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T@第2章 对数函数和幂函数


第2章
一、选择题 1. A.

对数函数和幂函数

log 2 9 ? log3 4 ?
1 4
B.

1 2

C. ?

D. ?

【答案】D 【解析】 试题分析:

log2 9 ? log3 4 ?

log2 32 ? log3 22 ? 2 log2 3? 2 log3 2 ? 4 log2 3? log3 2 ? 4 ,答案选 D.

考点:对数的运算性质 2.计算 ? log5 4? ? ? log16 25? ? ( A. 2 【答案】B 【解析】 试题分析:由换底公式得, ?log5 4? ? ?log16 25? ? 考点:换底公式的应用. 3.函数 f ( x ) ? log 2 x 在区间 [1, 2] 上的最小值是( A . ?1 【答案】B 【解析】 B.0 C.1 ) D.2 B. 1 C. )

1 2

D.

1 4

lg 4 2 lg 5 ? ?1. lg 5 2 lg 4

试题分析:画出 f ( x ) ? log 2 x 在定义域 x x ? 0?内的图像,如下图所示,由图像可知 f ( x ) ? log 2 x 在区 间 [1, 2] 上为增函数,所以当 x ? 1 时 f ( x ) ? log 2 x 取得最小值,即最小值为 f (1) ? log 2 1 ? 0 。 y

?

2 0 (1,0) x

考点:对数函数的图像及性质 4.不等式 log2 (? x ? x ? 2) ? 1 的解集为(
2

) C、 ?0,1? D、 ?1,2?

A、 ?? 2,0? 【答案】 C

B、 ?? 1,1?

2 【解析】要使原式有意义需满足: ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 2

试卷第 1 页,总 1 页

原式可化为 log2 (? x2 ? x ? 2) ? log2 2 函数 y ? log 2 x 在 [0, ??) 是单调递增函数

? ? x2 ? x ? 2 ? 2

?0 ? x ? 1 ?1 ? x ? 2

? 不等式 log2 (?x2 ? x ? 2) ? 1 的解集为 (0,1)
故选 C 【考点】对数不等式的解法;对数函数的单调性.

1 ? 1 ,则 a 的取值范围为( ) 3 1 1 A.(0, ) B.( , ? ? ) 3 3 1 1 C.( ,1) D.(1, ) ? (1, ? ? ) 3 3
5. log a 【答案】C 【解析】 试题分析: log a

1 1 1 1 ? 1 ? log a a ,当 a ? 1 时,则 ? a ,矛盾;当 0 ? a ? 1 时,则 ? a ,所以 ? a ? 1 。 3 3 3 3

故选 C。 考点:对数函数的性质 点评:在求对数不等式的问题时,需将数值变为对数,像本题,是将 1 变成 loga a 。 6.函数 log 2 A.[-1,1] C.(1 ,+∞) 【答案】B 【解析】

1? x 的定义域是 ( x ?1

)

B.(-1,1) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

试题分析:为使函数有意义,需

1? x x ?1 1? x ? 0 ,即 ? 0 ,解得,-1<x<1,所以,函数 log 2 的定义域 x ?1 x ?1 x ?1

是(-1,1) ,选 B。 考点:对数函数的性质。 点评:简单题,确定函数的定义域,一般要考虑分母不为 0,偶次根号下式子非负,对数的真数大于 0. 7.幂函数 f ( x) ? x 的图象过点 (2, 4) ,那么函数 f ( x) 的单调递增区间是( A. (?2, ??) 【答案】C 【解析】 试题分析:因为函数过点 (2, 4) ,所以 4 ? 2 ,? ? 2 ,故函数解析式为 y ? x ,单调增区间为 [0, ??) ,
?
2

?



B. [?1, ??)

C. [0, ??)

D. (??, ?2)

选 C. 考点:1.幂函数;2.二次函数.

试卷第 2 页,总 2 页

8.已知幂函数 f ( x) ? x m 的图象经过点(4,2) ,则 f (16) ? ( A.2 2 【答案】B 【解析】 B.4 C.4 2

) D.8

试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 幂 函 数 f ( x) ? x m 的 图 象 经 过 点 ( 4 , 2 ), 代 入 得 到 为 2= 4 ? 2
m 2m

? 2 ? 2m=1,m ?

1 ,故可知 f (16) ? 4.故答案为 B. 2

考点:幂函数 点评:主要是考查了幂函数的解析式的运用,属于基础题。 9.计算 (m2 )3 ? m4 等于( A. m9 【答案】B 【解析】 试题分析: (m2 )3 ? m4 ? m2?3 ? m4 ? m2?3?4 ? m10 。故选 B。 考点:指数幂的运算
m n m? n 点评:本题运用指数幂的运算公式: a ? a ? a , (am )n ? amn 。

) D. m14

B. m10

C. m12

10.下列对函数 y ? x ?2 ?x ? R, x ? 0? 的性质描述正确的是( A.偶函数,先减后增 C.奇函数,减函数 【答案】B 【解析】 试题分析: y ? x
?2



B.偶函数,先增后减 D.偶函数,减函数

?x ? R, x ? 0? 是偶函数,图象关于 y 轴对称,而在(0,+∞)是减函数,所以,在(-

∞.0)是增函数,故选 B。 考点:幂函数的性质。 点评:简单题,结合图象,根据对幂函数性质的认识,做出选择。 11.幂函数 y ? x A、 -1<m<3
m2 ?2 m?3

?m ? Z ? 的图象如右图所示,则 m 的值为
C、1 D、2

B、0

【答案】C 【解析】 试题分析: 因为幂函数 y ? x
m2 ?2 m?3

?m ? Z ? 在 (0, ??) 是减函数,所以 m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? m ? 3 ,

又 m? z ,且函数为偶函数,所以 m=1,选 C。 考点:本题主要考查幂函数的图象和性质。
试卷第 3 页,总 3 页

点评:简单题,当幂指数为正数时,幂函数在 (0, ??) 是增函数;当幂指数为负数时,幂函数在 (0, ??) 是 减函数。 12.幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( 4, ), 则f ( 2)

1 2





A.

1 4

B. ?

1 2

C.

2 2

D.

2

【答案】C 【解析】 试题分析:设 y= x a ,将(4,
1

1 1 a )代入得 4 ? , 2 2

? 1 2 所以 a= ? ,f(2)= 2 2 = , 2 2

故选 C。 考点:本题主要考查幂函数的概念,待定系数法。 点评:简单题,幂函数考查中一般比较简单,本题在考查幂函数概念的同时,考查了待定系数法。
1 1 13.幂函数 y ? f ( x) 图象过点 ( , ) ,则 f [ f (9)] ? 4 2

A. 3 【答案】A

B.3

C.

1 3

D.

3 3

1 1 1 1 1 【解析】因为幂函数 y ? f ( x) ? x? 图象过点 ( , ) ? ( )? ? ?? ? ,则 f [ f (9)] ? f (3) ? 3 ,选 A. 4 2 4 2 2

14.若函数 f ( x) ? (2m ? 3) x m A. ?1 【答案】A B. 0

2

?3

是幂函数,则 m 的值为( D. 2



C. 1
2

【 解 析 】 函数 f ( x) ? (2m ? 3) x m

?3

是幂函数,则 2m ? 3 ? 1, 即 m ? ?1 。

四、填空题 15.已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x =________.
a

【答案】 10 【解析】 试题分析: 4 ? 2
a 2a

? 2 ,所以 2a ? 1 ,解得 a ?

1 1 ,由 lg x ? ,? x ? 102 ? 10 . 2 2

1

考点:对数的运算. 16.已知函数 f ( x) ? log3 x ,则 f ( 3) ? .
试卷第 4 页,总 4 页

【答案】 【解析】

1 2

试题分析: f

? 3 ? ? log

3

3?

1 1 log 3 3 ? . 2 2

考点:对数函数求值 17.函数 y ? 2 ? x ? log2 ( x ?1) 的定义域为___________. 【答案】 (1, 2] 【解析】 试题分析:因为依题意可得 ?

?2 ? x ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 .所以填 (1, 2] .本小题的关键是考察了两个知识点. x ? 1 ? 0 ?

一是偶次方根的被开方数要大于或等于零,另一个就是对数函数的真数要大于零.取这两个的解集的公共 部分即可得结论. 考点:1.对数知识.2.根式的知识. 18.已知幂函数 f ( x) ? xa 的图象过点 ? 【答案】3 【解析】

?1 1? , ? ,则 loga 8 ? ?2 4?

.

1 ?1? ?1? 试题分析:依题意,得 f ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 , log2 8 ? log2 23 ? 3 . 4 ?2? ?2?
考点:1.幂函数的性质;2.指数的运算;3.对数运算. 19.函数 y ? lg(3x ? 1) 的定义域是 ___________ ; 【答案】 ( ? , +∞) 【解析】 试题分析:要使 y ? lg(3x ? 1) 有意义,需满足 3 x ? 1 ? 0, x ? ? ,所以定义域为 ? ? , ?? ? . 考点:对数函数定义域. 20.幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (4, ) ,则 f ( ) 的值为 【答案】2 【解析】 试题分析:本题要求出幂函数 f ( x ) 的表达式,才能求出函数值,形如 y ? xa 的函数叫幂函数,故 4 ?
a

?

1 3

1 3

? 1 ? 3

? ?

1 2

1 4

.

1 , 2

1 1 1 ?1 a ? ? ,因此 f ( ) ? ( ) 2 ? 2 . 2 4 4
考点:幂函数的定义. 21.幂函数 f ( x) 的图像经过 (2, 4) ,则 f (3) = ________.
试卷第 5 页,总 5 页

【答案】 9 【解析】 试题分析:设 y ? x? ,则有 4 ? 2? , ? ? 2, y ? x2 ,所以, f (3) =9 考点:幂函数 点评:简单题,待定系数法确定幂函数,进一步求函数值。 22.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2 ),则f (9) ? 【答案】3 【解析】 试题分析:幂函数形式为 y ? x? ,其过点 (2, 2) ,则 2 ? 2 ,求得 ? ? 考点:幂函数 点评:幂函数的形式是 y ? x? 。本题需先确定幂函数的解析式。
?

.

1 , 则f (9) ? 9 2 ? 3 。 2

1

五、解答题 2 23.求(lg2) +lg2·lg50+lg25 的值. 【答案】2 【解析】 2 试题分析:原式=(lg2) +lg2· (lg2+2lg5)+2lg5 2 =2(lg2) +2lg2·lg5+2lg5 4分 =2lg2(lg2+lg5)+2lg5 6分 =2lg2+2lg5 8分 =2(lg2+lg5) 10 分 =2. 12 分 考点:本题考查了对数的运算 点评:熟练掌握对数的运算法则是解决此类问题的关键,属基础题 24. (本小题满分 12 分)设关于 x 的方程 2 (Ⅰ) 如果 b=1,求实数 x 的值;
x (Ⅱ) 如果 2 ? 16 且 log2 x ? 0 ,求实数 b 的取值范围.

2分

x?2

? 4 x ? b =0.

【答案】(Ⅰ) x ? log2 (2 ? 3) . (Ⅱ) ? 192 ? b ? 4 。 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 当 b=1时,则: 2 ∴ ∴ ∴
x?2

? 4x ?1 ? 0
(2 分) (4 分) (6 分) ∴b=- (2 ? 2) ? 4
x 2

(2 x ? 2) 2 ? 3 2x ? 2 ? 3
x ? log2 (2 ? 3) .
( Ⅱ) ∵2
x?2

? 4 x -b=0,

(8 分)

试卷第 6 页,总 6 页

又∵ 2 x ? 16 且 log2 x ? 0 ,

∴1 ? x ? 4 ,

(10 分)

∴ ? 192 ? b ? 4 (12 分) 考点:本题主要考查指数函数、对数函数的性质,简单指数方程解法。 点评:基础题,指数方程通过换元等手段,化为代数方程,是常用手段。涉及对数函数问题,要特别关注 “对数的真数大于零” 。 25.已知幂函数 f ( x) ? (m ? 1) x
2 m2 ? 4 m ? 2

在 (0, ??) 上单调递增,函数 g ( x) ? 2 ? k .
x

(1)求 m 的值; (2)当 x ? [1, 2] 时,记 f ( x) , g ( x) 的值域分别为集合 A, B ,若 A ? B ? A ,求实数 k 的取值范围. 【答案】 (1)m=0; (2)[0,1]. 【解析】 试题分析: (1)根据幂函数的定义个性质即可求出. (2)根据幂函数和指数函数的单调性,分别求出其值域,再根据 A∪B=A,得到关于 k 的不等式组,解得 即可. 试题解析:解:(1)依题意得: (m ?1) ? 1,解得 m=0 或 m=2 当 m=2 时, f (x ) ? x 在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去 ∴m=0. (2)由(1)可知 f (x ) ?x , 当 x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增, ∴A=[1,4],B=[2-k,4-k], ∵A∪B=A, ∴B ? A, ∴?
2
?2
2

?2 ? k ? 1 ?0≤k≤1. ?4 ? k ? 4

故实数 k 的取值范围是[0,1]. 考点:幂函数的性质.
2 ? m ?1 26. (本小题满分 12 分)已知幂函数 f ? x ? ? m ? 5m ? 7 x (m ? R) 为偶函数.

?

?

⑴求 f ( ) 的值; ⑵若 f (2a ? 1) ? f (a) ,求实数 a 的值. 【答案】⑴ f ( ) ? 16 ;⑵ a ? ?1 或 a ? ? . 【解析】
2 试题分析:解:⑴由 m ? 5m ? 7 ? 1 得 m ? 2 或 3 ,

1 2

1 2

1 3

?????2

当 m ? 2 时, f ? x ? ? x 是奇函数,∴不满足。
?3

当 m ? 3 时,∴ f ( x) ? x ,满足题意,

?4

?????4

试卷第 7 页,总 7 页

?4 ∴函数 f ( x) 的解析式 f ( x) ? x ?4 ,所以 f ( ) ? ( ) ? 16 .?????6

1 2

1 2

⑵由 f ( x) ? x ?4 和 f (2a ? 1) ? f (a) 可得 | 2a ? 1 |?| a | , 即 2a ? 1 ? a 或 2a ? 1 ? ?a ,∴ a ? ?1 或 a ? ? . 考点:幂函数的定义;幂函数的性质;函数的奇偶性。

?????8 ?????12

1 3

点评:充分理解幂函数 y ? x? 的形式。幂函数的图像和性质情况较多,是难点,我们应熟练掌握并能灵活 应用。此题是基础题型。

试卷第 8 页,总 8 页


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