第一类中有 m 种不同的方法,在第 二类方案中有 n 种不同的方法。那么完成这件事共有

N=m+n (3)知识应用 例题 1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A、B 两所大学各有一些自己感兴趣 的强专业,具体情况如下: A 大学:生物学、化学、医学、物理学、工程学 B 大学:数学、会计学、信息技术学、法学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? 2.分步乘法计数原理 (1)提出问题:用前 6 个大写英文字母和 1-9 九个阿拉伯数字,以 A1,A2.....,B1,B2.... 的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?

(2)分步乘法原理:完成一件事需要两步才能完成,在第一步中有 m 个不同的选择,在第 二步中有 n 种不同的选择。那么完成这件事共有 N=m*n (3)知识应用 例题 1.设某班有男生 30 名,女生 24 名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛, 共有多少种不同的选法?

?总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同

例题 2.如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同 一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种? 分析:哪种原理?

3.综合应用 例题 1:随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增加,汽车牌照号码需交通 管理部门出台一种汽车牌照组成办法, 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并且 3 个字母必须合成一组出现,3 个数字也必须合成一组出现。 那么这种方法共能给多少辆汽车上牌照?

1.2 排列
(1)问题引入: A:从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午 的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?

(2)排列的定义包括两方面:?取出元素?按一定顺序排列 排列数:

A

m n

(m≦n)
2 n

排列数公式

A

的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元素 a1,a2,....

a

n

中任取 2 个

元素去填空,一个空位田一个元素,每一种天罚就得到一个排列。

A

2 n

=n(n-1)

链接本子上的。 (3)练习 例题 1.解方程:3

A

3 x

? 2 A x ?1 ? 6 A x

2

2

例题 2. (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法?

(2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? 例题 3. 某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意 挂 1 面、2 面、3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?

例题 4. 将 4 名司机。 、 、4 名售票员分配到 4 辆不同班次的公交汽车上,每一辆汽车分别有 一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案?

例题 5. 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单, 如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置山,则共有多少种不同的排法?

例题 6. 7 位同学站成一排 (1)甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种?

(2)甲乙必须相邻,且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?

(3)甲乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?

总结:相邻问题,用“捆绑法”(先捆后松) 不相邻问题, “插空法” (特殊元素后考虑)

1.3 组合
1.说明:不同元素;只取不排——无序性 例题 1.判断下列问题是组合还是排列 (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种 不同的飞机票价? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? 例题 2.设 x ?

N ,求 C
?

x ?1

2 x ?3

? C x ?1 的值。

2 x ?3

例题 3.(1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?

例题 4.(1) 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分法?

(2)从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议,要求至少有 2 名男生和 1 名女生 参加。有多少种选法?

2.组合数的性质

(1)

c ?c 说明: c
n n

m

n?m 0 n

? 1;

等式特点:等式两边下 标同,上标之和等于下 标;

c ?c
n

x

y n

则有 x=y 或 x+y=n (2)

c

m n ?1

? cn ? cn

m

m ?1

例题 5.第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支球队有幸 参加,他们先分成 8 个小组循环赛,决出 16 强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名 晋级 16 强),这支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠亚军,此外还要决出第三、四 名。问这次世界杯总进行多少场比赛?

3.组合中的分组和平均分租 现有 6 本不同的书,求在下列条件下各有多少种分法: (1)将它们平均分成 3 组; (2)将它们分成 3 分,其中一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本; (3)将它们平均分给 3 个人; (4)它们分给 3 个人,其中一人得 1 本,另外两人分别得 2 本和 3 本

方法总结:(1)对于 n 个不同的元素,平均分成 m 组 (2)对于 n 个不同的元素,分成 m 组,且每一组的元素个数不同 (3)n 个不同元素平分 m 组,并放入不同的盒子 (4)n 个不同元素,分成 m 份,每份的元素个数各不相同

历年高考题 1.用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用 3 种颜色 且相邻的两个格子颜色不同。则不同的涂色方法共有_种(用数字作答)

2.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选择一门,学校 规定每位同学选修 4 门,共有___种不同的选修方案。 3.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期天参加公益活动,每人一天,要求星 期五有 2 人,星期六,星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有() A.40 种 B.60 种 C.100 种 D.120 种 4.安排 3 名支教老师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有__种

5.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另外两组各 1 人,分赴世博会的四个不同场 馆服务,不同的分配方案有____种 6.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲乙两名 学生不能分配到一个班,则不同分法的种数为 () A18 B24 C.30 D.36 7.甲乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程至少有 1 门不相同的选法共有( ) A.6 种 B.12 种 C.30 种 D.36 种

8.12 名学生合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排, 若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 ()

A

C A
8

2

2

3

B.

CA
8

2

6 6

C.

CA
8

2

2 6

D.

CA
8

2

2 5

9.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则有不同的分配方案___种。

10.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一台阶上的人不区 分站的位置,则有不同的站法种数是___种。

11.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成。如果第一棒火 炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则有不同的 传递方案共有___种。

12.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张。从中任取 3 张,要求 这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为多少?


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