当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数图像及性质习题含答案0


三角函数
一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系
板块一: 任意角的概念与弧度制

(一)知识内容
1. 角的概念的推广 ⑴角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点,始边,终边称为角的

三要素.角可以是任意大小的.
⑵角按其旋转方向可分为:正角,零角,负角. ①正角:习惯

上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角; ②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角; ③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角: ①角的顶点在原点,始边在 x 轴的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫轴线角.

2.终边相同的角的集合:设 ? 表示任意角,所有与 ? 终边相同的角,包括 ? 本身构成一个集合,这个 集合可记为 S ? ?? ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z? .集合 S 的每一个元素都与 ? 的终边相同,当 k ? 0 时,对应元 素为 ? .
3.弧度制和弧度制与角度制的换算

⑴角度制:把圆周 360 等分,其中 1 份所对的圆心角是 1 度,用度作单位来度量角的制度叫做角度制.

<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表: 度数
弧度
0? 0 180?

15°

30 ?

45 ?

60?

75°

90 ?

120?

135?

150?

π 12
210°

π 6
225°
5π 4

π 4
240°

π 3
270?

5π 12
300°

π 2
315°
7π 4

2π 3
330°

3π 4
360? 2π

5π 6

度数
弧度

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

page 1 of 41

⑵1 弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.任一已知角 ? 的弧
l 度数的绝对值 ? ? ,这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制. r

⑶弧度与角度的换算: 180 ? π rad , 1 rad ? ? ? ? 57.30? ? 57?18? ? π ?
板块二:任意角的三角函数

? 180? ?

(一)知识内容
1.三角函数定义 在直角坐标系中,设 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x , y ) ,它与原点 的距离为 r(r ? | x |2 ? | y |2 ? x2 ? y2 ? 0) ,那么 ⑴比值

y y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r
x x 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r

⑵比值

⑶比值

y y 叫做 ? 的正切,记作 tan? ,即 tan ? ? ; x x
x x 叫做 ? 的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y

⑷比值

⑷比值

r r 叫做 ? 的正割,记作 sec? ,即 sec ? ? ; x x
r r 叫做 ? 的余割,记作 csc? ,即 csc ? ? . y y

⑸比值

2.三角函数的定义域、值域 函数
y ? sin ?

定义域

值域
[?1, 1] [?1, 1]

R R
π ? ? ?? | ? ? ? kπ , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cos?
y ? tan ?

R

page 2 of 41

3.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ⑴正弦值 ⑵余弦值 ⑶正切值

y 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ; r
x 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ; r

y 对于第一、三象限为正( x , y 同号) ,对于第二、四象限为负( x , y 异号). x

可以用下图表示:

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值. 4.同角三角函数的基本关系式: 平方关系: sin 2 x ? cos2 x ? 1 , sec2 x ? tan 2 x ? 1 , csc2 x ? cot 2 x ? 1 商数关系:

sin x cos x ? tan x , ? cot x cos x sin x
1 1 1 ,csc x ? , tan x ? cos x cos x cot x

倒数关系: sec x ? 6.诱导公式:

⑴角 ? 与 ? ? k ? 2π(k ? Z) 的三角函数间的关系;
sin(? ? 2kπ) ? sin ? , cos(? ? 2kπ) ? cos ? , tan(? ? 2kπ) = tan? ;

⑵角 ? 与 ?? 的三角函数间的关系;
sin(?? ) ? ? sin ? , cos(?? ) ? cos ? , tan(?? ) ? ? tan ? ;

⑶角 ? 与 ? ? (2k ? 1) π(k ? Z) 的三角函数间的关系;
sin ?? ? (2k ? 1)π? ? ? sin ? , cos ?? ? (2k ? 1)π? ? ? cos ? , tan ?? ? (2k ? 1)π? ? tan ? ;

⑷角 ? 与 ? ?

?
2

的三角函数间的关系.

π? π? π? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? , tan ? ? ? ? ? ? cot ? . 2 2? 2? ? ? ? ?

page 3 of 41

4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点,需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识, 一般情 况下,化简的基本思路是:减少角的种数,减少三角函数的种数,适当配凑和拆分,统一切割化弦等等.

二、三角函数的图象与性质
板块一: 任意角的概念与弧度制

(一)知识内容
⑴单位圆: 半径等于单位长的圆叫做单位圆 . 设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x 轴交点分别为
A(1,0) , A?(?1,0) ,而与 y 轴的交点分别为 B(0,1) , B?(0, ?1) .由三角函数的定义可知,点 P 的坐标为
(cos ? ,sin ? ) ,即 P(cos ? ,sin ? ) .其中 cos ? ? OM , sin ? ? ON .

y
y
B(0,1) N A'(-1,0) P(cos ? , sin? ) A(1,0)

T(1,tan? )

?

A(1,0)

O
B'(0,-1)

O

M

x

x
T'

这就是说,角 ? 的余弦和正弦分别等于角 ? 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点
A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T (或 T ? ) ,则 tan ? ? AT (或 AT ? ).

⑵有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段. 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义:

设任意角 ? 的顶点在原点 O , 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交于点 P ( x, y ) , 过P作x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1,0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T . 我们就分别称有向线段 MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线.
page 4 of 41

板块一:三角函数的图象

(一) 知识内容
1.三角函数的图象
-2? -?
O ?

y
2?

y

x
-? /2 ? /2 O ? 3? /2

y=sinxx
y
-? -2?
O ? 2?

-3? /2

-?

x

x

y=cosx

y=tanx

2.函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象的作法――五点法


①确定函数的最小正周期 T ? ②令 ? x ? ? =0、 、π 、

3π ? 1 π 1 1 3π 1 ? ? ) 、 (2 π ? ? ) , 、2π , 得 x ? ? 、 ( ? ? ) 、 (π ? ? ) 、 ( 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 π 1 1 3π 1 ? ? ), ?1) 、( (2π ? ? ), 0) ; 于是得到五个关键点 ( ? , 0) 、( ( ? ? ),1) 、( ( π ? ? ), 0) 、( ( ? ? 2 ? ? 2 ?

?



π 2

③描点作图,先作出函数在一个周期内的图象,然后根据函数的周期性,把函数在一个周期内的图象 向左、右扩展,得到函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象.

3. y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象 ? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象可以用下面的方法得到:先把 y ? sin x


函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

图象上所有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位;再把所得各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ;再把所得的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短

(0 ? A ? 1) 到 原 来 的 A 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) , 从 而 得 到 y ? A sin(? x ? ? ) 的 图 象 . 当 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 表示一个振动量时: A 叫做振幅; T 叫做周期;
1 叫做频率; ? x ? ? 叫做相位, T

? 叫做初相.
page 5 of 41

上面是一种函数的平移缩放的过程,可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函 数.下面把这个过程分解一下: (1)相位变换 要得到函数 y ? sin( x ? ? )(? ? 0) 的图象,可以令 x ? x ? ? ,也就是原来的 x 变成了现在 的 x ? ? ,相当于 x 减小了 ? (? ? 0) ,即可以看做是把 y ? sin x 的图象上的各点向左 (? ? 0) 或 向右 (? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位而得到的.这种由 y ? sin x 的图象变换为 y ? sin( x ? ? ) 的图 象的变换,使相位由 x 变为 x ? ? ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换. (2)周期变换 要得到函数 y ? sin ? x(? ? 0, ? ? 1) 的图象,令 x ? ?x ,即现在的 x 缩小到了原来的 ? 倍,就 可以看做是把 y ? sin x 的图象上的各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的 坐标不变)得到,由 y ? sin x 的图象变换为 y ? sin ? x 的图象,其周期由 2π 变为 周期变换.周期变换是一种横向的伸缩. (3)振幅变换 要得到 y ? A sin x( A ? 0, 且A ? 1) 的图象,令 y ?

1

?

倍(纵

2π ,这种变换叫 ?

y ,即相当于 y 变为原来的 A 倍,也就是把 A

y ? sin x 的图象上的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍(横坐标不变)而
得到的.这种变换叫做振幅变换.振幅变换是一种纵向的伸缩. 板块二:三角函数图象变换 板块一: 任意角的概念与弧度制

(一)知识内容
<教师备案>1.函数图象平移基本结论小结如下:

左移a个单位( a ?0) y ? f ( x) ?????? ? y ? f ( x ? a)
右移a个单位( a ?0) y ? f ( x) ?????? ? y ? f ( x ? a)

上移a个单位( a ?0) y ? f ( x) ?????? ? y ? a ? f ( x)

page 6 of 41

下移a个单位( a ? 0) y ? f ( x) ?????? ? y ? a ? f ( x)
? y ? f ( x) ???????? ? y ? f (? x)
1 各点横坐标变成原来的 倍

y ? f ( x) ???????? ? Ay ? f ( x)
绕x轴翻折 y ? f ( x) ???? ?? y ? f ( x)

1 各点纵坐标变成原来的 倍 A

绕y轴翻折 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x)
这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出,以左移 a 个单位的解 析式变化为例: 设 P( x0 , y0 ) 为 y ? f ( x) 左移 a 个单位后所得图象上的任意一点, 则将P右移 a 个单位得 到的 P '( x0 ? a, y0 ) 必在 y ? f ( x) 的图象上,故 y0 ? f ( x0 ? a) ,又 P( x0 , y0 ) 点任意,故
y ? f ( x) 的图象左移 a 个单位得到的新的函数的解析式为: y ? f ( x ? a) .

函数变换可以用下图表示:

page 7 of 41

y=s i? n x

1 横 坐 标 扩 大 倍(0<?? 1) ? 1 横 坐 标 缩 短 倍(?? 1) ?

y=s ixn

向 左 平 ? 移(?>0) 向 右 平 ? 移(?<0)

y=s i(n x+?)

? 向 左 平 移 (?>0) ? ? 向 右 平 移 (?<0) ? 纵 坐 标 扩 大 A倍为 (A>1) 纵 坐 标 缩 短 A倍为 (0<A<1)

y=s i(n ?x+?)

1 横 坐 标 扩 大 倍(0<?? 1) ? 1 横 坐 标 缩 短 倍(?? 1) ? b 向 上 平 移(b>0) A b 向 下 平 移(b<0) A

y=A s i(n ?x+?)

y=s i(n ?x+?)

向 上 平b移 (b>0) 向 下 平b移 (b<0)

y=A s i(n ?x+?)+b

纵 坐 标 扩 大 A倍为 (A>1) 纵 坐 标 缩 短 A倍为 (0<A<1)

板块三:三角函数的性质 板块一: 任意角的概念与弧度制
1.三角函数的性质 函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

y ? cot x

{ x | x ? R , 且x ?
定义域

R

R

k? ?

?
2

, k ? Z}

{x | x ? R, 且x ? k? , k ? Z}
R
奇函数

值域 奇偶性

[?1,1]
奇函数 有界函数 | sin x |? 1

[?1,1]
偶函数 有界函数

R
奇函数

有界性

| cos x |? 1

无界函数

无界函数

周期性(最小正 周期)

T ? 2π

T ? 2π

T ?π

T ?π

page 8 of 41

单调性

π π 在[2kπ ? , 2kπ ? ] 2 2 π 3π 在[2kπ ? , 2kπ ? ] 2 2 ( π ? Z)

在[(2k ? 1) π,

在[( kπ ? π ] 2 (k ? Z) kπ ?

2kπ]

,[2kπ

π , 2

在[(kπ, kπ ? π] ( k ? Z)

, (2k ? 1) π] ( k ? Z)

π x ? 2 kπ ? , 2

x ? 2kπ,

ymax ? 1 ;
最值

ymax ? 1 ;
x ? (2k ? 1)π ,
无 无

π x ? 2kπ ? , 2

ymin ? ?1 (k ? Z)
π (k ? Z) 2

ymin ? ?1
(k ? Z)
x ? kπ(k ? Z)
无 无

对称轴

x ? kπ ?

对称点

(kπ, 0)(k ? Z)

π ( kπ+ , 0) 2 ( k ? Z)

(kπ,0)(k ? Z)

π (kπ+ , 0)(k ? Z) 2

2. y ? sin x 与 y ? sin x 的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期
y ? sin x y ? sin x

R
[0 , 1]

R
[?1 , 1]

偶函数
T ?π

偶函数 不是周期函数 增减区间规律不明显,只能就具体 区间分析

单调性

π [kπ , kπ ? ] 为增区间, 2
π ? ? ? kπ ? 2 , kπ ? π ? 为减区间 (k ? Z) ? ?

page 9 of 41

(数学 4 必修)第一章 [基础训练 A 组]
一、选择题

三角函数(上)

1.设 ? 角属于第二象限,且 cos
A.第一象限 C.第三象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( 2



B.第二象限 D.第四象限

2.给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos(?2200 ) ;③ tan(?10) ;④
0 0

sin

7? cos? 10 .其中符号为 17? tan 9

负的有( A.①

) B.② C.③ D.④
page 10 of 41

3. sin 2 1200 等于(



A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

4.已知 sin ? ?

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 5
) C.
3 4

tan ? 的值等于(
A. ?

4 3

B. ?

3 4

D.

4 3

5.若 ? 是第四象限的角,则 ? ?? 是( A.第一象限的角 C.第三象限的角 B.第二象限的角 D.第四象限的角



6. sin 2 cos 3 tan 4 的值( A.小于 0 B.大于 0

) C.等于 0 D.不存在

二、填空题
1.设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限.

2.设 MP 和 OM 分别是角

17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18

① MP ? OM ? 0 ;② OM ? 0 ? MP ; ③ OM ? MP ? 0 ;④ MP ? 0 ? OM , 其中正确的是_____________________________。

3.若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系是___________。

page 11 of 41

4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是

2



5.与 ? 2002 终边相同的最小正角是_______________。
0

三、解答题
1.已知 tan ? , 的值.

1 7 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? ? ,求 cos ? ? sin? 2 tan ?

2.已知 tan x ? 2 ,求

cos x ? sin x 的值。 cos x ? sin x

3.化简:

sin(5400 ? x) 1 cos(3600 ? x) ? ? sin(? x) tan( 9000 ? x) tan(4500 ? x) tan( 8100 ? x)

page 12 of 41

4.已知 sin x ? cos x ? m, ( m ?

4 4 (2) sin x ? cos x 的值。 2 , 且 m ? 1) ,求(1) sin 3 x ? cos3 x ;

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.若角 600 的终边上有一点 ?? 4, a ?,则 a 的值是(
0



A. 4 3

B. ? 4 3

C. ? 4 3

D. 3

2.函数 y ?

sin x cos x tan x 的值域是( ? ? sin x cos x tan x
B. ?? 1,0,3? D. ?? 1,1?



A. ?? 1,0,1,3? C. ?? 1,3?

3.若 ? 为第二象限角,那么 sin 2? , cos

?
2



1 , cos 2?

1 cos

?
2

中,

page 13 of 41

其值必为正的有( A. 0 个 B. 1 个

) C. 2 个 D. 3 个

4.已知 sin ?

? m, ( m ? 1) ,

?
2

? ? ? ? ,那么 tan ? ? (

).

A.

m 1 ? m2

B. ?

m 1 ? m2

C. ?

m 1 ? m2
sin ?

D. ?

1 ? m2 m

5.若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则

1 ? sin 2 ?

?

1 ? cos 2 ? 的值等于( cos ?

).

A. 2

B. ?2

C. ?2 或 2

D. 0

6.已知 tan?

? 3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是( 2

).

A. ?

1? 3 2

B.

?1? 3 2

C.

1? 3 2

D.

1? 3 2

二、填空题
1.若 cos? ? ?

3 ,且 ? 的终边过点 P( x,2) ,则 ? 是第_____象限角, x =_____。 2

2.若角 ? 与角 ? 的终边互为反向延长线,则 ? 与 ? 的关系是___________。

3.设 ?1 ? 7.412, ? 2 ? ?9.99 ,则 ?1 , ? 2 分别是第

象限的角。
page 14 of 41

4.与 ? 2002 终边相同的最大负角是_______________。
0

5.化简: m tan00 ? x cos900 ? p sin 1800 ? q cos2700 ? r sin 3600 =____________。

三、解答题
0 0 0 0 1.已知 ? 90 ? ? ? 90 ,?90 ? ? ? 90 , 求 ? ?

?
2

的范围。

2.已知 f ( x) ? ?

?cos?x, x ? 1 1 4 求 f ( ) ? f ( ) 的值。 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 1,

3.已知 tan x ? 2 , (1)求

2 2 1 sin x ? cos 2 x 的值。 3 4

(2)求 2 sin x ? sin x cos x ? cos x 的值。
2 2

page 15 of 41

4.求证: 2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? )2

[提高训练 C 组] 一、选择题
1.化简 sin 600 的值是(
0



A. 0.5

B. ?0.5

C.

3 2

D. ?

3 2

x (a ? x) 2 cos x 1 ? a ? ? 2.若 0 ? a ? 1 , ? x ? ? ,则 2 x?a cos x a x ? 1

?

的值是( A. 1

) C. 3 D. ? 3

B. ? 1

3.若 ? ? ? 0,

? ?? log sin ? 等于( ? ,则 3 3 ? 3?



page 16 of 41

A. sin ?

B.

1 sin ?

C. ? sin ?

D. ?

1 cos ?

4.如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2 ,那么这个圆心角所对的弧长为( A.



1 sin 0.5

B. sin 0.5 D. tan 0.5 )

C. 2sin 0.5

5.已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( A.若 ? , ? 是第一象限角,则 cos ? ? cos ? B.若 ? , ? 是第二象限角,则 tan ? ? tan ? C.若 ? , ? 是第三象限角,则 cos ? ? cos ? D.若 ? , ? 是第四象限角,则 tan ? ? tan ?
6.若 ? 为锐角且 cos? ? cos
?1

? ? ?2 ,则 cos? ? cos?1 ?
C. 6 D. 4

的值为(



A. 2 2

B. 6

二、填空题
1.已知角 ? 的终边与函数 5x ? 12y ? 0, ( x ? 0) 决定的函数图象重合, cos ? ? _____________.

1 1 ? 的值为 tan ? sin ?

2.若 ? 是第三象限的角, ? 是第二象限的角,则

? ??
2

是第

象限的角.

3.在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角 为 120 ,若要光源恰好照亮整个广场,则其高应为_______ m (精确到 0.1m )
0

4.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第

象限。

5. 若集合 A ? ? x | k? ?

? ?

?

? 则 A ? B =___________________。 ? x ? k? ? ? , k ? Z ? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2? , 3 ?

page 17 of 41

三、解答题 1.角 ? 的终边上的点 P 与 A(a, b) 关于 x 轴对称 (a ? 0, b ? 0) ,角 ? 的终边上的点 Q 与 A 关于直线

y ? x 对称,求

sin ? tan? 1 ? ? 之值. cos ? tan ? cos? sin ?

2.一个扇形 OAB 的周长为 20 ,求扇形的半径,圆心角各取何值时,此扇形的面积最大?

3.求

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? 的值。 1 ? sin 4 ? ? cos 4 ?

page 18 of 41

4.已知 sin ? ? a sin ? , tan? ? b tan? , 其中 ? 为锐角, 求证: cos? ?

a2 ?1 b2 ?1

(数学 4 必修)第一章 [基础训练 A 组]
一、选择题

三角函数(下)

1.函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A. 0 B.



? 4

C.

? 2

D. ?

2.将函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,

再将所得的图象向左平移

1 x 2 1 ? C. y ? sin( x ? ) 2 6
A. y ? sin

? 个单位,得到的图象对应的僻析式是( 3 1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 2 ? D. y ? sin(2 x ? ) 6



3.若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是(


page 19 of 41

5? ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? ) ( , ) C. ( , 2 4 4 2
A. (

? 3?
,

) (? ,

5? , ) (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? ) ( ,? ) D. ( , 2 4 4
B. (

? ?

4.若

?
4

?? ?

?
2

, 则(



A. sin ? ? cos ? ? tan ? C. sin ? ? tan ? ? cos ?

B. cos ? ? tan ? ? sin ? D. tan ? ? sin ? ? cos ?

5.函数 y ? 3 cos(

2 ? x ? ) 的最小正周期是( 5 6



A.

2? 5

B.

5? 2

C. 2?

D. 5?

6.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin( 2 x ?

2? 2? ) 、 y ? cos( 2 x ? ) 中, 3 3

最小正周期为 ? 的函数的个数为( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个

) D. 4 个

二、填空题
1.关于 x 的函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) 有以下命题: ①对任意 ? , f ( x ) 都是非奇非偶函数;

②不存在 ? ,使 f ( x ) 既是奇函数,又是偶函数;③存在 ? ,使 f ( x ) 是偶函数;④对任意 ? , f ( x ) 都

不是奇函数.其中一个假命题的序号是

,因为当 ? ?

时,该命题的结论不成立.

2.函数 y ?

2 ? cos x 的最大值为________. 2 ? cos x

page 20 of 41

3.若函数 f ( x) ? 2 tan( kx ?

?
3

) 的最小正周期 T 满足 1 ? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______.

4.满足 sin x ?

3 的 x 的集合为_______________________。 2

5.若 f ( x) ? 2 sin ?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0,

?
3

] 上的最大值是 2 ,则? =_____________。

三、解答题
1.画出函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象。

2.比较大小(1) sin 1100 , sin 1500 ; (2) tan2200 , tan2000

3. (1)求函数 y ?

log2

1 ? 1 的定义域。 sin x

(2)设 f ( x) ? sin(cos x),(0 ? x ? ? ) ,求 f ( x ) 的最大值与最小值。

page 21 of 41

4.若 y ? cos2 x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。

[综合训练 B 组] 一、选择题
1.方程 sin ? x ? A. 5 C. 7 B. 6 D. 8 )

1 x 的解的个数是( 4



2.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为(

A. (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

B. (

?
4

,? )
5? 3? , ) 4 2

C. (

? 5?
4 , 4

)

D. (

?
4

,? ) ? (

3.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? 则 ? 可能是( )

?
8

对称,

page 22 of 41

A.

? 2

B.

?

?
4

C.

? 4

D.

3? 4

4.已知 ?ABC 是锐角三角形, P ? sin A ? sin B, Q ? cos A ? cos B, 则( A. P ? Q B. P ? Q C. P ? Q D. P 与 Q 的大小不能确定



5.如果函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是 T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那么( A. T ? 2, ? ?



?
2

B. T ? 1,? ? ? D. T ? 1, ? ?

C. T ? 2,? ? ?

?
2


6. y ? sin x ? sin x 的值域是( A. [?1,0] C. [ ?1,1] B. [0,1] D. [?2,0]

二、填空题
1.已知 cos x ?

2a ? 3 , x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围___________。 4?a

2 . 函 数 y ? f (cosx) 的 定 义 域 为 ?2k? ? ____________________. 3.函数 y ? ? cos(

? ?

?
6

,2k? ?

2? ? (k ? Z ) , 则 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 3 ? ?

x ? ? ) 的单调递增区间是___________________________. 2 3

4.设? ? 0 ,若函数 f ( x) ? 2sin ? x 在 [ ?

? ?

, ] 上单调递增,则? 的取值范围是________。 3 4

5.函数 y ? lg sin(cosx) 的定义域为_______________________。

三、解答题
page 23 of 41

1. (1)求函数 y ?

2 ? log 1 x ? tan x 的定义域。
2

(2)设 g ( x) ? cos(sin x),(0 ? x ? ? ) ,求 g ( x) 的最大值与最小值。

2.比较大小(1) 2

tan

?
3

,2

tan

2? 3



(2) sin 1, cos1 。

3.判断函数 f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x 的奇偶性。 1 ? sin x ? cos x

page 24 of 41

4.设关于 x 的函数 y ? 2cos2 x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f ( a ) , 试确定满足 f (a ) ?

1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义城是(
2 2



A. ? x 2k? ?

? ?

3? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ? x ? k? ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? ? ,k ?Z? 4 ?

C. ? x k? ?

? ?

?
4

?

? ,k ?Z? 4 ?

D. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ? ,k ?Z? 4 ?

2.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0

?

? x) ? f ( ? x), 则 f ( ) 等于( 6 6 6

?

?



D. ?2 或 0

page 25 of 41

? ? 3? 15? ?cos x, (? ? x ? 0) )等 , 则 f (? 3.设 f ( x ) 是定义域为 R ,最小正周期为 的函数,若 f ( x) ? ? 2 2 4 ? ? sin x, (0 ? x ? ? )
于( ) A. 1 B.

2 2

C. 0

D. ?

2 2

4.已知 A1 , A2 ,… An 为凸多边形的内角,且 lg sin A1 ? lg sin A2 ? .....? lg sin An ? 0 ,则这个多边 形是( ) B.梯形 C.矩形 D.含锐角菱形

A.正六边形

5.函数 y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 的最小值为( A. 2 B. 0 C. 1 D. 6



6.曲线 y ? A sin ? x ? a( A ? 0, ? ? 0) 在区间 [0,

2?

?

] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1 所得的弦长相等且不为

0 ,则下列对 A, a 的描述正确的是(



A. a ?

1 3 ,A? 2 2

B. a ?

1 3 ,A? 2 2

C. a ? 1, A ? 1

D. a ? 1, A ? 1

二、填空题
1 .已知函数 y ? 2a ? b sin x 的最大值为 3 ,最小值为 1 ,则函数 y ? ?4a sin _____________,值域为_________________.

b x 的最小正周期为 2

page 26 of 41

2.当 x ? ?

? ? 7? ? , ? 时,函数 y ? 3 ? sin x ? 2cos2 x 的最小值是_______,最大值是________。 6 6 ? ?

3.函数 f ( x ) ? ( )

1 3

cos x

在 ??? , ? ? 上的单调减区间为_________。

4.若函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b tan x ? 1,且 f (?3) ? 5, 则 f (? ? 3) ? ___________。

5.已知函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后 把所得的图象沿 x 轴向左平移

? , 这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图象相同, 则已知函数 y ? f ( x) 的 2

解析式为_______________________________.

三、解答题 1.求 ? 使函数 y ? 3 cos(3x ? ? ) ? sin(3x ? ? ) 是奇函数。

2.已知函数 y ? cos x ? a sin x ? a ? 2a ? 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值。
2 2

page 27 of 41

3.求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0, ? ? 的最大值和最小值。

4.已知定义在区间 [ ? ? 当 x ?[ ?

2 ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称, 3 6

? 2

? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , 6 3 2 2
y
1
? ?

其图象如图所示.

2 (1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; 3
2 (2)求方程 f ( x ) ? 的解. 2



x??

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

page 28 of 41

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.C

三角函数(上) [基础训练 A 组]
?
4

2 k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时, 而 cos

? ? 在第一象限;当 k ? 2n ? 1,(n ? Z ) 时, 在第三象限; 2 2

?
2

? ? cos

?
2

? cos

?
2

? 0 ,?

?
2

在第三象限;

2.C

sin(?10000 ) ? sin800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0
sin 7? 7? cos ? ? sin 10 10 ,sin 7? ? 0, tan 17? ? 0 ? 17? 17? 10 9 tan tan 9 9
page 29 of 41

tan(?10) ? tan(3? ?10) ? 0 ;

3.B 4.A 5.C 6.A

sin 2 1200 ? sin1200 ?

3 2

4 3 sin ? 4 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 3

? ?? ? ?? ?? ,若 ? 是第四象限的角,则 ?? 是第一象限的角,再逆时针旋转1800
?
2 ? 2 ? ? ,sin 2 ? 0;

?
2

? 3 ? ? , cos 3 ? 0; ? ? 4 ?

3? , tan 4 ? 0;sin 2 cos 3 tan 4 ? 0 2

二、填空题 1.四、三、二

? ? 0 , c?o? s ;当 0 ? 是第三象限角时,s i n ? ? 0 , c?o? s ;0 当 ? 是第二象限角时,s i n ? ? 0 , c?o? s ;0 当 ? 是第四象限角时, s i n

2.②

17 ? 1? 7 sin ? M P? 0 , c o s ? O M ? 18 18

0

3. ? ? ? ? 2k? ? ? 4. 2 5. 158
0

? 与 ? ? ? 关于 x 轴对称
l 2, ? ? l 4,? r ? 2

S?

1 ( 8? 2 r ) r ? 42r , ? 4 r? 4 ? 0 r,? 2

?2 0 0 02 ? ? 2 1 0 60 ?

0 1 5 8 , ( 02 ? 1 6 0 0 ?3 6 0

6)

三、解答题 1. 解:

tan ? ?

1 1 7 ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ,而 3? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? k ? 2, tan ? tan ? 2

得 tan ? ? 1 ,则 sin ? ? cos ? ? ? 2.解:

2 ,?cos? ? sin ? ? ? 2 。 2

cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2 ? ? ? ?3 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2

sin(1800 ? x) 1 cos x 3.解:原式 ? ? ? 0 0 tan(? x) tan(90 ? x) tan(90 ? x) sin(? x)
? sin x 1 ?t a n x ? t ax n? ( ? ) ?t a n x t axn s xi n
2

4.解:由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m , 即 sin x cos x ?

m2 ? 1 , 2
page 30 of 41

(1) sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
3 3

m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2

(2) sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2(
4 4 2 2

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? 2 2

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.B

三角函数(上) [综合训练 B 组]

tan 6000 ?

a , a ? ?4 tan 6000 ? ?4 tan 600 ? ?4 3 ?4

2.C 当 x 是第一象限角时, y ? 3 ;当 x 是第二象限角时, y ? ?1 ; 当 x 是第三象限角时, y ? ?1 ;当 x 是第四象限角时, y ? ?1 3.A

2 k? ? k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), 4k? ? ? ? 2? ? 4k? ? 2? , (k ? Z ),

?

4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ), 2? 在第三、或四象限, sin 2? ? 0 ,

cos 2? 可正可负;
4.B

? ? 在第一、或三象限, cos 可正可负 2 2
sin ? m ?? cos ? 1 ? m2

cos ? ? ? 1 ? m2 , tan ? ?

5.D

sin ? 1 ? cos 2 ? sin ? ? ? ? , cos ? cos ? cos ? 1 ? sin 2 ? sin ?
当 ? 是第二象限角时,

sin ? sin ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? 0 ; cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? tan ? ? tan ? ? 0 cos ? cos ?

当 ? 是第四象限角时,

6.B

??

4? 1 3 ?1 ? 3 , cos ? ? sin ? ? ? ? ? 3 2 2 2

二、填空题 1.二, ?2 3

cos ?? ?

3 ? 0 ,则 ? 是第二、或三象限角,而 Py ? 2 ? 0 2

page 31 of 41

得 ? 是第二象限角,则 sin ? ? 2. ? ? ? ? (2k ? 1)? 3.一、二

1 2 3 , tan ? ? ? ? , x ? ?2 3 2 x 3

0 ? 7 . 4 1? 2 ? 2? 2

?

, ?1 是第一象限角; 得

?

2
4. ?202 5. 0
0

? ?9 . 9 ? 9 ?4? ? 得 , ? 2 是第二象限角

?2 0 0 02 ? ? 5? 3 0 6 0? ? ( 0 202 ) 0, co0 s? 90 0 , s0i ? n 180
0 0 ,? cos 2700 ?0, sin 360

t a n 00?

0

三、解答题 1.解: ?90 ? ? ? ? 90 , ?45 ? ?
0 0 0

?
2

? 450 , ?900 ? ? ? 900 ,

??
2.解:

?
2

? ? ? (?

?
2

) , ?1350 ? ? ?

?
2

? 1350

1 ? 1 4 1 1 f ( ) ? cos ? , f ( ) ? f ( ) ? 1 ? ? 3 3 2 3 3 2 1 4 ? f ( )? f ( ) ?0 3 3 2 2 1 2 2 1 sin x ? cos2 x tan x ? 2 1 4 4? 7 3.解: (1) sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ?3 2 2 2 3 4 sin x ? cos x tan x ? 1 12
(2) 2sin x ? sin x cos x ? cos x ?
2 2

2sin 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x

2 t a2 nx ? t a xn ? 1 7 ? ? tan x? 1 5
4.证明:右边 ? (1 ? sin ? ? cos ? ) ? 2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? cos ?
2

? 2 (1 ? si ?n? c? o?s ? s i n ?c o s ? 2 (1 ? si ?n ? ) ( 1 ?c o s )

)

?2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? )2

数学 4(必修)第一章
一、选择题

三角函数(上) [提高训练 C 组]

page 32 of 41

1.D

sin 6000 ? sin 2400 ? sin(1800 ? 600 ) ? ? sin 600 ? ?

3 2

x (a ? x) 2 cos x 1 ? a ? ? ? 1 ? (?1) ? (?1) ? 1 2.A cos x ? 0,1 ? a ? 0, x ? a ? 0, x?a cos x a x ? 1 x

3.B

log3 sin ? ? 0,3

log3 sin ?

? 3? log3 sin ? ? 3

log3

1 sin ?

?

1 sin ?

4.A 作出图形得

1 1 1 ? sin 0.5, r ? ,l ? ? ? r ? r sin 0.5 sin 0.5

5.D 画出单位圆中的三角函数线 6.A

(cos? ? cos?1 ? )2 ? (cos? ? cos?1 ? )2 ? 4 ? 8,cos? ? cos?1 ? ? 2 2

二、填空题 1. ?

77 13

r)? , 在角 ? 的终边上取点 P(? 1 2 , 5 2k1? ? ? ? ? ? 2 k1 ?? 3? ,k( 1 ?Z 2

12 1 3? ,c ?o ?s 13 )k ,? 22 ?

?? ,? tan

2.一、或三

?

5 12

? ? , sin
),

5 13

(k1 ? k2 ) ??
3. 17.3

?

4 2 h ? t a n 30 0h , ? 30

?

?? ?

? (k1 ? k2 ?) ? 10 3

?

2

? ?? 2 k ?2 , 2( Z 2? ? k ?

2

4.二

tan ? s i? n?

2 sin ? ? cos ?

0, c ?o? s

0? ,s ?i n

0

5. [?2, 0] [ 三、解答题

?
3

, 2]

? 2? ? ? A ? ? x| k ?? ? x ? ? k? ?, ? k ?Z ? ... ?[ 3 3 ? ?

, 0]

?
3

[? , ]

...

1.解: P(a, ?b),sin ? ?

?b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ? ? a b

b a

Q( b, a) , s ? in ?

a a ?b
2 2

,? co ?s

b a? b
2 2

? , t?a n

sin ? tan ? 1 b2 a 2 ? b 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ?0。 cos ? tan ? cos ? sin ? a a2
2. 解:设扇形的半径为 r ,则

S?

1 (20 ? 2r )r ? ?r 2 ? 10r 2
page 33 of 41

当 r ? 5 时, S 取最大值,此时 l ? 10, ? ?

l ?2 r

3.解:

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? 1 ? (sin 2 ? ? cos 2 ? )(sin 4 ? ? sin 2 ? cos 2 ? ? cos 4 ? ) ? 1 ? sin 4 ? ? cos4 ? 1 ? (1 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ) 1 ? (1 ? 3sin 2 ? cos 2 ? ) 3 ? 1 ? (1 ? 2sin 2 ? cos2 ? ) 2
sin ? a sin ? ? , 即 a cos ? ? b cos ? tan ? b tan ?
2

?

4.证明:由 sin ? ? a sin ? , tan? ? b tan? , 得

而 a sin ? ? sin ? ,得 a ? b cos ? ? sin ? ,即 a2 ? b2 cos2 ? ? 1 ? cos2 ? ,
2 2 2

得 cos ? ?
2

a2 ?1 a2 ?1 ? , 而 为锐角, ? cos ? ? b2 ? 1 b2 ? 1

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.C 当 ? ? 2.C

三角函数(下) [基础训练 A 组]
?

) ? cos 2 x ,而 y ? cos 2 x 是偶函数 2 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? y ? sin( x ? ) ? y ? sin( x ? ) ? y ? sin[ ( x ? ) ? ] ? y ? sin( x ? ) 3 2 3 2 3 3 2 6 2

?

时, y ? sin(2 x ?

3.B

5? ?? ?? ? ? sin ? ? cos ? ? 0 ? ? ? 5? ?4 4 ?? ? ? ? ( , ) (? , ) ? 4 2 4 ? tan ? ? 0 ?0 ? ? ? ? , 或? ? ? ? 5? ? ? 2 4
tan ? ? 1,cos ? ? sin ? ? 1, tan ? ? sin ? ? cos ?

4.D 5.D

T?

2? ? 5? 2 5

6.C 由 y ? sin x 的图象知,它是非周期函数 二、填空题 1.① 0 2. 3

x 此时 f ( x)? c o s 为偶函数

y( 2? c oxs ?) ? 2
T?

2y ? 2 2 y? 2 x c o s x, ? cos ?? ? 1 ? y ?1 y? 1

1 ? y? 1, 3
3

3

3. 2, 或3

?
k

, 1?

?

? 2 , ? k? ? 而 , k ? N ? ? k k 2

?

或 2,

page 34 of 41

4. ? x | x ? 2k? ? 5.

? ?

?
3

, 或2k? ?

?

? ,k ?Z? 3 ?
,? ? 0 x ?

3 4

x ?[ 0 , ] , ? 0x ? 3 3

?

?

??
3

? 3

?

,

f ( x)m a x? 2sin
三、解答题

??
3

? 2,sin

??
3

?

2 ?? ? 3 , ? ,? ? 2 3 4 4

1.解:将函数 y ? sin x, x ??0,2? ? 的图象关于 x 轴对称,得函数 y ? ? sin x, x ??0,2? ? 的图象,再将函数 y ? ? sin x, x ??0,2? ? 的图象向上平移一个单位即可。 2.解: (1) sin1100 ? sin 700 ,sin1500 ? sin 300 , 而sin 700 ? sin 300 ,?sin1100 ? sin1500 (2) tan 2200 ? tan 400 , tan 2000 ? tan 200 , 而 tan 400 ? tan 200 ,? tan 2200 ? tan 2000 3.解: (1) log 2

1 1 1 1 ? 1 ? 0, log 2 ? 1, ? 2, 0 ? sin x ? sin x sin x sin x 2 ? 5? 2 k ? ? x? 2 k ?? , ? x ?2 k ? ?? , k ? Z 或 2 k? ? 6 6 ? 5? (2 k? , k 2? ? ] k [? 2? k? , 2 k? ), Z( 为所求。 ) 6 6

, 是 f (t ) ? sin t 的递增区间 (2) 当0 ? x ? ?时, ?1 ? cos x ? 1 ,而 [ ?11]
x ? ? 时, 1 当c o s f (x ) n( ? 1? ) m i n? s i ?
x ? 时, 1 当c o s 。 f (x ) 1 m a x? s i n
4.解:令 sin x ? t , t ? [?1,1] , y ? 1 ? sin x ? 2 p sin x ? q
2

; s in1

y ? ?(sin x ? p)2 ? p2 ? q ? 1 ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ? 1 y ? ?(t ? p)2 ? p2 ? q ? 1对称轴为 t ? p
当 p ? ?1 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t ??1 ? ?2 p ? q ? 9

3 15 ymin ? y |t ?1 ? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? , q ? ,与 p ? ?1 矛盾; 4 2
当 p ? 1 时, [?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t ?1 ? 2 p ? q ? 9

3 15 ymin ? y |t ??1 ? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? , q ? ,与 p ? 1 矛盾; 4 2
page 35 of 41

当 ?1 ? p ? 1 时, ymax ? y |t ? p ? p2 ? q ? 1 ? 9 ,再当 p ? 0 ,

ymin ? y |t ??1 ? ?2 p ? q ? 6 ,得 p ? 3 ?1, q ? 4 ? 2 3 ;
当 p ? 0 , ymin ? y |t ?1 ? 2 p ? q ? 6 ,得 p ? ? 3 ? 1, q ? 4 ? 2 3

? p ? ?( 3? 1) q,? ?4

2 3

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.C

三角函数(下) [综合训练 B 组]
1 x 的图象,左边三个交点, 4

在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin ? x, y2 ? 右边三个交点,再加上原点,共计 7 个

2.C 在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin x, y2 ? cos x, x ? (0, 2? ) 的图象,观察: 刚刚开始即 x ? (0,

) 时, cos x ? sin x ; 4 ? 5? ) 时, sin x ? cos x ; 到了中间即 x ? ( , 4 4 5? , 2? ) 时, cos x ? sin x 最后阶段即 x ? ( 4

?

3.C

对称轴经过最高点或最低点,

f ( ) ? ?1,sin(2 ? ? ? ) ? ?1 ? 2 ? ? ? ? k? ? 8 8 8 2

?

?

?

?

? ? k? ?
4.B

?

A? B ?

?

4

,k ?Z

2

,A?

?
2

? B ? sin A ? cos B; B ?

?
2

? A ? sin B ? cos A

?s i n A ? s iB n?
5.A

co A s?

c Bo s P ?, Q

T?

2?

?

? 2, f (2) ? sin(2? ? ? ) ? 1, ? 可以等于

? 2

6.D

?0,sin x ? 0 y ? sin x ? sin x ? ? ? ?2 ? y ? 0 ?2sin x,sin x ? 0

二、填空题

page 36 of 41

1. ( ?1, )

3 2

? 2a ? 3 ?0 ? 2a ? 3 3 ? 4?a ?1 ? cos x ? 0, ?1 ? ? 0, ? , ?1 ? a ? 4?a 2 ? 2a ? 3 ? ?1 ? ? 4?a
2 k? ?

2. [ ?

6 2? 8? , 4k? ? ], k ? Z 3. [4k? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ?x? , 则 [? , ] 4. [ , 2] 令 ? ? ?x ? , ? 是函数的关于 2 2 2 2? 2? 2? 2?
原点对称的递增区间中范围最大的,即 [?

1 ,1] 2

?

? x ? 2 k? ?

2? 1 , ? ? cos x ? 1 3 2 x ? x ? ) 2 k? ? ? ? 2 k? ? ? 函数 y ? c o s ( ? 递减时, 2 3 2 3

? ?

, ] ? [? , ], 3 4 2? 2?

?

?

? ?? ? ? 3 ? 4 2? ? ?? ? 2 则? 2 ?? ? ? ? ? ? 2? ? 3
5. (2k? ?

?

, 2k? ? ), (k ? Z ) 2 2

?

sin(cx o s? ) 而0? , ? 1 x c? o s ? 1, ?
2 k? ?

x 0 ? cos

1,

?
2

?x? 2 k? ?

?
2

k , ?Z

三、解答题

2 ? log 1 x ? 0 ?0 ? x ? 4 ? ? ? 2 ?? 1.解: (1) ? ? k? ? x ? k ? ? ? ? ? tan x ? 0 ? 2
得0 ? x ?

?

? x ? ( 0 , ) ?[ , 4 ] 2

?

2

,或 ? ? x ? 4

1] 是 f (t ) ? cos t 的递减区间 (2) 当0 ? x ? ?时,0 ? sin x ? 1 ,而 [0,
x ? 时, 1 当s i n ; f (x ) 1 m i n? c o s x ? 时, 0 当s i n f (x ) 0。 1 m a x? c o s?

page 37 of 41

2.解: (1)

tan

?
3

? tan

? 2? tan tan 2? ,? 2 3 ? 2 3 ; 3

(2) 3.解:当 x ?

?
?
4

?1?

?
2

,? sin1 ? cos1

2

时, f ( ) ? 1 有意义;而当 x ? ?

?

?
2

2

时, f (?

?
2

) 无意义,

? f ( x) 为非奇非偶函数。
4.解:令 cos x ? t , t ?[?1,1] ,则 y ? 2t 2 ? 2at ? (2a ? 1) ,对称轴 t ?

a , 2 a 1 y 的递增区间, ym i n? 1 ? ; ] 当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时, [? 1, 1 是函数 2 2 a 1 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymin ? ?4a ? 1 ? , 2 2 1 得 a ? ,与 a ? 2 矛盾; 8
当 ?1 ?

a a2 1 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymin ? ? ? 2a ? 1 ? , a 2 ? 4a ? 3 ? 0 2 2 2

1 ,此时 ym a x? ?4a ? 1? 5 得 a ? ?1, 或 a ? ?3 ,? a ? ? 。

数学 4(必修)第一章
一、选择题 1.D 2.B

三角函数(下) [提高训练 C 组]
?
2 3? 2

sin 2 x ? cos 2 x ? 0, ? cos 2 x ? 0, cos 2 x ? 0, 2k? ?
对称轴 x ?

? 2 x ? 2k? ?

?

, f ( ) ? ?2 6 6

?

3.B 4.C

f (?

15? 15? 3? 3? 3? 2 ) ? f (? ? ? 3) ? f ( ) ? sin ? 4 4 2 4 4 2

sin A1 sin A2 ...sin An ? 1, 而0 ? sin Ai ? 1 ? sin Ai ? 1, Ai ? 900
3 , 2

2 5.B 令 cos x ? t , t ?[?1,1] ,则 y ? t ? 3t ? 2 ,对称轴 t ? ?

y 的递增区间,当 t ? ?1 时 ym i n? 0 ; [? 1, 1 ] 是函数
page 38 of 41

6.A

图象的上下部分的分界线为 y ?

2 ? (?1) 1 1 3 ? , 得a ? , 且2 A ? 3, A ? 2 2 2 2

二、填空题 1. 4? , [? 4 , 4] ?

? 2? ? 2a ? b ? 3 ? ?a ? 1 ?? ,T ? ? 4? , ?4 ? y ? 4 b b ? 1 2 a ? b ? 1 ? ? ? ? 2

2.

7 ,2 8

? ? 7? ? 1 x ? ? , ? , ? ? sin x ? 1, y ? 2 s i 2 n x ? s ix n? ?6 6 ? 2
x? 当s i n

1,

3. [ ?

?

,, 0] [ , ? ] 令 u ? c o s x ,必须找 u 的增区间,画出 u ? c o s x 的图象即可 2 2

?

1 1 7 x? 1 或 , ? 时, ym a x? 2 ; 时, ym i n? ;当 s i n 4 2 8

4. ?3

? ? 3? ) f ( ,令 3 ) F ( x)? f ( x) ? 1 ? a sin x 2 ? 显然 T ? ? , f (
F (? 3 )? f ( ? 3) ? 1 ? F 4, (? 3f)
右移 个单位 2

t axn 为奇函数 3

? ( 3 )? ? 1f

4 , ?( ? 3)

1 ? 5. y ? sin(2 x ? ) 2 2

y?2 sin x????? ? y
y?2 sin( x2 ?

?

? 2 sin x( ? 2

?

横坐标缩小到原来的2倍

) ? ? ? ? ? ? ??
)

?

1 ? ??????? )总坐标缩小到原来的4倍? y ? s i n (x2 ? 2 2 2

三、解答题 1.解: y ? 2[sin

?
3

cos(3 x ? ? ) ? cos

?
3

sin(3 x ? ? )]

? 2sin( ? ? ? 3 x) ,为奇函数,则 3

?

??

?

3

? k? , ? ? k? ?
2

?

3

,k ?Z 。

2.解: y ? ? sin x ? a sin x ? a ? 2a ? 6, 令sin x ? t , t ?[?1,1]
2

y ? ?t 2 ? at ? a2 ? 2a ? 6 ,对称轴为 t ?


a , 2

a ? ?1 ,即 a ? ?2 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymax ? y |t ??1 ? ?a2 ? a ? 5 ? 2 2
2

得 a ? a ? 3 ? 0, a ?

1 ? 13 , 与 a ? ?2 矛盾; 2
page 39 of 41



a ? 1 ,即 a ? 2 时, [?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymax ? y |t ?1 ? ?a2 ? 3a ? 5 ? 2 2
2

得 a ? 3a ? 3 ? 0, a ?

3 ? 21 3 ? 21 ; , 而a ? 2,即a ? 2 2

当 ?1 ?

a 3 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? y | a ? ? a 2 ? 2a ? 6 ? 2 t? 2 4 2

得 3a ? 8a ? 16 ? 0, a ? 4, 或 ?
2

4 4 ,而-2 ? a ? 2, 即a ? ? ; 3 3

4 3? 2 1 ?a ? ? ,或 3 2
3.解:令 sin x ? cos x ? t , t ?

? ? ? 3? 2 ? 2 sin( x ? ), ? ? x ? ? ,? ? sin( x ? ) ? 1 4 4 4 4 2 4
1? t2 1? t2 1 1 ? ? t2 ? t ? , y ?t? 2 2 2 2

得 t ?[?1, 2] , sin x cos x ?

对称轴 t ? 1 ,当 t ? 1 时, ymax ? 1 ;当 t ? ?1 时, ymin ? ?1。 4.解: (1) x ? [ ?

T 2? ? , ? ] , A ? 1, ? ? , T ? 2? , ? ? 1 6 3 4 3 6 2? 2? ? ? , 0) ,则 ? ? ? ? , ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) 且 f ( x) ? sin( x ? ? ) 过 ( 3 3 3 3 ? ? ? 2? ? ? ? , f (? x ? ) ? sin(? x ? ? ) 当 ?? ? x ? ? 时, ? ? ? x ? ? 6 6 3 3 3 3 3 ? ? 而函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,则 f ( x) ? f (? x ? ) 3 6

? 2

即 f ( x) ? sin(? x ?

?

? ) ? ? sin x , ?? ? x ? ? 3 3 6

?

?

? ? 2? ? sin( x ? ), x ? [? , ] ? ? 3 6 3 ? f ( x) ? ? ?? sin x, x ? [?? , ? ? ) ? 6 ?
(2)当 ?

?
6

?x?

2? ? ? ? 2 时, ? x ? ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) ? 3 6 3 3 2

x?

?
3

?

?
4

,或

3? ? 5? , x ? ? ,或 4 12 12
时, f ( x) ? ? sin x ?

当 ?? ? x ? ?

?
6

2 2 ,sin x ? ? 2 2
page 40 of 41

x??

?
4

,或 ? ,?

?x ? ?

?
4

3? ? 5? , ? ,或 为所求。 4 12 12

3? 4

page 41 of 41


相关文章:
三角函数图像及性质习题含答案0
三角函数图像及性质习题含答案0_数学_高中教育_教育专区。三角函数一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系板块一: 任意角的概念与弧度制 (一)知识内容 1. 角...
三角函数的图像与性质习题及答案
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数图像性质习题及答案_数学_高中教育_教育专区。§ 4.3 三角函数图象与性质 (时间:45 分钟 满分:100 分) 一...
三角函数图像及性质习题含答案
三角函数图像及性质习题含答案 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系板块一: 任意角的概念与弧度制 (一)知识内...
三角函数的图像与性质经典练习题
三角函数图像性质经典练习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档三角函数图像性质经典练习题_数学_高中教育_教育专区。1、-510°...
三角函数图像和性质练习题(附答案)
三角函数图像性质一、选择题 1.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? ? ? 3 4 , ]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于( C.2 D.3 ...
三角函数图像与性质试题及配套答案
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档三角函数图像性质试题及配套答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数测试题一、选择题 1、函数 y ? 2 sin( 2 x...
三角函数的图像与性质练习题(基础)
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数图像性质练习题(基础)_数学_高中教育_教育专区。三角函数图像性质练习题(基础) 则 f ( ) =( ) ? 1 ...
三角函数图像与性质练习题及答案
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档三角函数图像性质练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图像与性质练习题一 选择题 1.把函数 y = sin x 的图...
三角函数的图像与性质习题及答案
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数的图像与性质习题及答案_数学_高中教育_教育专区。三角函数图像和性质 一、选择题 π? 1.设函数 f(x)=sin? ?2x...
三角函数的图像和性质 测试题及解析
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数图像性质 测试题及解析_数学_高中教育_教育专区。三角函数图象性质函数y=Asin(ωx+φ)的图象 时间80分钟 ...
更多相关标签: