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高中竞赛数学讲义第28讲数列及其通项


第9讲
A 类例题

数列及其通项

本节主要内容:数列的基本知识,简单的递推和通项的转化

2 2 例 1 设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an , ?1 ? nan ? nan?1an ? 0 ( n =1,2,3,?)




/>












an

=

. (2000 年江西、天津卷) 分析 本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点:即只要结果不要过程,故采用不完全归 纳法(由特殊到一般).也可 化简递推式,从而求得通项公式. 解法一: 由条件 a1 ? 1, ?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? nan?1an ? 0 ,可得 a2 ?
1 . n 1 1 1 , a3 ? , a4 ? ,( 负值舍去) 2 3 4

由此可猜想 an ? 解法二:

由 ?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? nan?1an ? 0 ,可得 [?n ? 1?an?1 ? nan ](an?1 ? an ) ? 0
a n ?1 n ? an n ?1

因为 an > 0 ,所以 (a n ?1 ? a n ) ? 0 故只有 ?n ? 1?an?1 ? nan ? 0 ,即

所以 a n ? 链 接

a a n a n ?1 a n ? 2 ? ? 2 ? a1 = 1 ? ? a n ?1 a n ? 2 a n ? 3 a1 n
① 形 如 a n ?1 ? a n ? q(n) 的 递 归 式 , 其 通 项 公 式 求 法 为 :
n ?1 n ?1

an ? a1 ? ? (ak ?1 ? ak ) ? a1 ? ? q(k )
k ?1 k ?1

② 形 如
an ? a1 ?

a n ?1 ? p(n)a n 的 递 归 式 , 其 通 项 公 式 求 法 为 :

a a2 a3 ? ? ? n ? a1 ? p (1) ? p (2) ? p (n ? 1) a1 a2 an ?1

例 2 . 已知 an = 是() A.a9,a8 . 分析

n- 98 n- 99

( n∈N* ),则在数列{an }的前 20 项中,最大项和最小项分别

钚∠罘直

钚∠罘直

钚∠罘直

钚∠罘直

钚∠罘直

钚∠罘直

钚∠罘直

钚⌒0,a9 .

C.a8,a9 .妥钚∠10 .

99 分别

? 3 a11,谑,?,a9 组程厥减an>
钚∠罘a110,a1 ? ?,a罘肿槌特始鮝n>
? 3
钚∠罘校}小项分别

钚∠罘直 a n10钚∠小项 a n9,故选 B.
?得 的确定小项沸,讅 cl项分别

钚∠顄nc恢炙悸肥窍扰 校椰 ?餍

情景再现

1. 项中∠罘直}a11=析 an+1= ?1 ?(n≥2分鼻笮∠罘直}?
1 校.校+n }2. 项中∠頰11、a2、a3…满足 98a1灰1 ; 99
a1+a2+?+aral21 ?(n≥1分比范ㄐ,椎闹到峁2
(第 7 届加拿大中学生,c,h,f,j,蕴)

2 2 例 1的3 小项分眪

钚alas,n ? 链 接

a12+na12 4 分4) 分求ctName部 .

12 解 令 b畲则 b+1-b ? n故小项沸b}f="###">
等瞤an>
.? 3 ab瞵 4 故校=2 .械那420 项中∠罘直}满足 通 蟖 归 1. p>
? q(n) 的 学奥林匹古克)

通 蟖 ?(n=1,2,3?) 形12004 .(第四届中国西部数 a1 ? ?

解:? ,馍韬

觧+数列+na-列+na,=1
a a 小项沸,+na,讅f=一个"###">
等瞤an>
,
可得+naaral, n=1,2,3?1 ? nan ?nan ?1 于是
? q(n) 的 通 项 , n=1,2,3?1 ??1 ? nan 杭粗2003项03项01项03项0112002  通 喜灰.a9,a8a8a8a8a8谑2002 2002 2000 2002 2000 A.a58a8a8a82003项03希。〉 递 归 n?1a 递 002 2002 !!祅an1 ,

≥3), p>S , , S =械那5. 项中∠罘直}
钚∠n直鸷 Sn 满足銼钚钚2=3
2 ? 3 a1 2004 ?椎?
1 . n 1 归 纳法(由 校胰舾? 1?.

3? n求小项分眪
2 "do ? p (1? A.a( , do ? p 解 方1 , a3先虻偶/sp有a3 S 宫 蚐 宫 归 A.a(?式
通2 "通2 "通1蚐 宫 归 S 宫 4 ? A.a(?式 宫 A.a9 A.a( , do ? 3项2 ??? "通1蚐4 ?譙 沟 归 (?式 A.a9 A.a( , 3 .皖2 n2?1 ? ? ? ? ??譙 宫 蚐 归 [( , do ? p .a( , do ? A.a9,a8( ,3 ]A.a9 [( , do ? p .a( , do ? A.a9,a8( ,3 ? ]Adoc-c-c-c-c-c- ? ? ? ( , ? ? ? ??9 A.ac-c-n?1a4[a 递( , n ]A.a9 归 ( , do ? p

* ). ?c-c-n?2>

通2 "通2 " 通1蚐載o ? p (1S載o ? A.a A.a(?式 宫 归 A.a( , do ? -c-c-c ??? "通1蚐 A.aS A.a( ?式 归 A.a( , do.皖2 n2?1 ? ? 蟂 宫 通 蟂 [( , do ? ( , do ? ) 的 递 ( , do]A.a 归 ( , do ?(
* ). c-c-c-c-通2?an2do ? p 通 蟖 ? p (1S載o ? p (1S載o ? a 归 ( , (? 归 ( , 阶?4 ? A.a( , do ?(
* ). c-c-c-通2?an2do ? p 通do ? p a 宫 蚐 宫 蚐載o ? p (1? 归 ( , ( 归 ( , 阶??4 ? A.a( , (
* ). c-c-c- 通 蟂 1.

[来源:幕网]

通 4 ? A.a( , ? p , n为奇/褐礎.a 棺酆晓:

 通 ? 4 ? A.a( 1 , ? p , n为偶/.A.a 归 a1 ?
方1 an ) a S宫 蚐輆1 归 蕁 ? 0 ,?1? 3 a1n ? 0 ,?1A.a A.a(?式(
* 3),

通2 "两边同乘a n ? 98div>
) ?通1 ? 98di  ? 98di 1
 徒 A.a(? 98di (?式
* )A.a9 递( , n * )A.皖2 ,即

令 b ? 98 ,?ab?ab?)A.a9 递(?式(
* 3) 1?a?)A? 3 ab?ab?)A.a9 递(?式,

通2 "通2 "通b?)A.ab?a 的 A.a(?式莠?a ,-c ??? "通b A.ab 的 A.a(?式 ,-c ?通1?ab?ab 归 [( , ?)A.a( , n 筩-c ?ab 的 31?a 递( , n *1
* 3).皖2 n2?1 ?n 归 ?( , ?c-n?n?2>1a 递( , ]A.ab 的 3* )A2>
钚∠钪,属于earc 校仪凹副鸷屠椿般).也可 晃颐欠⑾ 校移媸/sp与偶/sp相 邻的两个之间的#">等比 校,n){v累加法求出小蟦直鹎蠛筒可 蛔詈笤賜){v小蟦直鹎蠛筒可 来n求).也可 煌ǔ@奂臃╥on(解决小项中相邻两
累加法来解决. 如 对于蔯,h中比较难的题目,我们除了具备深厚的蔯,h 1?外,还要加四个能力,一个"莂ss=理解能力,一个"1 设学探究能力,一个"怯τ媚芰,一个"茄澳芰.蚢ss=理解能力即要读懂设学题目所讲的正项 ,包含题目"/>


含 a4, 小学探究能力即就是题目的结论不明确
10钚1 分…由所有既不是平方数又不是立方数>

求这 校椰 5要瓜罱峁(美 国第 8 届蔯,h邀请赛全归 模5要辜炔皇瞧椒绞植皇橇⒎绞齯nc虼 5要贡囟ㄐ钦飧" ,且某一项得 5? 2梢岳" ,"/>
序号必定小于 5要v>虻萃 1~5要怪涞钠椒绞蛄⒎绞 鄒nc虻谬5要>
序号大 约在 45?萃 5要怪洌"##榷ㄐ5要>
序号直鹳往后追寻,不难得出小项且 5要瓜罱峁解:因 222<5要<23析 那么在 1~5要怪鋋1 22 个平方数;又 73<5要<8本棠 么在 l~5要怪鋋1 7 个立方数:l,8分7,64钚125,216,343 )
中又是平方数的 a1 l 和 64 两个数c虼嗽 l~5要怪涞钠椒绞蛄⒎绞瞐1 22+7小2=27 个.于是在 1—5要怪使既不是平方数又不是立方数>

在 473 悸与 5要瓜钪鋋1 27瓜罱可倚5要~527怪渲 a1一个立方数 83=51析 a1平
方数c虼苏 校椰 5要瓜 a 5要+28=528结?得
扑鉧/a> 5要怪实钠椒绞蛄⒎绞鍪痹擞昧巳莩庠恚

情景再现
3结 项侄匀我

钚 a1 an 链 0 p>
蟖3i>1a 递ai>1a,求证
=n
i>11 n
? "n
?归
2 ? i>11直餺pta过? 1="do数

学联赛全4.删去
所有1 ? 平方数,得1 ? 个新an>
<飧鲂耡n>
且 2003蟬pa峭最2046 B.2047 C.2048 D.2049果不3过? 1="do数 幕联赛

C2 2 例 1的7 小项分眪满足(
* )9手挥 (
* )9首?a (
* ), n * ),2,3,? p>
?>悬nk"098,求小项分眪的?
,考虏可 .果不5过成虾J="do数学联赛全解 项值仁娇杀湫 a (a n ?1 a n ?1 a 2k )?归n * )?[? q(n) (
* ) "n>11 b 1?a?)An(
* )5 An(
* ) n ,即

.ab 的 b ? 3 当

钶2 时,ab?ab11 =?ab =?=(
* 2)
* 3)11 宫 宫 宫 3
令 b(ak ?1 ? (
* ) ,则有归n * )?b 1?a(
* ),当

钶2 时,ab 1?a又∵ab 的 由 ?a ,-∴ b(ak
* 2(
* )W.

故校 * 2(
* )W? "n(
* )W ?(由 ?a )?(
* )( 由 ?a
* 2)A.皖2
,-∴99(50a2-k"0+2)nk"098.-∴a2=420∵a?>悬 * )"098

∴an=(钚1)
+2)?(n≥3),-在 项值仁街辛 n=1,可? 8a10,又 a2=420∴an=(钚1)
+2)?(n≥1)都成立 n故小项穉n} c).也可 a n =(钚1)
+2)?(n≥). 的8 用下列方1 给定小项穉n}, a0 =凸 纳将n ? 部 变形 a n2?1 ?, ak= 式 归 蔭 到 ( k=1,2,3?)证明a3 其 通
* )A.皖 , n2?1a到 蛊 通 ?A. 0
此 na证


觧 * )Ap>
a1 推 ?1

②还 变a a2 a n到 筺到 n式 a到 蛊 , n式 脊 蔭 为 :于是叠

? ? ? ? ??专 ?Aan?1 ?证明
觧 * )A?A.图归 蔭 为 n * ) n到 筺到 n

证明a3 9an lt;1.校k- 式 归 0灰1 数恋 ? ?

觡>-1(k=1,2,3,?n) 由
觧>-na>?>>-1a>?>, n2.皖n ? 3 an>
1增正小项.校 ? ?a到 蛊 通 ?A 0
>-1>?

* ? n2.将原将n ? 部 两边同除3 a1k-1a变形 a n到 筺到 n式 式 令 k=1,2,3,?="h得以下不等式 ) 蛊 ?a归 蔭?a
? ? 蛊 ?a归 蔭?a
归 1 蛊 ? 通 ?A蔭 ) An * 通 ?A 1 ?= ,即
o ? p (

各不等式相加

99
证明
觧 * )A?

? ? ? ? ??专 ?An * )
a a n 递 归 归 1 )

觧<1.校o ?a0 a0 a , ? ?,商厥獾部

n的 递 式 , 其 k3 4
, 即
咏 (式 归 k )?筺式 ,于是
? .图a n 閚 n
蛊 ? ? ? ??9)?筧 a n.由 9

迹k-1<<1.故 0
-1+n<+na

, a
? ?1 ? ? ,即
o) n到 筺到所以此

? ? ??A.令 k=1,2,3,?"h得以下不等式 )归 蔭 为 筺到 n为 : 通1洼 ?= 蔭?a
蛊 ? 蛊 ?a归 蔭?a
11 归 1 蛊 ? 通 ?A蔭 ) An *1洼 通 ?A 1 蒌 ?a故 ,即
o ?)A.
? ? ? 通 ?l, a0 a ,即
o)

各不等式相加
n ? 3

? ?n , 宫? nan ? 蛊 通 ?A2 ? na即
o
o
o

o) ? nan ? 辜 宫? 点评:将n ? 部 变形 a相邻两

瞐 c形式 琣 n ? ? ?a 分=? = ,然后将此 校到 筺到 n实 n为 蔭 为 :放大和缩小an叠

? ? ? ?? 分 ? 令 k=l,析 ?,n,将所叠 a等式相加 琣 可 a2 ,即
o) n到 筺 1? "通 菇 ,可得得出 其 通
* )A<庵种っ鞣1 巧妙地应用了“放缩”技巧结故 ,即
o n
[来源:幕网 ZXXK]

情景再现

5结怪っ鱝3? , a4 ? 、 a2∈Z,

由 ?aa故1 ?aa22 ?aa埂蔤,
? q(n) 的 ?a?)A? 确定的非庚列,由全体整数组蛟赼 ) 成,)
中是其个数.果奥地利及保 加利亚中学生,c,h,f,j,蕴) 6</整数 x1、x2、?、x7 满足鋢6=144, xn+3=xn+2( xn+1+ xn),n=1,2,3 ?, 形x7.果1997过巢ɡ贾醒,c 幕,f,j,蕴)

习题 分
2 2习题
1.写出一个"n>
且).也可 ,"顾仪凹副鸱直鹗窍铝懈魇海 981,3,5,7,9,? 1 ? a58 99
3,15,35,64,99,? (3)0钚1,0钚1.归
(4)2,-6,12,-20,30,-42,? (5)
? ? ? ?褐礎,,?a,? 1.ac-c?a 3 4 4?5直6 , 9,99,999,9999,? (7)7,77,777,7777,? (8)1,0,-1,0,1,0,-1,0,.ac.根据下列各数项分眪 c"###和厥獾藏系,写出它且前a58项,并归纳出小项且).也可 :- 9811=1,an+1=觧+尸 21 ?(99
a1=1,an+1= +2

3.写出一个"n ,且).也可 ,"顾仪凹副鹜归别是下列各数:- 9t",,
?",,
?",, ( )a,
?" ,,
,,
?"
?" ,,
,,
? (3)1,1,2,2,3,3,4,4,? (4)1,1,1,2,2,2,3,3,3,?

2 2习题
4. 项中∠罟?an为

钚 通 2iv>
? q(n? a1 ? p (
* 2)iv>求).也可 故 ,.皖a1 ? p (1 :5. 项中∠罘直}"
?1=1,Sn+1=4觧+ n求小项分眪?
1 校.

C2 2习题
6< 项中∠罘直}a11=1,an+1=觧+故 ,+ 1 (n≥2分鼻笮∠罘直}?
1 校.4 7 +6.求小项分眪的?
悸部 .梗n-列-1果不4过? 1="do数学联赛 河南省预赛全钗 “情景再现”解答:J , ? ? ? ? .解 an+1=
? +1由两边{};故齛n叠
? = +1 由小项沸W}f="###">析 公#">

等宫?+nan ,瞤an>
.筧 a n ? ? =+n-1,故校=J ,c-c校1筪iv1筪v1筪v 宫v1筪v 宫v璶 ?=小
=小
·
臃直+nanv1筪+nan -2筪+nan -nan 3

7.谷粜∠罘直}

na 链 0"
?1=文
钶2 时v>
?n+
觧-1灰2. 0
Sral21 ?叠
S钚1=(钚1)21 -1,可得 0
Sr小S钚1al21 -(钚1)21 -1,
? 3 a1=;要(钚2)
-3)2×通1 d+n)?1
-3=…=(+n)?1 1=(+n)?

3< a nk3 1?a( 通 蟖2>1a 递式 菇 归 ( 通 蟖2>1a 递式 阶 = 式3 4

2咏 (释 蟖2>1a 递式 ) 故校3 4

邮 归 2( 通 蟖2>1a 递式 阶,同理校3递 式 2( 通 蟖2>1a 递式 菇咨鲜隽
②相减
) ? =3 4

邮3递 式 萃 蟖 递 2咏 式 归 蔾n ? 3 a1 递 归 式 * )
即小项分眪是公#">
等瞤an>
,故校=.4.注?1 45 =025,46 =116,-∴ 026=游026-45=198 分115= 115-45= 070.得 疑倚从 opt18项到 207分别
涞 9分别

a11 ? 平方数.a又 opt1+22=00本-∴ 我獀常接 198 帆22=026+22=048结故选C.贡鸾猓航耡n>
按照第k组含a1 2k个"n的规则分肿椋海(析 v常﹊v>
(5,6,7
<8)iv>
(10钚1 分1析 1v常14钚15)iv>….设新an>
且 2003蟬p 位于 n肿椋别
a1 2+4+6+…+2n≤00本-即
n(n+1)≤00本產

n≤44. 故新an>
且 2003蟬p a 44×45+45+23=048a故2 ?aa5结筧1 ? 递
* 2 即
蝇 3
蝇 通 蟖n2 归 使= 蕁2 归 故质衶a 蕁2 菇坠市, (尸 3
a 蕁 菇譨 蕁 2(尸 归 蕁 9
a ? naa n? q(n)3
a ? na, * 2譨 蕁 蔭?a, * , 令 b 同 * 2,-则 b 通 蟗 1即小项穊n}f=常数小项.校数列{a1
 1"docn ? 3 ab=1灰 蟖2 归 使
o) n2 归 1 ?aa) A.a 通 .又 b其 通 ?A使
oZ? na 归 b故只有 ?n b杲 通 蟖n? n通 蟖?= 适12 其 通 2
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0
1、 a2、b1∈Z

3∈Z,又 a2、 a3、b1∈Z

4∈Z,?故

觧∈Z. 6<x6= x5(x4+x3)x1= x4(x3+x2)?(x4+x2)n x3 饃2+x 98(x3+x2)[ x3 饃2+x 98+x3],

x6= x32(x3+x2)?(x2+x 98(x2+x +n)=144=24×32.又 x32(x3+x2)钶2
a a 饃2+x 98(x2+x +n)≤3×32, p> x2+x 、x2+x +n 都是
144>
约/
a a nx2+x 2 a 2、3 或 8.①若nx2+x as,则 x ax2=1,此时
x32(x3+n)=

a若nx2+x a3,-则

x a1,x2=2 或

x as,x2=1. a
x a1,x2=21 杀,ax32(x3+2)nk2/无实数根.a
x as,x2=1 时,ax32(x3+n)=12,即

x3as,于是
x4=6,ax5=18,x7=3456;
廴鬾x2+x a8,则 x32(x3+nx2)=
,

x2= x3a1,
x a7,商?1 ?

x4=x3 饃2+x 9=8,x5=x4(x3+x2)=16,ax7=x6(x5+x4)=144×24=3456.为 “习题 贰苯獯穑海1. 9an=c校1筪i( )a=(c校1)(c+n) (3)a=1+(-1) ,c-nan(+n)要(4)a=(-1) +1n(+n) (5)a=(-1) +1 (6)a=10nv񩩻 (7)a=9(10nv1, nπ (8)校=s recn 2. 9a1=1,a1=1+2×停琣3=7=1+3×析 a4=13a1+4×3 a5=2 a1+5×4v>
c-na 筩-na 筩-( )a2=3 a3as=4v>a4=5,a5=3=6,,=-na3. 9an=c[(b+a)+(b-a)(-1) ] a+b
臃謆
臃謆
臃謆
臃謆
臃謆
臃謆
( )提示该"n>
且各项以减去前a48项的平均"n得分-筩-}: ,-c ,--c ,--c , ,-c , 分庇分b
臃謆
,--c cn n(+n) a+b
臃謆
故 1 an=-c +筩-(-1)-c +1.

1+(-1) +nan+筩-c+n+(-1) +na +n 2+0 3+n 4+0 5+n 6+0 (3)将"n>
变形 a ,-c , ,-c , ,-c ,

蝇=; ,还以写 a 2a48蝇=[筪+na].)
中[x]为高斯函数.筩n n+数(4)由3)

蝇=[ ]A ? .;故楹
) ?通1 蛊 通c?a.a9 梗o ?a 1
 ? n
? " 蛊 A.a9,(
* )W* 2譨 尸
觧+1=4觧v4
觧-1,-? 3 a1n+1!21 =2( -2褂n-1) 令 b钣n+1!21 -则 b 2bn-1,故小项沸b}f="###"><3 公比 a 2a且比 校.
? 3 b=3×维-n.觧+1=21 +3×维-n.两边同除3 ac+n,

--- ?1 +na,3=+,.皖 +na2 4 ?1 ?其 A1 ?其 A---n故小项沸2 }f="###">析 公#">4且比 校
a a n2n=c+4(钚1)即
觧=c衋 +3(钚1)a2 2. 6< 0
+1=觧+a且瞤an>
.筪+nan+na2
? 3 a1=,故校=( ,.皖20 项中∠罘直}811=1,an+1=觧+ 解 0
+1=觧+ana,+4(n≥2分鼻?
1 校.
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,+

? ? ? ?=( ,+ )2,
+1=J ,+? n故小项沸直}f="###">瞑2 n2?1 ?,+4=( ,+2)2= ,+cn 1筪+nan+na2
由小项沸1}f="###"><且瞤an>
.? 3 a1n ,故校=( ,.皖202 7.,馍杼 a4可化 a nc校璶c校1=6褂n-6觧v1+7, 配
( -3)2-( -1!3)2=7
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