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人教版高中数学《数列》全部教案


2016 届文科人教版数学 数列



名: 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 25 日

第三章

数列

第一教时
教材:数列、数列的通项公式 目的:要求学生

理解数列的概念及其几何表示,理解什么叫数列的通项公式,给 出一些数列能够写出其通项公式,已知通项公式能够求数列的项。 过程: 一、从实例引入(P110) 1.堆放的钢管 2.正整数的倒数 4,5,6,7,8,9,10 1 1 1 1 1, , , , ? 2 3 4 5

3. 2精确到 1 , 0.1 , 0.001 ?的不足近似值 1 , 1.4, 1.41 , 1.414 , ? 4.?1 的正整数次幂:?1,1,?1,1,? 5.无穷多个数排成一列数:1,1,1,1,? 二、提出课题:数列 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数(数列的有序性) 2.名称:项,序号,一般公式 a1 , a2 ,?, an ,表示法 ?an ? 3.通项公式: an 与 n 之间的函数关系式 如 数列 1:

an ? n ? 3

数 列 2 : an ?

1 n

数列 4:

an ? (?1) n , n ? N *
4.分类:递增数列、递减数列;常数列;摆动数列; 有穷数列、无穷数列。 5.实质:从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,?,n})的函数,当自变量从 小到大依 次取值时对应的一列函数值, 通项公式即相应的函数解析式。 6.用图象表示:— 是一群孤立的点 例一 (P111 例一 三、关于数列的通项公式 1.不是每一个数列都能写出其通项公式 (如数列 3) 2.数列的通项公式不唯一 如 数列 4 可写成 略)

an ? (?1) n 和

?? 1 an ? ? ?1
例二 是下列 各数: 1.1,0,1,0 2. ? (P111 例二)略

n ? 2k ? 1, k ? N * n ? 2k , k ? N *

3.已知通项公式可写出数列的任一项,因此通项公式十分重要 四、补充例题:写出下面数列的一个通项公式,使它的前 n 项分别

1 ? (?1) n ?1 an ? ,n? N * 2

2 3 4 5 6 , ,? , ,? 24 35 3 8 15 an ?

a n ? (?1) n ?
7 ? (10 n ? 1) 9

n ?1 (n ? 1) 2 ? 1

3.7,77,777,7777 4.?1,7,?13,19,?25,31 5.
3 5 9 17 , , , 2 4 16 256

an ? (?1) n (6n ? 5)
an ? 2n ? 1 22
n ?1

五、小结: 1.数列的有关概念 2.观察法求数列的通项公式 六、作业: 练习 P112 习题 3.1(P114)1、2 练习 7、8 《课课练》中例题推荐 2

第二教时
教材:数列的递推关系 目的: 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念; 了解数列递推公式的意义, 会根据给出的递推公式写出数列的前 n 项。 过程: 一、复习:数列的定义,数列的通项公式的意义(从函数观点出发去刻划)
?S n ? S n ?1 二、例一:若记数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn 试证明:a n ? ? ?S1

( n ? 2) ( n ? 1)

证:显然 n ? 1 时 , a1 ? S1 当
n ?1



n?2



S n ? a1 ? a2 ? ? ? an

S n?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1
∴ S n ? S n?1 ? an 注意:1? 此法可作为常用公式 2? 当 a1 (? S1 ) 时 满足 S n ? S n?1 时,则 an ? S n ? S n?1 例二:已知数列 ?an ? 的前 n 项和为① S n ? 2n 2 ? n 求数列 ?an ? 的通项公式。 解:1.当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 经检验 n ? 1 时 a1 ? 1 也适合 2.当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 当 n ? 2 时, an ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n ② Sn ? n2 ? n ? 1
?S n ? S n ?1 ∴ an ? ? ?S1

( n ? 2) ( n ? 1)

an ? 4n ? 3

?3 ∴ an ? ? ?2n
三、递推公式

( n ? 1) ( n ? 2)
略)

(见课本 P112-113

以上一教时钢管的例子

an ? n ? 3
( n ? 1) ( n ? 2)

a1 ? 4 从另一个角度,可以: ? a n ? a n ?1 ? 1

“递推公式”定义:已知数列 ?an ? 的第一项,且任一项 an 与它的前 一项 a n?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫 做这个数列的递推公式。 例三 例四 (P113 例三)略 已知 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 4 求 an .

解一:可以写出: a1 ? 2 , a2 ? ?2 , a3 ? ?6 , a4 ? ?10 ,?? 观察可得: an ? 2 ? (n ? 1)(n ? 4) ? 2 ? 4(n ? 1)

解二:由题设: an?1 ? an ? ?4

a n ? a n ?1 ? ?4


a n ?1 ? a n ? 2 ? ?4 a n ? 2 ? a n ?3 ? ?4 ??
?)

a2 ? a1 ? ?4

an ? a1 ? ?4(n ? 1)
∴ an ? 2 ? 4(n ? 1) 例五 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 求 an .

解一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 2 2 ? 23

观察可得: an ? 2n 解二:由 an?1 ? 2an ∴ an ? 2an?1 即

an ?2 a n ?1



an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 an?1 an?2 an?3 a1

∴ an ? a1 ? 2 n?1 ? 2 n 四、小结: 由数列和求通项 递推公式 五、作业:P114 (简单阶差、阶商法) 3、4 课时 2 中 例题推荐 1、2 课时练习 6、7、8 习题 3.1

《课课练》 P116-118

第三教时
教材:等差数列(一) 目的:要求学生掌握等差数列的意义,通项公式及等差中项的有关概念、计算公 式,并能用来解决有关问题。 过程: 一、引导观察数列:4,5,6,7,8,9,10,?? 3,0,?3,?6,??

1 2 3 4 , , , ,?? 2 10 10 10

an ? 12 ? 3(n ? 1)

12,9,6,3,??

特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、得出等差数列的定义: (见 P115) 注意:从第二项起 ,后一项减去前一项的差等于同一个常数 。 ..... ..... 1.名称:AP 2.若 d ? 0 首项 (a1 ) 则该数列为常数列 公差 ( d )

3.寻求等差数列的通项公式:

a 2 ? a1 ? d a3 ? a 2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d a 4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d ????
由此归纳为 注意:

an ? a1 ? (n ? 1)d

当 n ? 1 时 a1 ? a1 (成立)

1? 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数 2? 如果通项公式是关于 n 的一次函数,则该数列成 AP

证明:若 an ? An ? B ? A(n ? 1) ? A ? B ? ( A ? B) ? (n ? 1) A 它是以 A ? B 为首项, A 为公差的 AP。 3? 公式中若 d ? 0 则数列递增, d ? 0 则数列递减 4? 图象: 一条直线上的一群孤立点 三、例题: 注意在 an ? a1 ? (n ? 1)d 中 n , an , a1 , d 四数中已知三个可以求 出另一个。 例一 (P115 例一) 例二 (P116 例二) 例三 (P116 例三) 注意:该题用方程组求参数 此题可以看成应用题 a?b 四、关于等差中项: 如果 a, A, b 成 AP 则 A ? 2 证明:设公差为 d ,则 A ? a ? d b ? a ? 2d a ? b a ? a ? 2d ? ?a?d ? A ∴ 2 2 例四 《教学与测试》P77 例一:在?1 与 7 之间顺次插入三个数 a, b, c 使

这五个数成 AP,求此数列。 解一:∵ ? 1, a, b, c,7成AP ∴ b 是-1 与 7 的等差中项


a? ?1? 3 ?1 2

b?

?1? 7 ?3 2

a 又 是 -1 与 3 的 等 差 中 项



c 又是 1 与 7 的等差中项 ∴ c ?

3? 7 ?5 2

解二:设 a1 ? ?1 a5 ? 7 ∴ 7 ? ?1 ? (5 ? 1)d ? d ? 2 ∴所求的数列为-1,1,3,5,7 五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项 六、作业: P118 习题 3.2 1-9

第四教时
教材:等差数列(二) 目的:通过例题的讲解,要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义,并且能 够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。 过程: 一、复习:等差数列的定义,通项公式 二、 例一 在等差数列 ?an ? 中,d 为公差, 若 m, n, p, q ? N ? 且 m ? n ? p ? q 2? 1?

求证:1? am ? an ? a p ? aq 证 明 :

a p ? aq ? ( p ? q)d
设 首 项 为

a1





a m ? a n ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d a p ? a q ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d



m?n ? p?q



am ? an ? a p ? aq
2? ∵

a p ? a1 ? ( p ? 1)d

aq ? ( p ? q)d ? a1 ? (q ? 1)d ? ( p ? q)d ? a1 ? ( p ? 1)d
∴ a p ? aq ? ( p ? q)d 注意:由此可以证明一个定理:设成 AP,则与首末两项距 离 相 等 的 两 项 和 等 于 首 末 两 项 的 和 , 即 :

a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ??

同样:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? 2a p 例二 在等差数列 ?an ? 中, 1? 若 a5 ? a

a10 ? b 求 a15
∴ a15 ? 2b ? a

解: 2a10 ? a5 ? a15 即 2b ? a ? a15 2? 若 a3 ? a8 ? m 求 a5 ? a6 解: a5 ? a6 = a3 ? a8 ? m 3? 若 a5 ? 6 解: a8 ? a5 ? (8 ? 5)d

a8 ? 15 求 a14
即 15 ? 6 ? 3d ∴ d ?3

从而 a14 ? a5 ? (14 ? 5)d ? 6 ? 9 ? 3 ? 33 4? 若

a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30

a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80



a11 ? a12 ? ? ? a15
解:∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ?? ?? 而

∴ 2a6 ? a1 ? a11 从

2a7 ? a2 ? a12

(a11 ? a12 ? ? ? a15 ) + (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? 2 (a6 ? a7 ? ? ? a10 )
∴ a11 ? a12 ? ? ? a15 =2 (a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) =2×80?30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1.定义法:即证明 an ? an?1 ? d (常数) 例三 《课课练》第 3 课 例三

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n 2 ? 2n ,求证数列 ?an ? 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。 解: a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 1 当
n?2



an ? S n ? S n?1 ? 3n 2 ? 2n ? [3(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5

n ? 1 时 亦满足

∴ an ? 6n ? 5

首项 a1 ? 1

an ? an?1 ? 6n ? 5 ? [6(n ? 1) ? 5] ? 6(常数)

∴ ?an ? 成 AP 且公差为 6 2.中项法: 即利用中项公式,若 2b ? a ? c 则 a, b, c 成 AP。 例四 《课课练》第 4 课 例一 1 1 1 b?c c?a a?b 已知 , , 成 AP ,求证 , , 也成 a b c b c a
1 1 1 证明: ∵ , , 成 AP a b c

AP。 ∴
2 1 1 ? ? 化简得: b a c

2ac ? b(a ? c)

b ? c a ? b bc ? c 2 ? a 2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c 2 2ac ? a 2 ? c 2 ? ? ? ? a c ac ac ac

=

(a ? c) 2 (a ? c) 2 a?c ? ? 2? b( a ? c ) ac b 2
b?c c?a a?b , , 也成 AP b c a 3.通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于 n 的一次函数这一



性质。 例五 吗? 解 :
n ?1 时

设数列 ?an ? 其前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n ? 3 ,问这个数列成 AP

a1 ? S1 ? 2

n?2 时

an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 3
∵ a1不满足an ? 2n ? 3
n ?1 n?2



?2 an ? ? ?2 n ? 3

∴ 数列 ?an ? 不成 AP 四、小结: 略 五、作业: 《教学与测试》 第 37 课 练习题

但从第 2 项起成 AP。

《课课练》 第 3、4 课中选

第五教时
教材:等差数列前 n 项和(一) 目的:要求学生掌握等差数列的求和公式,并且能够较熟练地运用解决问题。 过程: 一、引言:P119 著名的数学家 高斯(德国 1777-1855)十岁时计算 1+2+3+?+100 的故事 故事结束:归结为 1.这是求等差数列 1,2,3,?,100 前 100 项和 100 ? (1 ? 100 ) 2.高斯的解法是:前 100 项和 S100 ? 2 即 Sn ? 二、提出课题:等差数列的前 n 项和 1.证明公式 1: S n ? 证明:
n(a1 ? a n ) 2 n(a1 ? a n ) 2

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1

① ②

①+②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ?
n(a1 ? a n ) 2

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。 2.推导公式 2 用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , an 但 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?
n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , d (有时比较有用)

总之:两个公式都表明要求 S n 必须已知 n, a1 , d , an 中三个 3.例一 (P120 例一) :用公式 1 求 S n 例二 (P120 例一) :用公式 2 求 n 学生练习:P122 练习 1、2、3 三、例三 (P121 例三)求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N * 且m ? 100 ?的元素个 数,并求这些元素的和。 100 2 ? 14 解:由 7 n ? 100 得 n ? 7 7 ∴正整数 n 共有 14 个即 M 中共有 14 个元素 即:7,14,21,?,98 是 a1 ? 7为首项 a14 ? 98的AP
14 ? (7 ? 98) ? 735 答:略 2 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220,

∴ Sn ?

例四

由此可以确定求其前 n 项和的公式吗? 解:由题设: S10 ? 310

S 20 ? 1220

? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 得: ? ?? 1 ?20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2 四、小结:等差数列求和公式

∴ S n ? 4n ?

五、作业 (习题 3.1) P122-123

第六教时
教材:等差数列前 n 项和(二) 目的:使学生会运用等差数列前 n 项和的公式解决有关问题,从而提高学生分析 问题、解决问题的能力。 过程: 一、复习:等差数列前 n 项和的公式 二、例一 在等差数列 ?an ? 中 1? 已知 S8 ? 48

S12 ? 1 6 8求 a1 和 d ;
d ?4

? 8a ? 28d ? 48 解: ? 1 ? a1 ? ?8 ?12a1 ? 66d ? 1 6 8
2? 已知 a3 ? a5 ? 40 ,求 S17 .


S17 ?





a1 ? a17 ? a3 ? a15 ? 40



17(a1 ? a17 ) 17 ? 40 ? ? 340 2 2

例二 求数

已知 ?an ? ,?bn ? 都成 AP, 且 a1 ? 5 ,b1 ? 15,a100 ? b100 ? 100试 列 ?an ? bn ?的前 100 项之和 S100 . 解: S100 ?
100? (a1 ? a1 ? a100 ? b100 ) 100? (5 ? 15 ? 100) ? ?6000 2 2

例三 一个等差数列的前 12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比 为 32:27,求公差。
12?11 ? ? 12a1 ? 2 d ? 354 ? 6?5 ? 2d ?d ?5 则? ? 6(a1 ? d ) ? 32 2 ? ? 17 ? 6a ? 6 ? 5 ? 2d 1 ? 2 ?

解一:设首项为 a1 ,公差为 d

?S 奇 ? S 偶 ? 354 ? 解 二 : ? S 偶 32 ? ?S ? 奇 27
?d ?5

?S 偶 ? 192 ?? ?S 奇 ? 162



S偶 ? S奇 ? 6d

例四 之和为最

已知: an ? 1024? lg 21?n ( lg 2 ? 0.3010) n ? N *

问多少项

大?前多少项之和的绝对值最小? 解:1?

?a n ? 1024? (1 ? n) lg 2 ? 0 ? ?a n ?1 ? 1024? n lg 2 ? 0
? 1024 1024 ?n? ? 1 ? 3401? n ? 3403 lg 2 lg 2
n(n ? 1) (? lg 2) ? 0 2



n ? 3402

2?

S n ? 1024 n ?

当 S n ? 0或S n 近于 0 时其和绝对值最小

令: S n ? 0 得: n ?

即 1024+

n(n ? 1) ( ? lg 2) ? 0 2

2048 ? 1 ? 6804 .99 lg 2

∵ n? N * 例五

∴ n ? 6805

项 数 是 2n 的 等 差 数 列 , 中 央 两 项 为 an 和an?1 是 方 程

x 2 ? px ? q ? 0 的
两 根 , 求 证 此 数 列 的 和 是 方 程

lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0
的根。 ( S 2n ? 0 ) 解:依题意: an ? an?1 ? p ∵
S 2n ? 2n(a1 ? a 2 n ) ? np 2

a1 ? a2n ? an ? an?1 ? p



∵ lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 ∴ (lg x ? lg np) 2 ? 0 证) ∴ x ? np ? S 2n (获

例六

(机动,作了解)求和 1 1 1 1? ? ??? 1? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 解: a n ? ∴
1 2 1 1 ? ? 2( ? ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 ? 1 2n ? S n ? 2?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? 2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 ? n ?1 n ?1 ?

2? 解

(1002 ? 992 ) ? (982 ? 972 ) ? ? ? (4 2 ? 32 ) ? (2 2 ? 12 )
: 原 式

= 199 ? 195 ? ? ? 7 ? 3 ?

(199 ? 3) ? 50 ? 101 ? 50 ? 5050 2 三、作业 《精编》P167-168 6、7、8、9、10

第七教时
教材:等差数列的综合练习 目的:通过练习,要求学生对等差数列的定义,通项公式,求和公式及其性质有 深刻的理解。 过程: 一、复习:1.等差数列的定义,通项公式—关于 n 的一次函数 2.判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3.求等差数列前 n 项和的公式 二、处理《教学与测试》P79 第 38 课 三、补充例题《教学与测试》备用题 1.成等差数列的四个数之和为 26,第二数和第三数之积为 40,求这四个数. 解:设四个数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 例题 1、2、3

?(a ? 3d ) ? (a ? d ) ? (a ? d ) ? (a ? 3d ) ? 26 则: ? ?(a ? d )(a ? d ) ? 40
13 3 代入②得: d ? ? 2 2 ∴ 四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.

由①: a ?

2.在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a4 ? a8 ?12 ?a15 ? 2 求 S15 . 解:∵ a1 ? a15 ? a4 ? a12 ∴ a8 ? ?2 而 S15 ? 15a8 ? ?30

3.已知等差数列的前 n 项和为 a ,前 2n 项和为 b ,求前 3n 项和. 解:由题设

Sn ? a

S 2n ? b


∴ an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ? b ? a

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (a2n?1 ? a2n|2 ? ? ? a3n ) ? 2(an?1 ? an?2 ? ? ? a2n )
从而:

S3n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ) ? (a2n?1 ? a2n|2 ? ? ? a3n )
? 3(an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ) ? 3(b ? a)
四、补充例题: (供参考,选用)

4.已知 a1 ? 1 , S n ? n 2 an (n ? 1) 求 an 及 S n . 解: an ? S n ? S n?1 ? n 2 an ? (n ? 1) 2 an?1 ∵
a5 ? 4 3 2 1 ? ? ? 6 5 4 3

从而有 a n ?
a3 ? 2 1 ? 4 3

n ?1 a n ?1 n ?1
a4 ? 3 2 1 ? ? 5 4 3

a1 ? 1



a2 ?

1 3

∴ an ?

(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 2 ? (n ? 1)n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3 n(n ? 1)
1 2
n?2

∴ S n ? n 2 an ?

2n n ?1

5 .已知 S n ? 4 ? a n ?

(n ? N *) 求 a1 , an?1和an 的关系式及通项公式

an
解: a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1 2
1? 2

? a1 ? 1

1 ? ?S n ? 4 ? a n ? 2 n ? 2 ? 1 ?S n?1 ? 4 ? a n?1 ? ( n?1)?2 2 ?

?②?①: a n ?1 ? ?a n ?1 ? a n ?

1 2
n ?1

?

1 2
n?2

即: a n ?1 ?

1 1 an ? n 2 2

将上式两边同乘以 2 n 得: 2 n an?1 ? 2 n?1 an ? 1 即: 2 n an?1 ? 2 n?1 an ? 1 显然: 2 n?1 an 是以 1 为首项,1 为公差的 AP ∴ 2 n?1 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ∴ an ?
n 2 n ?1

?

?

6.已知 a1 ? 3且an ? S n?1 ? 2n ,求 an 及 S n . 解:∵ an ? S n ? S n?1
Sn 2n

∴ S n ? 2S n?1 ? 2 n



S n S n ?1 ? ?1 2 n 2 n ?1

设 bn ?

则 ?bn ? 是公差为 1 的等差数列
S1 a1 3 ? ? 2 2 2 Sn 1 ? n? n 2 2

∴ bn ? b1 ? n ? 1 ∴ S n ? (2n ? 1)2n?1

又:∵ b1 ?



当 n ? 2 时 an ? S n ? S n?1 ? (2n ? 3)2n?2
( n ? 1) ?3 ∴ an ? ? n?2 ( n ? 2) ?(2n ? 3) ? 2

S n ? (2n ? 1)2n?1
n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

7.设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ?? n(n ? 1) 求证:
n(n ? 1) ? n 2 ? n

证:∵

1 2n ? 1 n(n ? 1) ? (n ? ) 2 ? 2 2

∴ n ? n(n ? 1) ?

2n ? 1 2

∴ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? an ? ∴
n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) 2

五、作业: 《教学与测试》第 38 课

练习题 P80

第八教时
教材:等比数列(一) 目的:要求学生理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式并会根据它进行 有关计算。 过程: 一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例:得一个数列:

1,2,22 ,23 ,??,263
2.数列: 5,25,125,625,??

(1) (2)

1 1 1 1,? , ,? , ?? (3) 2 4 8 观察、归纳其共同特点:1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 3? q= 1 时,{an}为常数 二、通项公式:

a 2 ? a1 q ? 2? a3 ? a 2 q ? a1 q ? a ? a n ? a1 q n ?1 或 a n ? 1 ? q n 3? a 4 ? a3 q ? a1 q ? q ? ?????? ? 如数列: (1):a n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 (2):a n ? 5 ? 5 n ?1 ? 5 n 1 1 (3):a n ? 1 ? (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 2 2 a 图象:a n ? 1 ? q n 是经过指数函数纵向伸 缩后图象上的孤立点。 q 1 如:数列(1) : a n ? 2 n ?1 ? ? 2 n (n ? 64, 且n ? N *) 2 三、例一: (P127 例一) 实际是等比数列,求 a5
∵a1=120, q=120 ∴a5=120×1205?1=1205 ? 2.5×1010

例二、 (P127 例二) 强调通项公式的应用 例三、求下列各等比数列的通项公式: 1.a1=?2, a3=?8 解: a3 ? a1q ? q 2 ? 4 ? q ? ?2

? an ? (?2)2n?1 ? ?2n 或an ? (?2)(?2) n?1 ? (?2) n
2.a1=5, 且 2an+1=?3an 解: q ?

an?1 3 ?? an 2
an?1 n ? an n ?1

3 又:a1 ? 5 ? an ? 5 ? (? ) n?1 2

3.a1=5, 且

解:?

an?1 a n 1 ? ? 2 ? , an n ?1 a1 2

a3 2 a n ?1 ? , ??, n ? a2 3 an?1 n

以上各式相乘得: a n ?

1 3 a1 ? n n

四、关于等比中项: 如果在 a、b 中插入一个数 G,使 a、G、b 成 GP,则 G 是 a、b 的等比中项。 G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab (注意两解且同号两项才有等比中项) a G 例:2 与 8 的等比中项为 G,则 G2=16 G=±4 例四、已知:b 是 a 与 c 的等比中项,且 a、b、c 同号,

求证:

a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成 GP。 3 3
得:

证:由题设:b2=ac

a?b?c 3 a ? b ? c 3 3 ab ? b 2 ? bc ab ? bc ? ca 2 ? abc ? ? b ? ?( ) 3 3 3 3


a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成 GP 3 3

五、小结:等比数列定义、通项公式、中项定理 六、作业:P129 习题 3.4 1—8

第九教时
教材:等比数列(二) 目的: 在熟悉等比数列有关概念的基础上,要求学生进一步熟悉等比数列的有关 性质, 并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。 过程: 一、复习:1、等比数列的定义,通项公式,中项。 2、处理课本 P128 练习,重点是第三题。 二、等比数列的有关性质: 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若 m ? n ? p ? q ,则 a m an ? a p aq 。 例一:1、在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 。 解:∵ a1a18 ? a9 a10 ,∴ a18 ?

a9 a10 100 ? ? 20 a1 5

2、在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前七项之积。 解: b1b2b3b4b5b6b7 ? ?b1b7 ??b2b6 ??b3b5 ?b4 ∵ b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5 ,∴前七项之积 32 ? 3 ? 37 ? 2187 3、在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 , 解: a8 ? a5 q 3 ? a5 ?
2

? ?

3

a5 54 ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2

另解:∵ a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴ 542 ? a8 ? ?2

∴ a8 ? ?1458 三、判断一个数列是否成 GP 的方法:1、定义法,2、中项法,3、通项公式法
0 1 2 n ?1 5

例二:已知无穷数列 105 ,105 ,105 ,??10 求证: (1)这个数列成 GP

,?? ,

1 , 10 (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的

n ?1

a 10 5 证: (1) n ? n ? 2 ? 10 5 (常数)∴该数列成 GP。 a n ?1 10 5
n ?1

1

a 1 10 5 1 (2) n ? n ? 4 ? 10?1 ? ,即: a n ? a n ? 5 。 10 a n ?5 10 10 5

(3) a p aq ? 10 10

p ?1 5

q ?1 5

? 10

p ? q ?2 5

,∵ p, q ? N ,∴ p ? q ? 2 。
p ?q ?2 5

∴ p ? q ? 1 ? 1 且 ? p ? q ? 1? ? N ,∴ 10

? n ?1 ? ? ?10 5 ? , (第 p ? q ? 1项) 。 ? ?

例三:设 a, b, c, d 均为非零实数, a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 , 求证: a, b, c 成 GP 且公比为 d 。 证一:关于 d 的二次方程 a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 有实根, ∴ ? ? 4b 2 ?a ? c? ? 4 a 2 ? b 2 ? 0 ,∴ ? b 2 ? ac ? 0
2

?

?

?

?

?

?

?

?

2

则必有: b 2 ? ac ? 0 ,即 b 2 ? ac ,∴ a, b, c 成 GP 设公比为 q ,则 b ? aq , c ? aq2 代入

?a

2

? a 2 q 2 d 2 ? 2aq a ? aq2 d ? a 2 q 2 ? a 2 q 4 ? 0

?

?

?

∵ q 2 ? 1 a 2 ? 0 ,即 d 2 ? 2qd ? q 2 ? 0 ,即 d ? q ? 0 。 证二:∵ a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 ∴ a 2 d 2 ? 2abd ? b 2 ? b 2 d 2 ? 2bcd ? c 2 ? 0
2 2 ∴ ?ad ? b? ? ?bd ? c? ? 0 ,∴ ad ? b ,且 bd ? c

?

?

?

?

?

? ?

?

b c ? ?d。 a b 四、作业: 《课课练》P127-128 课时 7 中 练习 4~8。 P128-129 课时 8 中 例一,例二,例三,练习 5,6,7,8。

∵ a, b, c, d 非零,∴

第十教时
教材:等比数列的前 n 项和 目的:要求学生掌握求等比数列前 n 项的和的(公式) ,并了解推导公式所用的方法。 过程: 一、复习等比数列的通项公式,有关性质,及等比中项等概念。 二、引进课题,采用印度国际象棋发明者的故事, 即求 s64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8?? ? 262 ? 263 用错项相消法推导结果,两边同乘以公比: ①

2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16?? ? 263 ? 264


19

②-①: S 64 ? ?1 ? 264 ? 264 ? 1这是一个庞大的数字>1.84× 10 , 以小麦千粒重为 40 g 计算,则麦粒总质量达 7000 亿吨——国王是拿不出来的。 三、一般公式推导:设 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an 乘以公比 q , qSn ? a2 ? a3 ? ?? ? an?1 ? an ? qan ①?②: ?1 ? q ?S n ? a1 ? qan , q ? 1 时: S n ? ① ②

a1 ? qan a1 ? aqn a1 1 ? q n ? ? 1? q 1? q 1? q

?

?

q ? 1 时: S n ? na1
注意: (1) a1 , q, n, S n 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个, (2)注意求和公式中是 q ,通项公式中是 q
n n?1

不要混淆,

(3)应用求和公式时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。 四、例 1、 (P131,例一略)——直接应用公式。 例 2、 (P131,例二略)——应用题,且是公式逆用(求 n ) ,要用对数算。 例 3、 (P131-132,例三略)——简单的“分项法” 。 例 4、设数列 ?an ? 为 1,2x,3x ,4x ??nx
2 3 n?1

? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和。
3 n?1

解: (用错项相消法) S n ? 1 ? 2x ? 3x ? 4x ? ?? ? nx
2



xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ??? ?n ?1?xn?1 ? nxn
①?② ?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x ? ?? ? x
2 n?1



? nxn ,

当 x ? 1 时,

?1 ? x ?S n

?

1? xn 1 ? x n ? nxn ? nxn?1 1 ? ?1 ? n ?x n ? nxn?1 ? nxn ? ? 1? x 1? x 1? x

Sn ?

1 ? ?1 ? n?x n ? nxn?1

?1 ? x?2

当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? n ?

n?1 ? n ? 2

五、小结: (1)等比数列前 n 项和的公式,及其注意点, (2)错项相消法。 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法, (作机动) 法 1:设 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? an ∵ ?an ? 成 GP,∴

a a 2 a3 a 4 ? ? ? ?? ? n ? q a1 a2 a3 an?1

由等比定理:

a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n S ? a1 ? q, 即: n ?q a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? an?1 S n ? an a1 ? a n q a1 1 ? q n ? 1? q 1? q

当 q ? 1 时, S n ?

?

?

当 q ? 1 时, S n ? na1 法 2: S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?? ? a1q n?1

? a1 ? q a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?? ? a1q n?2 ? a1 ? qSn?1 ? a1 ? q?S n ? an ?

?

?
a1 ? a n q (下略) 1? q

从而: ?1 ? q ?S n ? a1 ? an q ? 当 q ? 1 时 S n ? 当 q ? 1 时 S n ? na1 六、作业:P132-133

练习 ①,②,③ 习题 3.5 ①,②,③,④,⑤

第十一教时
教材:等比数列《教学与测试》第 40、41 课 目的:通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。 过程: 一、复习:等比数列的有关概念,等比数列前 n 项和的公式

二、处理《教学与测试》第 40 课: 例一、 (P83)先要求 x,还要检验(等比数列中任一项 an?0, q?0) 例二、 (P83)注意讲:1?“设”的技巧 2? 区别“计划增产台数”与“实际生产台数” 例三、 (P83)涉及字母比较多(5 个) ,要注意消去 a2, a4 1 例四、 ( 备 用 题 ) 已 知 等 比 数 列 {an} 的 通 项 公 式 a n ? 3 ? ( ) n ?1 且 : 2

bn ? a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ,求证:{bn}成 GP
1 证:∵ a n ? 3 ? ( ) n ?1 2

1 1 1 ∴ bn ? a3n?2 ? a3n ?1 ? a3n ? 3( ) 3n ?3 ? 3( ) 3n ?2 ? 3( ) 3n?1 2 2 2 1 1 1 21 1 ? 3( ) 3n?3 (1 ? ? ) ? ( ) 3n ?3 2 2 4 4 2



bn?1 1 ? ( )3 bn 2

∴{bn}成 GP

三、处理《教学与测试》第 41 课: 例一、(P85)可利用等比数列性质 a1an = a2 an?1, 再结合韦达定理求出 a1 与 an(两解) ,再求解。 例二、(P85)考虑由前项求通项,得出数列{an},再得出数列{
1 和——注意:从第二项起 是公比为 的 GP .... 2

1 },再求 an

例三、(P85)应用题:先弄清:资金数=上年资金×(1+50%)?消费基金。 然后逐一推算,用数列观点写出 a5,再用求和公式代入求解。 例四、(备用题)已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 解:∵an+1=Sn 又∵an+1=Sn+1? Sn ∴Sn+1=2Sn ∴{Sn}是公比为 2 的等比数列, 其首项为 S1= a1=?2, ∴S1= a1×2n?1= ?2n ∴当 n≥2 时, an=Sn?Sn?1=?2n?1

? ?2 ∴ an ? ? n?1 ?? 2

(n ? 1) (n ? 2)

例五、(备用题)是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比 数列,且公比相同? 解:设等比数列{an}的公比为 q,如果{Sn}是公比为 q 的等比数列,则:

S n ? S1q


n ?1

? a1q

n ?1

? na1 ? 而S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? ? 1? q

q ?1 q ?1

q ? 1 时, S n ? a1 q n ?1 ? na1

S (n ? 1)a1 n ? 1 即: n ?1 ? ? ? q ? 1 得n ? 1 ? n(矛盾) Sn na1 n
n S a ( 1 ? q n ?1 1 1? q ) 即: n ?1 ? ? q ? q ? 1 (矛盾) 1? q Sn 1? q n

q ? 1 时, S n ? a1 q n ?1 ?

所以,这样的等比数列不存在。 四、作业: 《教学与测试》P84、P86 练习题

第十二教时
教材:等比数列综合练习 目的:系统复习等比数列的概念及有关知识,要求学生能熟练的处理有关问题。 过程: 一、处理《教学与测试》P87 第 42 课习题课(2) 1、 “练习题”1 选择题。 Pn 2、 (例一)略:注意需用性质。 3、 (例三)略:作图解决: A P1 P3 P4 P2 解: APn ? AB ? BP 1 ?P 1P 2 ?P 2P 3 ?P 3P 4 ? ?? ? ?? 1? P n ?1 P n
n

B

?a?

a a n a ? 2 ? ?? ? ?? 1? n 2 2 2

n 2 ? ?? 1? ? ? 1 1 n 1 ? ? a ?1 ? ? 2 ? ?? ? ?? 1? n ? ? a ?1 ? n ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 2

二、补充例题: 1、在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400,求 n 的范围。 解:∵ a1a3 ? a1 q 2 ? 36 ,∴ a1q ? ?6 又∵ a2 ? a4 ? a1q 1 ? q 2 60,且 1 ? q 2 ? 0 ,∴ a1q ? 0 ,
2

?

?

?a ? 2 ?a1 ? ?2 ∴ a1q ? 6,1 ? q 2 ? 10 解之: ? 1 或? q ? 3 ? q ? ?3 ?
当 a1 ? 2, q ? 3 时, S n ? (∵ 35 ? 273 36 ? 729) 当 a1 ? ?2, q ? ?3 时, S n ∵ n ? N * 且必须为偶数 ∴n ? 8, (∵ ?? 3? ? ?2187 , ?? 3? ? 6561)
7 8
n ? ? ? 2?? ? 3? ? 1? n ? ? 400 ? ?? 3?

a1 1 ? q n 2 3n ? 1 ? ? 400 ? 3n ? 401,∴ n ? 6 1? q 2

?

?

?

?

?4

? 801,

?1? 2、等比数列 ?an ? 前 n 项和与积分别为 S 和 T,数列 ? ? 的前 n 项和为 S ' , ? an ? ?S ? 求证: T ? ? ' ? ?S ?
2 n

证:当 q ? 1 时, S ? na1 , T ? a1 , S ' ?
n

n

n , a1

?S? ∴? ?S ? ? ? 1?

n

? ? ? ? na1 ? 2n ? (成立) ? ? a1 ? T 2 , ? n ? ? ? ? a1 ?

?n ?1?n a 1? qn a 1 ? q ?n qn ?1 当 q ? 1 时, S ? 1 , , T ? a1q 2 ,S' ? 1 ? 1? q 1 ? q ?1 a1q n?1 ?q ? 1?
1

?

?

?1

?

?

?S? 2 n ?1 ? ' ? ? a1 q ?S ?

n

?

?

n

n ? n ?1? ? ? n 1 2 (成立) ? ?a1 q 2 ? ?T , ? ?

2

综上所述:命题成立。 3、设首项为正数的等比数列,它的前 n 项之和为 80,前 2n 项之和为 6560,且 前 n 项中数值最大的项为 54,求此数列。

? a1 1 ? q n ? 80 ?1? ? ? 1? q 解: ? ? 1 ? q n ? 82 ? q n ? 81 2n ? a1 1 ? q ? 6560 ?2? ? ? 1? q

?

?

?

?

代入(1) , a1 1 ? q n ? 80?1 ? q? ,得: a1 ? q ? 1 ? 0 ,从而 q ? 1 , ∴ ?an ? 递增,∴前 n 项中数值最大的项应为第 n 项。 ∴ a1q n?1 ? 54 ,∴

?

?

?q ? 1?q

n ?1

? q ?q
n

n ?1

? 54, q

n ?1

qn ? 81? 54 ? 27, q ? n?1 ? 3 , q

∴ a1 ? 2 ,∴此数列为 2,6,18,54,162?? 4、设数列 ?an ? 前 n 项之和为 S n ,若 S1 ? 1, S 2 ? 2 且 S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 0?n ? 2? , 问:数列 ?an ? 成 GP 吗?

解:∵ S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 0 ,∴ ?S n?1 ? S n ? ? 2?S n ? S n?1 ? ? 0 ,即 an?1 ? 2an ? 0 即:

a n ?1 ? 2 ?n ? 2? ,∴ ?an ? 成 GP ?n ? 2? an a2 ? 2, a1

又: a1 ? S1 ? 1, a2 ? S 2 ? S1 ? 1,

? 1 ?n ? 1? ∴ ?an ? 不成 GP,但 ?n ? 2? 时成 GP,即: an ? ? n?1 。 ?n ? 2? ?2
三、作业: 《教学与测试》P87-88 练习题 3,4,5,6,7 补充:1、三数成 GP,若将第三数减去 32,则成 AP,若将该等差数列中项 减 2 26 38 去 4,以成 GP,求原三数。 (2,10,50 或 , , ) 9 9 9 2、 一个等比数列前 n 项的和为 S n ? 48, 前 2n 项之和 S 2 n ? 60 , 求 S 3n 。 (63) 3、在等比数列中,已知: a3 ? 4, S 6 ? 36 ,求 an 。 《精编》P176-177 第 2,4 题。
?1 n ?1 ? ? ?2 ? ?7 ?

第十三教时
教材:数列求和 目的:小结数列求和的常用方法,尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和 错位法求一些特殊的数列。 过程: 一、提出课题:数列求和——特殊数列求和 常用数列的前 n 项和: 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?
n(n ? 1) 2

1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1) ? n 2
n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 n(n ? 1) 2 13 ? 2 3 ? 33 ? ?? ? n 3 ? [ ] 2 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ?? ? n 2 ?

二、拆项法: 例一、 ( 《教学与测试》P91 例二) 1 1 1 1 求数列 1 ? 1 , ? 4 , 2 ? 7 , 3 ? 10 , ??, n ?1 ? (3n ? 2) ,?? 的前 n a a a a

项和。 解:设数列的通项为 an,前 n 项和为 Sn,则 a n ?
? S n ? (1 ? 1 a n ?1 ? (3n ? 2)

1 1 1 ? 2 ? ?? ? n ?1 ) ? [1 ? 4 ? 7 ? ?? ? (3n ? 2)] a a a

当 a ? 1 时, S n ? n ?

(1 ? 3n ? 2)n 3n 2 ? n ? 2 2

1 n a n ? (1 ? 3n ? 2)n ? a ? 1 ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 2 2 a n ? a n?1 1? a 1?
三、裂项法: 例二、求数列
6 6 6 6 , , ,??, ,?? 前 n 项和 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ? 1 1 ? 6( ? ) n(n ? 1) n n ?1

解:设数列的通项为 bn,则 bn ?

1 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 6[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 ? 6(1 ?
例三、求数列

1 6n )? n ?1 n ?1

1 1 1 , ,??, ,?? 前 n 项和 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? ?? ? (n ? 1) 1 2 1 1 ? ? 2( ? ) 1 ? 2 ? ?? ? (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2

解:? a n ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? S n ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] ? 2( ? )? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 n?2 四、错位法: 1 例四、求数列 {n ? n } 前 n 项和 2 1 1 1 1 解: S n ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ???? ? n ? n ① 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 ② 2 4 8 16 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? n 两式相减: S n ? ? ? ? ?? ? n ? n ? n?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2 n?1 1? 2

? S n ? 2(1 ?

1 n 1 n ? n ?1 ) ? 2 ? n ?1 ? n n 2 2 2 2

例五、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? ( 求数列{an}的前 n 项和 解:取 n =1,则 a1 ? (
a1 ? 1 2 ) ? a1 ? 1 2

an ? 1 2 ) (n ? N * ) , 2

又: S n ?

n(a1 ? a n ) n(a1 ? a n ) a ?1 2 ?( n ) 可得: 2 2 2

? an ? ?1 (n ? N * )

? an ? 2n ? 1

? S n ? 1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1) ? n 2
五、作业: 《教学与测试》P91—92 第 44 课 练习 3,4,5,6,7

补充:1. 求数列 ? 1 , 4 , ? 7 , 10 ,??, (?1) n (3n ? 2) ,??前 n 项和

? ? 3n ? 1 n为奇数 ? (Sn ? ? 2 ) 3n ? n为偶数 ? 2 2n ? 3 2n ? 1 (8 ? n ? 3 ) 2. 求数列 { n ?3 } 前 n 项和 2 2
3. 求和: (1002 ? 992 ) ? (982 ? 972 ) ? ?? ? (2 2 ? 12 ) (5050)

4. 求 和 : 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + ? ? + n × (n + 1) n(n ? 1)( n ? 5) ( ) 3 5. 求数列 1,(1+a),(1+a+a2),??,(1+a+a2+??+an?1),??前 n 项和
a ? 0时,S n ? n a ? 1时,S n ? n(n ? 1) 2 n(n ? 1)a ? a n ?1 (1 ? a ) 2

a ? 1、 0时,S n ?

第十四教时

教材:数列的应用 目的:引导学生接触生活中的实例,用数列的有关知识解决具体问题,同时了解 处理“共项” 问题。 过程: 五、例题: 1. 《教学与测试》P93 例一)大楼共 n 层,现每层指定一人,共 n 人集中到 设在第 k 层的临时会议室开会,问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下 楼梯所走的路程总和最短。 (假定相邻两层楼梯长相等) 解:设相邻两层楼梯长为 a,则
S ? a (1 ? 2 ? ?? ? k ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ?? ? (n ? k )] n2 ? n ] 2 n ?1 当 n 为奇数时,取 k ? S 达到最小值 2 n n?2 当 n 为偶数时,取 k ? 或 S 达到最大值 2 2 2.在[1000,2000]内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个? ? a[k 2 ? (n ? 1)k ?

解:不妨设 an ? 3n, bm ? 4m ? 1 (m, n ? N * ) , 则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000) ∵an = bm ,即:3n=4m+1 d=12 ∴cp=9+12(p?1) ( p?N*)
7 11 ? p ? 166 12 12 ∴p 取 84、85、??、166 共 83 项。

令 n=3 , 则 m=2

∴c1=9 且有上式可知:

由 1000≤cn≤2000 解得: 83

3.某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m2,如果该城市每 年人口平均增长率为 1%,每年平均新增住房面积为 30 万 m2,求 2000 年底该城市人均住房面积为多少 m2?(精确到 0.01) 解:1991 年、1992 年、??2000 年住房面积总数成 AP a1 = 6×500 = 3000 万 m2,d = 30 万 m2,a10 = 3000 + 9×30 = 3270 1990 年、1991 年、??2000 年人口数成 GP b1 = 500 , q = 1% ,

b10 ? 500?1.019 ? 500?1.0937? 546.8

∴2000 年底该城市人均住房面积为: 4. (精编 P175

3270 ? 5.98 m 2 546 .8 例 3)从盛有盐的质量分数为 20%的盐水 2 kg 的容器中倒

出 1 kg 盐水,然后加入 1 kg 水,以后每次都倒出 1 kg 盐水,然后再加

入 1 kg 水, 问:1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g? 2.经 6 次倒出后,一共倒出多少 k 盐?此时加 1 kg 水后容器内盐水 的盐的质量分数为多少? 解:1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则: 1 1 a1= 0.2 kg , a2= ×0.2 kg , a3= ( )2×0.2 kg 2 2 1 1 1 由此可见:an= ( )n?1×0.2 kg , a5= ( )5?1×0.2= ( )4×0.2=0.0125 2 2 2 kg 2.由 1.得{an}是等比数列
a1 (1 ? q ) ? 1? q
6

a1=0.2 ,

q=

1 2

? S6 ?

0.2(1 ?

1 ) 2 6 ? 0.3 9 3 7 kg 5 1 1? 2

0.4 ? 0.3 9 3 7 ?5 0.0 0 6 2 5 0.0 0 6 2 ?5 2 ? 0.0 0 3 1 2 5

六、作业: 《教学与测试》P94 《精编》P177

练习

3、4、5、6、7

5、6

第十五教时
教材:等差、等比数列的综合练习 目的: 通过复习要求学生对等差、 等比数列有更深刻的理解, 逐渐形成熟练技巧。 过程: 七、小结:等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。 八、处理《教学与测试》P81 第 39 课 习题课(1) 1.基础训练题 2.例一 例二 1.例一 2.例二 3.例三 由 S n 求 an 用定义法判定 ?an ? 成 AP

关键是首先要判定 d ? 0 或 d ? 0 “设”— 利用中项公式 — 求解 “设”的技巧,然后依题意列式,再求解 已知数列 ?an ? 中, S n 是它的前 n 项和,并且 S n?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1

九、处理《教学与测试》P89 第 43 课 等差数列与等比数列

1? 设 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列;

2? 设 c n ?

an ,求证数列 ?cn ? 是等差数列。 2n

证:1? ∵ a1 ? 1 ∴ a1 ? a2 ? S 2 ? 4a1 ? 1 ? a2 ? 5 , b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
∵ S n?1 ? 4an ? 2

S n?2 ? 4an?1 ? 2 两式相减得: an?2 ? 4an?1 ? an
∵ bn ? an?1 ? 2an

即: an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) ∴ bn?1 ? 2bn 2? ∵ c n ?

即 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列

bn ? 3 ? 2n?1

an a ?1 a n a n ?1 ? 2a n b ? n ? ? nn ∴ cn ?1 ? cn ? n n n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 ?1
3 4

将 bn ? 3 ? 2n?1 代入: c n ?1 ? c n ? 十、

∴ ?cn ? 成 AP

1、P90“思考题”在△ABC 中,三边 a, b, c 成等差数列, a , b , c 也

成等差数列,求证△ABC 为正三角形。

证:由题设, 2b ? a ? c 且 2 b ? a ? c
∴a?c ? 2 a c 证) 即 ( a ? c )2 ? 0

∴ 4b ? a ? c ? 2 a c 从而 a ? c ∴ b ? a ? c (获

2、 “备用题” 三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若 再将这等差数列的第二个数减去 4,则又成等比数列,求原来三个数。

解:设原来三个数为 a, aq, aq2 则必有 2aq ? a ? (aq2 ? 32)
(aq ? 4) 2 ? a(aq2 ? 32)
由①: q ? ②



4a ? 2 5 代入②得: a ? 2 或 a ? 从而 q ? 5 或 13 a 9 2 26 338 ∴原来三个数为 2,10,50 或 , , 9 9 9 十一、 作业: 《教学与测试》P81-82 练习题 3、4、5、6、7

P90

5、6、7、8

第十六教时
教材:数列极限的定义 目的:要求学生首先从实例(感性)去认识数列极限的含义,体验什么叫无限地 “趋近” ,然后初步学会用 ? ? N 语言来说明数列的极限,从而使学生在学 习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。

过程: 十二、 实例:1?当 n 无限增大时,圆的内接正 n 边形周长无限趋近于圆周长 2?在双曲线 xy ? 1 中,当 x ? ?? 时曲线与 x 轴的距离无限趋近于 0 十三、 提出课题:数列的极限 考察下面的极限 1 1 1 1 1? 数列 1: , 2 , 3 , ? , n , ? 10 10 10 10 ①“项”随 n 的增大而减少 ②但都大于 0 1 ③当 n 无限增大时,相应的项 n 可以“无限趋近于”常数 0 10 1 2 3 n ,? 2? 数列 2: , , , ?, 2 3 4 n ?1 ①“项”随 n 的增大而增大 ②但都小于 1 n ③当 n 无限增大时,相应的项 可以“无限趋近于”常数 1 n ?1
1 1 (?1) n ,? 3? 数列 3: ? 1, ,? , ?, 2 3 n

①“项”的正负交错地排列,并且随 n 的增大其绝对值减小 ②当 n 无限增大时,相应的项
(?1) n 可以“无限趋近于”常数 n

引导观察并小结,最后抽象出定义: 一般地,当项数 n 无限增大时,无穷数列 ?an ? 的项 an 无限地趋近于 某个数 a (即 an ? a 无限地接近于 0) ,那么就说数列 ?an ? 以 a 为极限, 或者说 a 是数列 ?an ? 的极限。 (由于要“无限趋近于” ,所以只有无穷 数列才有极限) 数列 1 的极限为 0,数列 2 的极限为 1,数列 3 的极限为 0 十四、 例一 (课本上例一)略 注意:首先考察数列是递增、递减还是摆动数列;再看这个数列当 n 无 限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。 练习: (共四个小题,见课本) 十五、 有些数列为必存在极限,例如: a n ? (?1) n ? 例二
2 或a n ? n 都没有极限。 2

下列数列中哪些有极限?哪些没有?如果有,极限是几?

1. a n ?

1 ? (?1) n 2
n ?1

2. a n ?

1 ? (?1) n 2

3. an ? a n (a ? R)
n

4. a n ? (?1)

3 ? n

? 5? ? 5. a n ? 5 ? ? ?? 3 ? ? ?

解:1. ?an ?:0,1,0,1,0,1,??
2 2 2. ?an ? : 2,0, ,0, ,0,?? 3 5

不存在极限 极限为 0

3. ?an ? : a, a 2 , a 3 ,??

不存在极限

3 3 4. ?an ? : 3,? ,1 ,?? 极限为 0 2 4 n ? 5 5 5 5 25 5? ? ?? ? ? 5. ?an ? :先考察 ?? ? ? 3 ? ? : ? 3 , 9 ,? 27 , 81 ,?? 无限趋近于 0 ? ? ? ?? ?

∴ 数列 ?an ? 的极限为 5 十六、 关于“极限”的感性认识,只有无穷数列才有极限 十七、 作业: 习题 1 2? a n ?
1 2n

补充:写出下列数列的极限:1? 0.9,0.99,0.999,??
1? ? 3? ?(?1) n ?1 ? ? n? ?

4?

3 4 5 6 , , , , ?? 2 3 4 5

5? a n ? 1 ?

1 1 1 ? ??? n 2 4 2

第十七教时
教材:数列极限的定义( ? ? N ) 目的:要求学生掌握数列极限的 ? ? N 定义,并能用它来说明(证明)数列的极 限。 过程: 十八、 复习:数列极限的感性概念 十九、 数列极限的 ? ? N 定义
? ( ?1) n ? 1.以数列 ? ? 为例 ? n ?
?1

1 1 1 a n : ?1, ,? , , ?? 2 3 4
0

观察:随 n 的增大,点越来越接近

1 2

即:只要 n 充分大,表示点 an 与原点的距离 a n ? 0 ?

( ?1) n 1 ? 0 ? 可以充 n n

分小 进而:就是可以小于预先给定的任意小的正数 2. 具体分析: (1) 如果预先给定的正数是
( ?1) n 1 1 1 ?0 ? < , 要使 a n ? 0 ? n n 10 10

? ( ?1) n ? n ? 10 只要 即可 即:数列 ? ? 的第 10 项之后的所有项都满足 ? n ?

(2) 同理:如果预先给定的正数是 (3) 如果预先给定的正数是

1 ,同理可得只要 n ? 103 即可 3 10

1 (k ? N *) ,同理可得:只要 n ? 10k 即可 k 10 3. 小结: 对于预先给定的任意小正数 ? , 都存在一个正整数 N , 使得只要 n ? N

就有 an ? 0 < ? 4.抽象出定义:设 ?an ? 是一个无穷数列, a 是一个常数,如果对于预先给定 的任意小的正数 ? ,总存在正整数 N ,使得只要正整数 n ? N ,就有

an ? a < ? ,那么就说数列 ?an ? 以 a 为极限(或 a 是数列 ?an ? 的极限)
记为: lim a n ? a 读法: “ ?”趋向于
n??

“ n ? ? ” n 无限增大时

注意:①关于 ? : ? 不是常量,是任意给定的小正数 ②由于 ? 的任意性,才体现了极限的本质 ③关于 N : N 是相对的,是相对于 ? 确定的,我们只要证明其存在 ④ an ? a :形象地说是“距离” , an 可以比 a 大趋近于 a ,也可以比 a 小趋 近于 a ,也可以摆动趋近于 a 二十、 处理课本 例二、例三、例四 例三:结论:常数数列的极限是这个常数本身 例四 二十一、 1. lim 这是一个很重要的结论 用定义证明下列数列的极限: 2. lim
3n ? 1 3 ? n ? ? 2n ? 1 2

2n ?1 ?1 n ?? 2 n

证明 1:设 ? 是任意给定的小正数
2n ?1 1 1 1 ? 1 ? n 要使 n ? ? 即: 2 n ? n ? 2 2 2

两边取对数 n ? log 2

1

?

1? ? 取 N ? ?log2 ? ?? ?

????介绍取整函


2n ?1 ? 1 ? ? 恒成立 当 n ? N 时, 2n

2n ?1 ∴ lim n ? 1 n ?? 2

证明 2:设 ? 是任意给定的小正数
要使
1 ? 3n ? 1 3 ? ? ? ? 只要 2n ? 1 5 2n ? 1 2 n? 5 1 ? 4? 2

? 5 1? 取N ? ? ? ? ? 4? 2 ?

当 n ? N 时,

3n ? 1 3 ? ? ? 恒成立 2n ? 1 2

∴ lim
n ??

3n ? 1 3 ? 2n ? 1 2

第十八教时
教材:数列极限的四则运算 目的:要求学生掌握数列极限的四则运算法则,并能运用法则求数列的极限。 过程: 二十二、 二十三、 复习:数列极限的 ? ? N 定义 提出课题:数列极限的四则运算法则

1.几个需要记忆的常用数列的极限 1 n ?1 lim q n ? 0 ( q ? 1) lim ?0 lim ?1 n ?? n n?? n ? ? n 2.运算法则: 如果 lim a n ? A
n ??

lim a ? a(a为 常 数 )
n ??

lim b n ? B
n ??

则: lim(a n ? b n ) ? A ? B
n ??

lim (a n ? b n ) ? A ? B
n ??

an A l i m n ? , ( B ? 0) n ?? b B

3.语言表达(见教材,略) 此法则可以推广到有限多个数列的情形 1 2 3 n ,? 它的极限为 1 解释:如数列 , , , ?, 2 3 4 n ?1
2,2,2,?,2,?

它的极限为 2

1 2 3 n , ? 它的极限为 3 则 2 ,2 ,2 , ? ,2 ? 2 3 4 n ?1

即: lim(2 ? 二十四、

n n ) ? lim 2 ? lim ? 2 ?1 ? 3 n ?? n ?? n ? 1 n ? 1 n ?? 处理课本 例一、例二 略

例三(机动,作巩固用)求下列数列的极限: 2n ? 1 1. lim n ? ? 3n ? 2 1 1 1 2? lim(2 ? ) lim 2 ? lim 2?0 2 n ?? n ?? n n ? n ?? 解:原式= lim n ? ? ? n ?? 2 2 2 3?0 3 3? lim(3 ? ) lim 3 ? lim n ?? n ?? n n n ?? n 1 4 5? ? 3 3 2 5n ? n ? 4 n n ?5 2. lim 解: 原式= lim 3 n ?? 6n ? n ? 1 n ?? 1 1 6 6? 2 ? 3 n n 5 1 4 ? 3? 5 3 2 2 5n ? n ? 4 0 3. lim 解:原式= lim n n n ? ? 0 n ?? 6 n 5 ? n ? 1 n ?? 1 1 6 6? 4 ? 5 n n
? a0 ? a 0 x p ? a1 x p ?1 ? a 2 x p ? 2 ? ? ? a p ? b0 ?? 0 小结: ...lim n ?? b x q ? b x q ?1 ? b x q ? 2 ? ? ? b 0 1 2 q ?不存在 ? ?

( p ? q) ( p ? q) ( p ? q)

例四、首项为 1,公比为 q 的等比数列的前 n 项的和为 S n ,又设 Tn ?
lim Tn
n ??

Sn ,求 S n?1

解: Tn ?

Sn 1? qn ? (q ? 1) S n?1 1 ? q n?1
n ??

当 q ? 1 时, lim Tn ? 1

?1? ? ?q? ? ?1 1 ? ? 当 q ? 1 时, lim Tn ? lim ? n n ?? n ?? q ?1? ? ? ? q ?q? ? ?
当 q ? 1 时, lim T n ? lim
n??

n

n n ?1

n??

?1

当 q ? 1 时, lim Tn 不存在
n ??

二十五、 二十六、

小结:运算法则、常用极限及手段 作业:练习 1、2 习题 1 补充: (附纸)

第十九教时
教材:数列极限的运算 目的:继续学习数列极限的运算,要求学生能熟练地解决具体问题。 过程: 一、复习数列极限的运算法则 例一、先求极限 lim
n ??

n2 ? n ?1 ,再用ε —N 定义证明。 2n 2 ? 1

解: lim
n??

n ? n ?1 ? 2n 2 ? 1 lim n??
2

1?

1 1 ? n n2 ? 1 1 2 2? 2 n

任给 ? ? 0 , |

n2 ? n ?1 1 2n ? 1 ? |? 2 2n ? 1 2 2(2n 2 ? 1)



2n ? 1 2n 2n 1 ? 2 ? 2 ? 2 n 2(2n ? 1) 4n ? 2 2n

(?当n ? 1时, n 2 ? 1, 2n 2 ? 2,? 4n 2 ? 2 ? 2n 2 )

1 ?? n n? 1

?

1 取N ? [ ]

?

当n ? N 时 , |

n2 ? n ?1 1 ? |?? 2n 2 ? 1 2

恒成立 ? lim
n??

n2 ? n ?1 1 ? 2 2n 2 ? 1

二、先求和,后求极限: 例二、求极限 1. lim (
n ??

1 4 7 3n ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? ) 2 n n n n2 n(3n ? 1) 1 ? 2 2n 2

解:原式= lim
n ??

(指出:原式=0+0+0+??+0=0 是错误的)

2. lim
n??

1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? ? n(n ? 1) n(n 2 ? 3)

解:原式= lim
n ??

n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? 2n 3 ? 6n 2 ? 4n 1 6 2 ? lim ? 3 n(n 2 ? 3) 6(n 3 ? 3n) n ??

1 1 1 1 3. lim [(1 ? )(1 ? 2 )(1 ? 4 )??(1 ? 2n ?1 )] 2 2 2 n?? 2
(1 ? ? 1 22
n ?1

解:?1 ?

1 22
n ?1

)(1 ? 1 22
n ?1

1 22
n ?1

) ?

1? ( 1?

1 22
n ?1

)2 ?

1? 1?

1 22 1 22
n

1?

1 2?
n ?1

n ?1

1 1 1 1? 1 1? 1 1 ? 2n 1 ? 2n 2 22 23 2 ? 2 ? ?? ? 2 ]? 2 ?2 ? 原式 ? lim[ 2 ? lim 1 1 1 1 1 n ?? n ?? 1? 1 ? 2 1 ? 22 1 ? 2n ?1 1? 2 2 2 2 2 1?

4.已知数列{an}中 a n ?

1 ,求 lim S n n(n ? 1)(n ? 2) n ??

解:?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
1 1 1 1 1 1 1 {( ? )?( ? ) ? ?? ? [ ? ]} 2 1? 2 2 ? 3 2?3 3? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 [ ? ]? 2 2 (n ? 1)(n ? 2) 4

? 原式 ? lim
n ??

? lim
n ??

三、先共扼变形,再求极限: 例三、求极限 1. lim
n??

n( n ?1 ? n)

解:原式= lim
n??

n ( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ) n ?1 ? n
1 1? 1 ?1 n ? 1 2

? lim
n??

n n ?1 ? n

? lim
n ??

2. lim
n??

n ?1 ? n n?2 ? n

解:原式= lim
n ??

( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n )( n ? 2 ? n ) ( n ? 2 ? n )( n ? 2 ? n )( n ? 1 ? n )
n?2 ? n 2( n ? 1 ? n ) ? 1 2

? lim
n ??

3. lim ( 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? (n ? 1) )
n??

解:原式 ? lim (
n ??

n(n ? 1) n(n ? 1) ? ) ? lim 2 2 n ?? 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) 2 n 2 n 2 2

n n(n ? 1) n(n ? 1) ? 2 2

? lim
n ??

?

四、作业:
3 4 5 6 1.求数列 , , , , ? 的极限为 2 3 4 5

1 1

1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ]? 2. lim [ 2 ?3 3? 4 n(n ? 1) n ?? 1 ? 2

3. lim (1 ?
n ??

1 1 1 ? ? ?? ? n ) ? 2 4 2

2

4. lim (
n ??

3 1 4 7 3n ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 )? 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
2

5. lim
n??
. .

3n?1 ? 2 n?1 ? 3n?1 ? 2 n?1
3 11

9

6. 0. 2 7 =

7.用数列极限的定义证明: lim
n ??

n2 1 ? 2 3n ? 1 3

5 10 15 5n 1 2 3 n ,? 和 , , ,?, ,? 8.已知数列 , , , ?, 3 4 5 n?2 3 4 5 n?2 (1)求证:这两个数列的极限分别是 5 和 1; (2)作一个无穷数列,使它的各项为这两个数列的对应项的和, 验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。

第二十教时

教材:求无穷递缩等比数列的和 目的: 要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式, 并能解决具体问题。 过程: 一、例题:
1 1 1 1 例一、已知等比数列 , , , ? n , ? , 求这个数列的前 n 项和; 并求当 n ? ? 2 4 8 2 时,这个和的极限。 1 1 [1 ? ( ) n ] a1 (1 ? q n ) 2 1 1 2 解:公比 q ? , Sn ? ? ? 1? n 1 1 2 1? q 2 1? 2 2

? lim S n ? lim
n ?? n ??

1 1 (1 ? n ) ? 1 ? lim ( ) n ? 1 ? 0 ? 1 2 2 n ??

1 4

1 8

解释: “无穷递缩等比数列”
1? 当 n ? ? 时,数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项( n

项)
2? 当 | q | <1 时,数列单调递减,故称“递缩” 3? 数列{an}本身成 GP 小结:无穷递缩等比数列前 n 项和是 S n ? 当 n ? ? 时, S ? lim S n ? lim
n?? n??

a1 (1 ? q n ) 1? q

a1 (1 ? q n ) a ? lim 1 ? lim (1 ? q n ) 1? q n?? 1 ? q n??

?S ?

a1 1? q

其意义与有限和是不一样的

, 0.0003 ,?? 各项和。 例二、求无穷数列 0.3, 0.03, 0.003
3 0.03 1 , q? ? 10 0.3 10

解: a1 ? 0.3 ?

3 3 1 ? S ? 10 ? ? 1 9 3 1? 10
?

例三、化下列循环小数为分数: 1. 2.13
? ?
? ?

2. 1.1 3 2 1

?

13 13 13 13 13 解:1. 2.13 ? 2 ? ? ? ?? ? 2 ? 100 ? 2 ? ?2 1 100 10000 99 99 1? 100

13 321 321 321 1320 44 2.1.13 21 ? 1.1 ? 4 ? 7 ? 10 ? ?? ? 1.1 ? 10000 ? 1 ?1 1 9990 333 10 10 10 1? 3 10 小结法则:
? ?

1. 2.

纯循环小数化分数:将一个循环节的数作分子,分母是 99??9, 其中 9 的个数是循环节数字的个数。 混循环小数化分数:将一个循环节连同不循环部分的数减去不循 环部分所得的差作分子,分母是 99?900?0,其中 9 的个数与一 个循环节的个数相同,0 的个数和不循环部分的数字个数相同。

例四、某无穷递缩等比数列各项和是 4,各项的平方和是 6,求各项的立方 和。 解:设首项为 a ,公比为 q,( | q | <1 ) 则

? a ? 4 (1) ? ? 1? q ? a2 ? ? 6 (2) ?1 ? q 2 ?

1) ?( 2 ) 得: ?(? ???

2

1? q 8 5 24 ? ?q? 代入(1):a ? 1? q 3 11 11

a3 ∴各项的立方和: S ? ? 1 ? q3

24 3 ) 768 11 ? 5 67 1 ? ( )3 11 (
1 ,求 a1 的范 2

例五、无穷递缩等比数列{an}中, lim (a1 ? a 2 ? ?? ? a n ) ?
n ??

围。 解:
a1 1 ? ? q ? 1 ? 2a1 1? q 2 ? 0 ?| q |? 1 ? 0 ?| 1 ? 2a1 |? 1

?0 ? a1 ? 1 ? ? 0 ? 4a ? 4a1 ? 1 ? 1 ? ? 1 a1 ? ? 2 ?
2 1

? 0 ? a1 ? 1且a1 ?

1 2

二、小结: 三、作业:
3 1 1 1 1 ? ? ? (? ) n ?1 ? ? ? 1. 1 ? ? ? 4 3 9 27 3

2. lim [3 ? (
n ??

1 n ) ] ? 3 ,则 a 的取范围是 a?2

a>3 或 a<1

1 1 1 )] ? 3. lim [n(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? 3 4 n?2 n ??

2

4.正项等比数列的首项为 1,前 n 项和为 Sn,则 lim
n ??

Sn ? S n ?1

1或 q

5. lim
n ??

3 2 ? 3 2 2 ? 32 2 n ? 3n ( ? ? ?? ? )? 2 n 2 6 6 6

6.已知 f (n) ? 1 ? 2 ? ? ? n, (n ? N * ) ,则 lim
n??

f (n 2 ) ? [ f (n)]2
(-2,0)

2

7.若 lim [1 ? (1 ? r ) n ] ? 1,则 r 的取范围是
n??

8.无穷等比数列{ tg n? }中,(1)若它的各项和存在,求 ? 的范围;若它的各 项和为 ( k? ?
3 ?1 ,求 ? 。 2

(k ? Z ) ) 4 4 6 9. 以正方形 ABCD 的四个顶点为圆心, 以边长 a 为半径, 在正方形内画弧, 得四个交点 A1,B1,C1,D1,再在正方形 A1B1C1D1 内用同样的方法得到 又一个正方形 A2B2C2D2,这样无限地继续下去,求所有这些正方形面积 之和。

?

? ? ? k? ?

?

且? ? k? , ? ? k? ?

?

(

( 3 ? 1)a 2 ) 2

第十一课时 课 题 §3.6.1 分期付款中的有关计算 教学目标 1.通过分期付款中的有关计算巩固等比数列的通项公式和前 n 项和公式的掌握; 2.培养数学的应用意识. 教学重点 等差数列通项公式和前 n 项和公式的应用 教学难点 利用等比数列有关知识解决实际问题. 教学方法 启发诱导 教学过程 (I)复习回顾 师:近几天来,我们又学习了有关等比数列的下列知识: 生:通项公式: an ? a1q
n?1

(a1 , q ? 0)

前 n 项和公式: S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 1), S n ? na1 (q ? 1) 1? q 1? q

(Ⅱ)讲授新课 师:这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用,如今,在社会主义市场经济的 调节之下,促销方式越来越灵活,一些商店为了促进商品的销售,便于顾客购买一些售价较 高的商品,在付款方式上也很灵活,可以一次性付款,也可以分期付款 首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说,购买商品可以不一次性将款付清,而 可以分期将款逐步还清,具体分期付款时,有如下规定: 1.分期付款中规定每期所付款额相同。 2.每月利息按复利计算,是指上月利息要计入下月本金.例如:若月利率为 0.8%,款 额 a 元, 过 1 个月增值为 a(1+0.8%)=1.008a(元), 再过 1 个月则又要增值为 1.008a(1+O.O08) 2 =1.008 a(元) 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购买到 最后一次付款时的利息之和 师:另外,多长时间将款付清,分几次还清,也很灵活,它有多种方案可供选择,下面 我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式. 例如,顾客购买一件售价为 5000 元的商品时,如果采取分期付款,总共分六次,在一 年内将款全部付清,第月应付款多少元? 首先,我们来看一看,在商品购买后 1 年货款全部付清时,其商品售价增值到了多少. 生:由于月利率为 O.008,在购买商品后 1 个月时,该商品售价增值为: 5000(1+O.008)=5000x1.O08(元), 出于利息按复利计算,在商品购买后 2 个月,商品售价增值为: 2 5000x1.O08x(1+0.008)=5000x1.008 (元), ?? 在商品购买 12 个月(即货款全部付清时),其售价增值为: 11 12 5000x1.008 x(1+O.008)=5000x1.008 (元) 师:我们再来看一看,在货款全部付清时,各期所付款额的增值情况如何. 假定每期付款 x 元. 第 1 期付款(即购买商品后 2 个月)x 元时,过 10 个月即到款全部付清之时,则付款连 10 同利息之和为:1.008 (元), 第 2 期付款(即购买商品后 4 个月)x 元后,过 8 个月即到款全部付清之时,所付款连同 8 利息之和为:1.O08 x(元) 师:依此类推,可得第 3,4,5,6,期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和. 生:可推得第 3,4,5,6 期所付的款额到货款全部付清时,连同利息的和依次为: 6 4 2 1.O08 (元),1.008 (元),1.008 x(元),x(元) 师:如何根据上述结果来求每期所付的款额呢? 根据规定 3,可得如下关系式: 2 4 10 12 x+1.008 x+1.O08 x+?1.O08 x=5000×1.O08 2 4 10 12 即:x(1+1.008 +1.008 +?+1.008 )=5000×1.O08 生:观其特点,可发现上述等式是一个关于 x 的一次方程,且等号左边括弧是一个首 项为 1,公比为 1.0082 的等比数列的前 6 项的和.由此可得

1 ? (1.0082 ) 6 ? 5000? 1.00812 1 ? 1.0082 5000? 1.00812 ? (1.0082 ? 1) x? 1.00812 ? 1 x?
解之得 x≈880.8(元) 即每次所付款额为 880.8 元,因此 6 次所付款额共为 880.8×6=5285(元),它比一次 性付款多付 285 元. (Ⅲ)课堂练习 生:选另一种方案作为练习, 方案 A:分 12 次付清,即购买后 1 个月第一次付款,再过 1 个月第 2 次付款?购买后 12 个月第 12 次付款. 方案 B:分 3 次付清,即购买后 4 个月第 1 次付款,再过 4 个月第 2 次付款,再过 4 个 月第 3 次付清款. (Ⅳ)课时小结 师:首先,将实际问题转化为数学问题,即数学建模,然后根据所学有关数学知识将问 题解决,这是解决实际问题的基本步骤. (V)课后作业 一、熟练掌握解决分期付款问题的基本方法. 二、1.预习内容:课本 P135-P136。 2. 预习提纲: 采取不同方案实现分期付款中的 x 的表达式是否有共同特点?可否概括出 一个一般公式? 板书设计 课题 分期付款规定: ①②③ 教学后记 例:①建模 ②解决问题 总结


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