当前位置:首页 >> 数学 >>

长沙市一中高一下学期期中考试数学试卷


湖南省长沙市第一中学 2011 级高一下学期期中考试 数学试卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个答案中,只 有一个符合题目要求. 1.已知角 ? 的终边有一点 P(?3 , 4) ,则 cos? ? ( ) 4 4 3 3 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 5 2. 根据统计显示, 某人射击 1 次, 命中 8 环、 9

环、 10 环的概率分别为 0.25、 0.15、 0.08, 则此人射击 1 次,命中不足 8 环的概率为 ( ) A.0.77 B.0.52 C.0.48 D.0.37 ? 3. 下列函数中, 周期为 , 且为奇函数的是 ( )
2

A. y ? tan 2 x 汽车大约有( A.30 辆 )

B. y ? tan x

4. 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图 1 所示, 时速在 ?50,60 ? 的 B.40 辆 C.60 辆
频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 40 50 60 70 80 时速

1 2

C. y ? sin 2 x

D. y ? cos 2 x

D.80 辆

图1

5.已知圆的一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数为 ( ) ? ? ? A.1 B. C . D. 6 4 3 6.已知下列三个命题, ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c . ②若四边形 ABCD 中有 AB ? DC ,则四边形 ABCD 为平行四边形. ③已知 A,B,C 是平面内任意三点,则 AB ? BC ? CA ? 0
则其中正确命题的个数为

( A.0

) B.1 C.2 D.3

7. 函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象关于直线 x= 函数 f(x)图象的一个对称中心是

π 对称, 它的最小正周期为 π . 则 3 ( ) π ,0) 12

A.(

π ,1) 3

B.(

π ,0) 12
1

C.(

5π ,0) 12

D.(-

8.已知函数 f ( x) ? lg a x ? 2 x ? a(a ? 0 , a ? 1) 满足 f (4) ? f (1) ? f (9) ? f (0) ,则实数 a 的取值 范围是 ( ) 3 A. ( 1 ,10 ) B. (1, 10 ) C. ( 10 ,10) D. ( 10 , 100) 二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. 9.一次选拔运动员,测得 7 名选手的身高(单位:cm)分布茎叶图如图 2,记录的平均身 高为 177 cm, 有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值为 . x 3 10.在如图 3 所示的算法流程图中,若 f(x)=2 ,g(x)=x ,则 h(3)的值为 . 2sin ? ? 3cos? ? 11.已知 tan ? ? 3 ,则 . sin ? ? 2cos?

图2 图3

12.若 | AM |=4 , | AN|=5 ,则 | MN | 的最大值为 . 13.将函数 f ( x) ? sin x 图像上所有点的横坐标都伸长为原来的 2 倍,再将所得图像向左平 ? 移 个单位, 3 然后将所得图像上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍得函数 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) = . 14.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? 3cos x ? 1 ( x ? R) ,则该函数的值域为 . 15.有一种蚂蚁跳跃的小游戏,其游戏规则是:一只蚂蚁在平面直角坐标上从点( 1,1) 开始按如下 规则跳跃: (1)该蚂蚁从任一点(m,n)跳到点(2m,n)或(m,2n) ; (2)如果 m>n,该蚂蚁能从(m,n)跳到(m-n ,n) , 如果 m<n,该蚂蚁能从(m,n)跳到(m , n-m) . 则在① (2,1) , ② (8,5) , ③ (10,24) , ④ (30,24) 四点中, 蚂蚁能到达的点是 ; 蚂蚁跳到(400,4) ,至少要跳跃 次. 三、解答题:本大题共 75 分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) ? cos( x ? ) 2 cos(? ? x) . 已知 f ( x) ? 7? sin( ? x) 2 (1)化简 f ( x) 的表达式; 5 (2)若 f (? ) ? ? ,求 cos ? , tan ? 的值. 13
2

17. (本小题满分 12 分) ? ? 已知函数 f ( x) ? 3sin( x ? ) . 4 4 (1)用“五点法”做出 f ( x) 在一个周期内的图像; (2)求使 f ( x) ? 的 x 的集合.
3 2

18. (本小题满分 12 分) 设集合 P ? {b,1} , Q ? {c,1, 2} ,若 b, c ?{2,3, 4,5,6,7,8,9} ,且 P ? Q . (1) 求 b = c 的概率; (2)求方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率.

19. (本小题满分 13 分) 已知圆 M: x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,设点 B,C 是直线 l: x ? 2 y ? 0 上的两点,它们的横坐标分 别是
t , t ? 4 (t ? R) ,点 P 在线段 BC 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,切点为 A.

(1)若 t ? 0 ,|MP| ? 5 ,求直线 PA 的方程; (2)经过 A,P,M 三点的圆的圆心是 D,求线段|DO|长的最小值 L(t ) .

20. (本小题满分 13 分) 有 一 个 调 频 过 滤 仪 其 工 作 频 率 y 与 时 间 x 的 关 系 满 足 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? ) . 在工作中当其接收的信息频率不超过其工作频率时,则使该信息通过,否则过滤该信 息(不通过) . 已知该函数两个相邻的最大值点与最小值点分别为 (?
2 ,4) , (

?
6

, 0)



(1)求该函数的解析式; (2)设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f (x) 在[a,b]上的面积,

3

已知函数 y=sinnx 在[0, ? ]上的面积为 2 (n∈N*) .若在 x ? [0 , ? ] 的时段内有频率
n
n
y ? [0 , 4] 的大

量信息被该调频过滤仪接收,求这些信息通过的概率.

21. (本小题满分 13 分) 设 f(x)是定义在[0, 1]上的函数,若存在 x*∈(0,1),使得 f(x)在[0, x*]上单调 递增,在[x*,1]上 单调递减,则称 f(x)为[0, 1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区 间. (1)若函数 f(x)= -x2+x+1,其定义域为[0, 1],试判断 f(x)是否为[0, 1]上的单 峰函数; 若 f(x)为[0, 1]上的单峰函数. (2)证明:对任意的 x1,x2∈(0,1),x1<x2,若 f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区 间; 若 f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为含峰区间; (3)对给定的 r(0<r<0.5) ,证明:存在 x1,x2∈(0,1),满足 x2-x1≥2r,使得 由(2)所确定 的含峰区间的长度不大于 0.5+r . 湖南省长沙市第一中学 2011 级高一下学期期中考试 数学参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 CBACD CBD

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分 9. 12. 15. 9 ①②③ 8 . . ; 10 . 27 . 11 . 14 . [?4 ,
3 5
17 ]. 8



1 ? 13 . 3sin( x ? ) . 2 6

14



三、解答题:本大题共 75 分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)
4

? cos( x ? ) 2 cos(? ? x) ? sin x (? cos x) ? sin x f ( x) ??????6 分 7? ? cos x sin( ? x) 2 5 5 ?? ( 2 ) ∵ f (? ) ? ? , ∴ s i? n , ∴ ? 在 第 三 或 第 四 象 13 13 限 ????????????8 分 若 ? 在第三象限,则 12 5 cos? ? ? , tan ? ? ; ????????????????10 分 13 12 若 ? 在第四象限,则 12 5 cos? ? , tan ? ? ? ; ????????????????12 分 13 12 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)列表 1 3 5 7 x
?1

? ? x? 4 4

0

? 2

?

3? 2

2?

f ( x)

0

3

0

-3

0

?????????????? 6分

? ? 3 ? ? 1 (2) f ( x) ? 3sin( x ? ) ? ? sin( x ? ) ? ,由图像可知
4 4 2 4 4 2 2k? ?

?
6

?

?
4

x?

?
4

? 2k? ?

5? (k ? Z ) 6 7 3 1 3 7 3

解得 8k ? ? x ? 8k ? (k ? Z ) , ∴ x 的集合为 {x | 8k ? ? x ? 8k ? } (k ? Z ) . ??? 12 分 18. (本小题满分 12 分) 【解析】(1) ∵ P ? Q , 当 b ? 2 时, c ? 3, 4,5,6,7,8,9 ;
5

1 3

当 b ? 2 时, b ? c ? 3, 4,5,6,7,8,9 .基本事件总数 14. 其中 b = c 的事件数为 7 种. 所以 b=c 的概率为 . (2) 记“方程有实根”为事件 A,
1 2

??????????4 分

???????????????6 分

2 若使方程有实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,即 b ? c ? 4,5,6,7,8,9 ,共 6 种. ?????9 分

所以 P( A) ?

6 3 ? . 14 7

????????????????????????12分

19. (本小题满分 13 分) 【解析】 (1)设 P(2a , a) (0 ? a ? 2) . ∵ M (0 ,2) , MP ? 5 , ∴ (2a)2 ? (a ? 2)2 ? 5 ,解得 a ? 1 或 a ? ? (舍去) .∴ P(2 ,1) 由题意知切线 PA 的斜率存在,设斜率为 k. 所以直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ∵直线 PA 与圆 M 相切,∴ ∴ 直
| ?2 ? 2k ? 1| 1? k
2

1 5

4 ? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ? . 3
y ?1

线 PA 的 方 程 是 3x ? 3 y ? 11 ? 0 ??????????????????6 分 (2)设 P(2a , a) (t ? 2a ? t ? 4) ,∵PA 与圆 M 相切于点 A,∴PA⊥MA.



∴经过 A, P, M 三点的圆的圆心 D 是线段 MP 的中点. ∵M (0,2) , ∴D 的坐标是 (a , ? 1) 设 DO2 ? f (a) ,∴ f (a) ? a2 ? ( ? 1)2 ? a2 ? a ? 1 ? (a ? )2 ? . 当 ? ? ,即 t ? ? 时, f (a)min ? f ( ) ? 当 ? ? ? ? 2 ,即 ? 当 ? 2 ? ? ,即 t ? ? 则
4 ?1 2 t?? ? 4 5t ? 8t ? 16 , 5 ? 24 4 ?2 5 ?? , ? ?t ?? . 5 5 ? 5 24 ?1 2 ? 4 5t ? 48t ? 128 , t ? ? 5 ?

a 2

a 2

5 4

5 4

2 5

4 5

t 2

2 5

4 5

t 2

5 2 t t ? ?1; 16 2

t 2

2 5

t 2

24 4 2 4 ? t ? ? 时, f (a)min ? f (? ) ? ; 5 5 5 5

t 2

2 5

t 5 24 时, f (a)min ? f ( ? 2) ? t 2 ? 3t ? 8 . 2 16 5

L(t ) ?

f (a) min

????????????????

13 分 20. (本小题满分 13 分) 【解析】 ( 1 )∵该函数两个相邻的最大值点与最小值点分别为 (?
2 ,4) , (

?
6

, 0)

,∴周期

6

? ? 2? T ? 2( ? ) ? 2 6 3


b? 2

∴? ?3, 且 A ? 2, ∴
y ? 2sin(3 x ? ? ) ? 2

, 又 “五点法” 可知 3 ?

?
2

? ? ? 2k? ?

?
2

? , ∴ ? ? 2k

? ?

, 又 0 ? ? ? 2? , ∴ ? ?? ,

???????????? ????????????????5 分 (2)如图,据题意可知 y ? sin 3 x 在[0, ? ]上的面积为 2 ,
3
3

y f?x? = sin ?3 ?x?

在[0, 2? 3 则

]上的面积为 2 ? 2 ? 4 , 3 3 3 ? 2 4 y ? 2sin 3 x 在[0, ]上的面积为 2 ? ? 3 3 3

O

x

?????

9分 函数 y ? 2sin(3 x ? ? ) ? 2 在 x ? [0 , ? ] 上的图像如图, 则图中 “S” 的面积值均为 4 ,而 y ? 2sin(3 x ? ? ) ? 2 在 x ? [0 , ? ] 的面积可表示为
3

S

4 ,故信息通过的概率为 矩形 OMNK-S= 2? ? 3

P=

2? ?

4 3 ? 3? ? 2 4? 6?

?????????????
y y=4

13 分
f?x? = 2 ?sin ?3 ?x+??+2

s

K

y=2

N

s

s

O

M

x

21. (本小题满分 13 分) 【解析】 (1)因为 f(x)= -x2+x+1 在[0, 0.5]上单调递增,在[0.5, 1]上单调递减,所 以 f(x)= -x2+x+1 是 数. [0, 1] 上 的 单 峰 函

???????????????????????3 分

(2)证明:设 x*为 f(x) 的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在[0, x*]上单调递增, 在[x*, 1]上单调递减.
7

当 f(x1)≥f(x2)时,假设 x* ? (0, x2),则 x1<x2<x*,从而 f(x*)≥f(x2)>f(x1), 这与 f(x1)≥f(x2)矛盾,所以 x*∈(0, x2),即(0, x2)是含峰区间. 当 f(x1)≤f(x2)时,假设 x* ? ( x2, 1),则 x*<≤x1<x2,从而 f(x*)≥f(x1)>f(x2), 这 与 f(x1)≤f(x2) 矛 盾 , 所 以 x*∈(x1, 1) , 即 (x1, 1) 是 含 峰 区 间. ?????????????8 分 (3)证明:由(2)的结论可知: 当 f(x1)≥f(x2)时,含峰区间的长度为 l1=x2 ;当 f(x1)≤f(x2)时,含峰区间的长度 为 l2=1-x1 ; 对于上述两种情况,由题意得

? x2 ≤ 0.5 ? r ? ?1 ? x1 ≤ 0.5 ? r
又因为 x2-x1≥2r,所以 x2-x1=2r, 将②代入①得



由①得 1+x2-x1≤1+2r,即 x2-x1≤2r. ② ③

x1≤0.5-r,x2≥0.5+r,
由①和③解得 x1=0.5-r, x2=0.5+r .

所以这时含峰区间的长度 l1=l2=0.5+r,即存在 x1,x2 使得所确定的含峰区间的长 度 不大于 0.5+r .???????????????????????13 分

8


相关文章:
湖南省常德一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷
湖南省常德一中 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意) 1.sin(﹣60°...
...2016学年湖南省衡阳一中高一(下)期中考试数学试题(...
2015-2016学年湖南省衡阳一中高一()期中考试数学试题(解析版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖南省衡阳一中高一()期中考试数学试题一、...
湖南省长沙一中2015-2016学年高一(上)期中数学试题(解...
湖南省长沙一中2015-2016学年高一(上)期中数学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖南省长沙一中高一(上)期中数学试卷一、选择题: (本大题...
湖南省长沙一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题 W...
湖南省长沙一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题 Word版含解析_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖南省长沙一中高一(上)期中数学试卷一、选择...
湖南省长沙市一中下学期高一第一次月考试题——数学(含...
湖南省长沙市一中下学期高一第一次月考试题——数学(含解析)_数学_高中教育_教育专区。长沙市一中高一下学期第一次月考 数学试题命题人:艾简书 审校人:罗欲晓...
长沙市一中高一第二学期段考数学试卷(教师用卷)
长沙市一中08年上学期高一... 6页 免费 长沙市一中高一下学期期中... 13页...高一第二学期段考数学试卷(教师用卷) 满分:150 分 时量:120 分一、选择题:...
2014长沙市一中高一下学期期末试题
2014长沙市一中高一下学期期末试题_理化生_高中教育_教育专区。如图所示,长为 l 的轻杆一端固定一质量为 m 的小球,另一端有固定转轴 O,杆可在竖直平面内绕...
湖南省衡阳一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷
湖南省衡阳一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。衡阳县一中 2015 年上学期高一半期考试数学试题 分值:100 分. 时量:120 分钟....
[课件]莲塘一中高一下学期期中考试数学试题
[课件]莲塘一中高一下学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。南昌二中 一年级下学期联考 丰城中学 莲塘一中 2015-2016 学年高 数学答案 第Ⅰ卷(选择题,...
铁一中高一下数学期中试卷
一中高一下数学期中试卷_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档铁一中高一下数学期中试卷_数学_高中教育_教育专区。铁一中高一下数学期中...
更多相关标签:
高一下学期期中考试卷 | 高一下学期期中考试 | 高一下学期期中家长会 | 高一下学期期中物理 | 高一生物下学期期中 | 高一下学期期中化学 | 高一下学期地理期中 | 高一下学期数学期中 |