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高中竞赛数学讲义第28讲数列及其通项


第9讲
A 类例题

数列及其通项

本节主要内容:数列的基本知识,简单的递推和通项的转化

2 2 例 1 设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an , ?1 ? nan ? nan?1an ? 0 ( n =1,2,3,?)




/>












an

=

. (2000 年江西、天津卷) 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点:即只要结果不要过程,故采用不完全归 纳法(由特殊到一般).也可 化简递推式,从而求得通项公式. 解法一: 由条件 a1 ? 1, ?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? nan?1an ? 0 ,可得 a2 ?
1 . n 1 1 1 , a3 ? , a4 ? ,( 负值舍去) 2 3 4

由此可猜想 an ? 解法二:

由 ?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? nan?1an ? 0 ,可得 [?n ? 1?an?1 ? nan ](an?1 ? an ) ? 0
a n ?1 n ? an n ?1

因为 an > 0 ,所以 (a n ?1 ? a n ) ? 0 故只有 ?n ? 1?an?1 ? nan ? 0 ,即

所以 a n ? 链 接

a a n a n ?1 a n ? 2 ? ? 2 ? a1 = 1 ? ? a n ?1 a n ? 2 a n ? 3 a1 n
① 形 如 a n ?1 ? a n ? q(n) 的 递 归 式 , 其 通 项 公 式 求 法 为 :
n ?1 n ?1

an ? a1 ? ? (ak ?1 ? ak ) ? a1 ? ? q(k )
k ?1 k ?1

② 形 如
an ? a1 ?

a n ?1 ? p(n)a n 的 递 归 式 , 其 通 项 公 式 求 法 为 :

a a2 a3 ? ? ? n ? a1 ? p (1) ? p (2) ? p (n ? 1) a1 a2 an ?1

例 2 . 已知 an = 是() A.a9,a8 . 分析

n- 98 n- 99

( n∈N* ),则在数列{an }的前 20 项中,最大项和最小项分别

B.a10,a9 .

C.a8,a9 . A.a9,a10 .

99 - 98 所以 a1,a2 ,?,a9 组成递减数列,a1 最大,a10 最小; n- 99 a10,a11 ,?,a20 组成递减数列,a10,最大,a20,最小,计算 a1< a10, a9< a20. 所以在数列{ an }前 20 项中,最大项为 a10,最小项为 a9,故选 B. 说明要确定数列{ an }的最大项和最小项,一种思路是先判断数列的单调性,另一种思路是画 图观察. 因为 an =1+

情景再现

1.已知数列{an} a1=2,an+1=

an (n≥2),求数列{an}通项 an. an+1

2.已知数列 a1、a2、a3…满足(1) a1=

1 ;(2) a1+a2+?+an=n2an (n≥1),确定 an 的值. 2
(第 7 届加拿大中学生数学竞赛试题)

B 类例题
例 3 数列{an}中,al=2,an > 0 , a2n+1 a2n 4 - 4 =1,求其通项公式.

a2n 解 令 bn = 则 bn+1-bn =1 , 故数列{ bn }是首项为 1,公差为 1 的等差数列.所以 bn =n 4 故 an=2 n. 例 4. 已知数列{an}满足 a1 ? a 2 ? 1. 且 a n ? 2 ? 学奥林匹古克)

1 ? a n (n=1,2,3?)求 a2004 . (第四届中国西部数 a n ?1

解:由题设得 an+2 an+1 -an+1 an=1,所以数列{ an+1 an }是一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,
从而 an+1 an=n, n=1,2,3? n ?1 n ?1 n ?1 于是 a n ? 2 ? ? ? a n , n=1,2,3? n a n ?1 n an

2003 2003 2001 2003 2001 a2002 n ? ? a2000 ? ? ? ? ? ? ? a2 2002 2002 2000 2002 2000 3 ? 5 ? ? ? 2003 2003 !! ? ? 2 ? 4 ? ? ? 2002 2002 !! 1 n1 ) ( n ≥3), 且S1 = 1, S 2 = 例 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 ( 2
所以 a 2004 ? 的通项公式. 分析 本题涉及数列的若干知识.

3 , 求数列{an} 2

2 n ?1 ? ?3 ? ( ) 2 n ?1 解 方法一:先考虑偶数项有: S 2 n ? S 2 n ? 2 ? 3 ? (? )

1 2

1 2

1 1 S 2 n ? 2 ? S 2 n ? 4 ? 3 ? (? ) 2 n ?3 ? ?3 ? ( ) 2 n ?3 2 2
???

1 1 S 4 ? S 2 ? 2 ? (? ) 3 ? ?3 ? ( ) 3 . 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ? S2 n ? S2 ? 3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( )3 ] ? ?3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( )3 ? ] 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n ? ( ) 1 1 1 1 ? ?3 ? 2 2 4 ? ?4[ ? ? ( ) n ] ? ?2 ? ( ) 2 n ?1 ( n ? 1). 1 2 2 4 2 1? 4
2n 2n 同理考虑奇数项有: S 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? 3(? ) ? 3 ? ( ) .

1 2

1 2

1 1 S 2 n ?1 ? S 2 n ?3 ? 3 ? (? ) 2 n ? 2 ? 3 ? ( ) 2 n ? 2 2 2
???

1 1 S 3 ? S1 ? 3 ? ( ? ) 2 ? 3 ? ( ) 2 . 2 2
1 1 1 1 ? S 2 n ?1 ? S1 ? 3[( ) 2 n ? ( ) 2 n ? 2 ? ? ? ( ) 2 ] ? 2 ? ( ) 2 n (n ? 1). 2 2 2 2 1 2n 1 2 n ?1 1 ? a 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? S 2 n ? 2 ? ( ) ? (?2 ? ( ) ) ? 4 ? 3 ? ( ) 2 n (n ? 1). 2 2 2 1 2n 1 2 n ?1 1 2 n ?1 a 2 n ? S 2 n ? S 2 n ?1 ? ?2 ? ( ) ? (2 ? ( ) ) ? ?4 ? 3 ? ( ) (n ? 1). 2 2 2 a1 ? S1 ? 1.

[来源:学科网]

1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数, ? ? 2 综合可得 a n ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?
n ?1 方法二:因为 S n ? S n ?2 ? an ? an ?1所以 an ? an ?1 ? 3 ? (? ) (n ? 3),

1 2

两边同乘以 (?1) n ,可得:

1 1 (?1) n a n ? (?1) n ? 1 a n ? 1 ? 3 ? (?1) n ? (? ) n ? 1 ? ?3 ? ( ) n ? 1 . 2 2
n n ?1 令 bn ? (?1) a n ,? bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) (n ? 3). n ?1 所以 bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) ,

1 2

1 2

1 bn ?1 ? bn ? 2 ? ?3 ? (? ) n ? 2 , 2
???

1 b3 ? b2 ? ?3 ? (? ) 2 , 2

1 1 ? bn ? b2 ? 3[( ) n ?1 ? ( ) n ?2 2 2
? b2 ? 3 1 ? 3 ? ( ) n ?1 (n ? 3). 2 2

1 1 1 n?2 ? ?( ) 1 2 4 4 2 ? ? ? ( ) ] ? b2 ? 3 ? 1 2 1? 2

说明 在数列中,属于知道数列的前几项和来求通项公式,我们发现数列的奇数项与偶数项相 邻的两个之间的差为等比数列,利用累加法求出前 n 项求和公式,最后再利用前 n 项求和公式来 求通项公式,通常累加法可以解决数列中相邻两项的差成等比数列或有规律的关系 ,可以采用

累加法来解决. 链接

对于数学中比较难的题目,我们除了具备深厚的数学知识外,还要加四个能力,一个是阅读理解能力,一个是

数学探究能力,一个是应用能力,一个是学习能力 . 阅读理解能力即要读懂数学题目所讲的内容 ,包含题目中的隐

含条件, 数学探究能力即就是题目的结论不明确,联想自己过去做的题, 应用能力即将一些数学知识与实际生活 的某些方面相结合. 例 6. 递增数列 2,3,5,6,7 ,10,11,…由所有既不是平方数又不是立方数的正整数组成, 求这数列的第 500 项. (美 国第 8 届数学邀请赛) 分析:500 既不是平方数又不是立方数,因此 500 必定是这个数 列的某一项而且 50 0 在这数 列中的序号必定小于 500,考虑到 1~500 之间的平方数或立方数并不多,因而 500 的序号大 约在 450 到 500 之间,首先定 500 的序号,再往后追寻,不难得出数列的第 500 项. 解:因 222<500<232,那么在 1~500 之间有 22 个平方数;又 73<500<83,那 么在 l~500 之间有 7 个立方数:l,8,27,64,125,216,343 其中又是平方数的只有 l 和 64 两个数,因此在 l~500 之间的平方数或立方数共有 22+7-2=27 个.于是在 1—500 之问 既不是平方数又不是立方数的正整数共有 500-27=473 个.故 500 是这个数列的第 473 项
[来源: 学科网 ZXXK]

在第 473 项与第 500 项之间有 27 项,在 500~527 之间只有一个立方数 83=512,没有平 方数,因此这数列的第 500 项为 500+28=528. 说明 在计算 1 到 500 之问的平方数或立方数个数时运用了容斥原理.

情景再现
3. 已知对任意 n∈N 有 an>0 且 ? a 3i ? ? ? ai ? ,求证 a n=n
i ?1 n

?

n

? ?

2

? i ?1

(1989 年全国高中数

学联赛) 4.删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第 2003 项是 A.2046 B.2047 C.2048 D.2049 (2003 年全国高中数 学联赛)

C 类例题
例 7 数列{an}满足 (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an ? 2(n ? 1), n ? 1,2,3,? 且 a100=10098,求数列{an}的通

项公式. (2005 年上海市高中数学联赛) 解 已知等式可变形为 ?n ? 1?(a n ?1 ? 2n) ? ?n ? 1?[a n ? 2(n ? 1)

n ?1 bn . n ?1 n(n ? 1)?3 n(n ? 1) n n n ?1 ? b2 ? b2 所以当 n≥2 时, bn ? bn?1 = ? bn?2 =?= (n ? 2)(n ? 3)?1 2 n?2 n?2 n?3
令 bn ? a n ? 2(n ? 1) ,则有 ?n ? 1?bn?1 ? (n ? 1)bn ,当 n≥2 时, bn?1 ? 又∵ b2 ? a2 ? 2 , ∴ bn ? an ? 2(n ? 1) .

故 an ? 2(n ? 1) ?

n(n ? 1) n (a2 ? 2) ? (n ? 1)( a2 ? n ? 2) . 2 2

, ∴99(50a2-100+2)=10098. ∴a2=4. ∵ a100 ? 10098

∴an=(n-1)(n+2) (n≥3) , 在已知等式中令 n=1,可知 a1=0,又 a2=4. ∴an=(n-1)(n+2) (n≥1)都成立, 故数列{an}的通项公式为 an=(n-1)(n+2) (n≥1). 例 8 用下列方法给定数列{an}, a0 = 分析 将递推公式变形为

1 1 1 , ak= ak ?1 ? a 2 k ?1 ( k=1,2,3?)证明: 1 ? ? an ? 1 . 2 n n

1 1 a k ?1 1 ? ? ? . 由 此 可 证 得 an ? 1 且 递 推 公 式 还 变 形 为 a k ?1 a k nak n

a k ?1 1 ? , nak n ? a k ?1

于是得

1 1 1 1 1 ? ? ? 由此可证明 an ? 1 ? . n ? a k ?1 n ? 1 a k ?1 a k n

证明:(1)an<1. ak- ak ?1 ? a0=

1 2 a k ?1 ? 0 得 ak>ak-1(k=1,2,3,?n),故 an>an-1 >?>ak>ak-1 >?> n

1 . 2

所以数列递增正数列. a 1 1 a k ?1 1 ? ? ? 由 ak>ak-1>0 得 0 ? k ?1 ? 1 .将原将递推公式两边同除以 akak-1 变形为 a k ?1 a k nak n ak 令 k=1,2,3,?,n.得以下不等式:
?1 1 1 ?a ? a ? n 1 ? 0 ?1 1 1 ?a ? a ? n 2 ? 1 ?1 1 1 ? ? ? ? a 2 a3 n ?? ? ? 1 ? 1 ?1 ?a an n ? n ?1 ?

各不等式相加得 (2) 证明 an ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? n ? 1 ,所以 ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ,即 an<1. a n a0 a0 a n n

a 1 1 ,由递推公式得 n(ak ? ak ?1 ) ? ak2?1 , 即 ak ?1 (ak ?1 ? n) ? nak ,于是 k ?1 ? . na a ?n n k k ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? 所以 .由(1)得 0<ak-1<an<1.故由 ak-1+n<n+1 得 , a k ?1 ? n a k ?1 ? n n ? 1 a k ?1 a k

因此

1 1 1 ? .令 k=1,2,3,?n.得以下不等式: ? a k ?1 a k n ?1

1 1 ?1 ?a ? a ? n ?1 1 ? 0 ?1 1 1 ?a ? a ? n ?1 2 ? 1 ?1 1 1 ? ? ? ? a 2 a3 n ? 1 ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ?a an n ? 1 ? n ?1 ?
1 1 1 ? ? ?n, a0 an n ? 1

各不等式相加得

所以

1 1 n n n?2 n ?1 n ?1 1 ? ? ? 2? , an ? ? ? ?1? a n a0 n ? 1 n ?1 n ?1 n?2 n n

点评:将递推公式变形为相邻两项倒数的差的形式,即

1 1 1 a - = k ?1 = ,然后将此差 a k ?1 a k na k n ? a k ?1

放大和缩小,得

1 1 1 1 ? - ? ,令 k=l,2,?,n,将所得不等式相加,即可求得 n ? 1 a k ?1 ak n

1?

1 n?2 1 ? ,从而得出 1 ? ? an ? 1 .这种证明方法巧妙地应用了“放缩”技巧. an n ? 1 n
[来源:学科网 ZXXK]

情景再现

5. 证明:由条件 a1、 a2∈Z,

a2 ? a a12 ? a 22 ? a ∈Z, a n ? 2 ? n ?1 所确定的非负数列由全体整数组 a1 a 2 an

成,其中是其个数. (奥地利及保 加利亚中学生数学竞赛试题) 6.正整数 x1、x2、?、x7 满足 x6=144, xn+3=xn+2( xn+1+ xn),n=1,2,3,?,求 x7. (1997 年波兰中学生数 学竞赛试题)

习题 9

A 类习题
1.写出一个数列的通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1) 1,3,5,7,9,? 1 2 3 4 5 (2) 3,15,35,64,99,? (3) 0,1,0,1. ?

(4)2,-6,12,-20,30,-42,? (5)
1 1 1 1 , ? , ,? ,? 1? 2 2? 3 3? 4 4?5

(6 ) 9,99,999,9999,? (7)7,77,777,7777,? (8)1,0,-1,0,1,0,-1,0,? 2.根据下列各数列{an}的首项和递推关系,写出它的前 5 项,并归纳出数列的通项公式: (1) a1=1,an+1=an+2n 2an (2) a1=1,an+1=a +2
n

3.写出一个数 列的通项公式,使它的前几项 分别是下列各数: (1)a,b, a,b, a,b,? (2)a, a, b, b, a, a, b, b, ? (3)1,1,2,2,3,3,4,4,? (4)1,1,1,2,2,2,3,3,3,?

B 类习题
4.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a n ?

a n ?1 (n ? 2) ,求通项公式 an . 2a n ?1 ? 1

5.已知数列{an}, a1=1,Sn+1=4an+2, 求数列{an}通项 an.

C 类习题
6.已知数列{an} a1=1,an+1=an+ an + 1 (n≥2),求数列{an}通项 an. 4 7 +6.求数列{an}的通项公式. an-an-1 (2004 年全国高中数学联赛 河南省预赛) 本节“情景再现”解答: an 1 1 1 1 1.解 an+1= a +1由两边取倒数,得 a = a +1,故数列{ a }是首项为2,公差为 1 的等 n n+1 n n 差数列. 所以 1 1 2 = +n-1,故 an= an 2 2n-1 n -1 n-1 n-2 n-1 n-2 n-3 a = · a = · · a- n+1 n-1 n+1 n n-2 n+1 n n-1 n 3

7. 若数列{an}中, an>0, a1=5, n≥2 时, an+ an-1=

2.由 Sn=n2an 得 Sn-1=(n-1)2an-1,从而由 Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1, 所以 an= =

(n-2)(n-3) 2×1 1 (n+1)n an-3=…=(n+1)n a1=(n+1)n

3.因为 ak3?1 ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ) 2 ? (a1 ? a2 ? ? ? ak ) 2 = ak2?1 ? 2ak ?1 (a1 ? a2 ? ? ? ak ) 故 ak2?1 ? ak ?1 ? 2(a1 ? a2 ? ? ? ak ) ,同理 ak2 ? ak ? 2(a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ) 上述两式 相减得:

ak2?1 ? ak2 ? ak ?1 ? ak ? 2ak ? ak ?1 ? ak

所以 ak ?1 ? ak ? 1 ,即数列{an}是公差为 1 的等差数列,故 an=n. 4.注意到 45 =2025,46 =2116, ∴ 2026=a2026-45=a1981,2115=a 2115-45=a 2070.而且在 从第 1981 项到第 2070 项之间的 90 项中没有完全平方数. 又 1981+22=2003, ∴ a 2003=a 1981+22=2026+22=2048.故选C. 别解:将所得新数列按照第k组含有 2k个数的规则分 组: (2,3) , (5,6,7,8) , (10,11,12,13,14,15) ,….设新数列的第 2003 项 位于第 n 组,则有 2+4+6+…+2n≤2003, 即 n(n+1)≤2003. 得 n≤44. 故新数列的第 2003 项为 44×45+45+23=2048. a2 ? a 5. a n ?3 ? n ? 2 即 an?3 an?1 ? an2?2 ? a = an2?2 ? (an?2 an ? an2?1 ) 故 an?1 (an?3 ? an?1 ) ? an?2 (an?2 ? an ) a n ?1 即
a n ? 3 ? a n ?1 an ? 2 ? an a ? an ? , 令 bn ? n ? 2 , 则 bn?1 ? bn . 即数列{bn}是常数数列. an?2 an ?1 a n ?1
2 2

所以 bn= b1=

? a22 ? a ? 1 a22 ? a12 ? a a3 ? a1 ? .又 b1 ? ? ? a ? Z , an?2 ? bn an?1 ? an ? b1an?1 ? an , 1 ? a ?a ? a2 a1a2 1 ? ? 2
[来源:学科网 ZXXK]

由 a1、 a2、b1∈Z 得 a3∈Z,又 a2、 a3、b1∈Z 得 a4∈Z,?故得 an∈Z. 6. x6= x5(x4+x3)x1= x4(x3+x2) (x4+x2)= x3 (x2+x1) (x3+x2)[ x3 (x2+x1) +x3],

x6= x32 (x3+x2) (x2+x1) (x2+x1+1)=144=24×32 .又 x32 (x3+x2)≥2,所以(x2+x1) (x2+x1+1)≤23×32, 且 x2+x1、x2+x1+1 都是 144 的约数,所以 x2+x1 为 2、3 或 8.①若 x2+x1=2,则 x1=x2=1,此时
x32 (x3+1)=24 无 实 数 根 ; ② 若 x2+x1=3, 则 得 x1=1,x2=2 或

x1=2,x2=1. 当 x1=1,x2=2

时, x32 (x3+2)=12 无实数根.当 x1=2,x2=1 时, x32 (x3+1)=12,即得 x3=2,于是 x4=6, x5=18,x7=3456; ③若 x2+x1=8,则 x32 (x3+ x2)=2,得 x2= x3=1, x1=7,由此可得 x4=x3 (x2+x1)=8,x5=x4 (x3+x2)=16, x7=x6 (x5+x4)=144×24=3456. 本节“习题 9”解答: 1.(1)an=2n-1 n (2)an= (2n-1)(2n+1) (3)an= 1+(-1)n 2 1 n(n+1)

(4)an=(-1)n+1n(n+1) (5)an=(-1)n+1 (6)an=10n-1 7 (7)an= 9(10n-1) nπ (8) an=sin 2

2.(1)a1=1,a1=1+2×1,a3=7=1+3×2,a4=13=1+4×3,a5=21=1+5×4, 2 1 2 2 1 2 2 (2)a2=3,a3=2=4,a4=5,a5=3=6,an=n 1 3.(1)an=2[(b+a)+(b-a)(-1)n] a+b a-b a-b a-b a-b a-b a-b (2)提示该数列的各项以减去前 4 项的平均数得{an- 2 }: 2 , 2 ,- 2 ,- 2 , 2 , 2 , - a-b a-b ,- 2 2

n(n+1) a+b a-b 故有 an= 2 + 2 (-1) 2 +1.

1+(-1)n+1 n+ 2 2n+1+(-1)n+1 1+1 2+0 3+1 4+0 5+1 6+0 (3)将数列变形为 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,可得 an= = ,还可以写为 2 4 an=[ n+1 ].其中[x]为高斯函数. 2

n+2 (4)由(3)可得 an=[ ] 3 4.倒数化归得:

1 1 1 1 ? ?2? ? ?2 a n a n?1 a n a n ?1

?

1 1 3 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? a n a1 2 2 . 4n ? 3

? an ?

5.解:由题设易知 a2=5, 因为 Sn+1=4an+2,所以 Sn=4an-1+2, 故 Sn+1-Sn=4an-4an-1,即 an+1=4an-4 an-1 , 所以 an+1-2an=2(an-2 an-1) 令 bn =an+1-2an 则 bn = 2bn-1,故数列{ bn }是首项为 3,公比为 2 的等比数列. 所以 bn=3×2n 1.an+1=2an+3×2n 1.两边同除以 2n+1,得
- -

an+1 an 3 = + . 2n+1 2n 4

an 1 3 an 1 3 - - 故数列{ 2n }是首项为2,公差为4的等比数列,所以 2n=2+4(n-1)即 an=2n 1+3(n-1) 2n 2. 6.解 由 an+1=an+ 的等差数列. n+1 n+1 2 所以 an= ,故 an= ( ). 2 2 已知数列{an} a1=1,an+1=an+ 解 由 an+1=an+ 1 an +4 (n≥2),求通项 an.
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an +

1 1 1 1 =( an + )2, an+1= an + , 故数列{ an}是首项为 1,公差为 4 2 2 2

1 1 1 an +4 =( an +2)2= an +2

1 n+1 n+1 2 故数列{ an}是首项为 1,公差为 的等差数列.所以 an= ,故 an= ( ). 2 2 2 7.题设条件可化为 a2n-a2n-1=6 an-6an-1+7, 配方得(an-3)2-(an-1-3)2=7 所以(an-3)2=7n-3, 故 an = 7n-3+3
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