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湖北省武汉市2015届高三9月调考数学(理)试题


武汉市 2015 届高三 9 月调研测试 数 学(理科)

2014.9.5 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1+2i 1. = (1-i)2 1 A.-1- i 2 1 B.-1+ i 2 1 C.1+ i 2 1 D.1- i 2

2.已知集合 A

={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该观测数据 C.^ y=-2x+9.5 4.已知向量 a,b 的夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= A. 2 B.2 2 C.3 2 D.4 2 5.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 11 A. 2 B.5 9 C. 2 D.4 6.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于 A. 3 2 3 3 B. 2 C. 3+ 6 2 D. 3+ 39 4 算得的线性回归方程可能是 A.^ y=0.4x+2.3 B.^ y=2x-2.4 D.^ y=-0.3x+4.4

x+y-2≤0, ? ? 7.x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 的值为 1 A. 或-1 2 1 B.2 或 2

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a

C .2 或 1

D.2 或-1

8.如图,互不相同的点 A1,A2,?,An,?和 B1,B2,?,Bn,?分 别在角 O 的两条边上, 所有 AnBn 相互平行, 且所有梯形 AnBnBn+1An +1 的面积均相等.设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则 a9= A. 19 B. 22 C.5 D.2 7 → → 9.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA·OB=2 (其中 O 为坐标原点) ,则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
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A.

2 8

B.

2 4

C.

2 2

D. 2

1 10.已知函数 f(x)=x2+ex- (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点, 2 则 a 的取值范围是 1 A.(-∞, ) e 1 , e) e 1 ) e

B.(-∞, e)

C.(-

D.(- e,

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 1 11.设二项式( x- 3 )5 的展开式中常数项为 A,则 A= x . .

12.如果执行如图所示的程序框图,输入 x=-1,n=3,则输出的数 S=

13.正方形的四个顶点 A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1) 分别在抛物线 y=-x2 和 y=x2 上,如图所示.若将一个质点随机 投入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 . x2 y2 14.已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的 4 3 焦点的对称点分别为 A, B, 线段 MN 的中点在 C 上, 则|AN|+|BN| = . 15.平面几何中有如下结论:如图 1,设 O 是等腰 Rt△ABC 底边 BC 的 中点, AB=1, 过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q, 1 1 R,则有 + =2.类比此结论,将其拓展到空间有:如图 2, AQ AR 设 O 是正三棱锥 A-BCD 底面 BCD 的中心,AB,AC,AD 两两垂 直,AB=1,过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交 点分别为 Q,R,P,则有 .

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . 2 π 2 (Ⅰ)若 sin( +α)= ,且 0<α<π,求 f(α)的值; 4 2 (Ⅱ)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合.

17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (Ⅰ)证明:an+2-an=λ; (Ⅱ)当 λ 为何值时,数列{an}为等差数列?并说明理由.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ, BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连结 GH. (Ⅰ)求证:AB∥GH; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正 弦值.

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19. (本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上 的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元的概率.

20. (本小题满分 13 分) 如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=-2x+m(其中 m<2)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q,R, |PR| 且|PQ|<|PR|,求 的取值范围. |PQ|

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为 3. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)≤kx2 对任意 x>0 成立,求实数 k 的取值范围; m m (Ⅲ)当 n>m>1(m,n∈N )时,证明: m > . n n
*
n

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武汉市 2015 届高三 9 月调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题 1.B 6.B 二、填空题 11.-10

2.A 7.D

3.A 8.C

4.C 9.B 2 13. 3

5.D 10.B 1 1 1 + + =3 AQ AR AP

12.-4

14.8

15.

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) π π 5π 解: (Ⅰ)∵0<α<π,∴ < +α< . 4 4 4 π 2 π 3π π ∵sin( +α)= ,∴ +α= ,即 α= . 4 2 4 4 2 ???????2 分 ???????4 分

1 π π π 1 1 ∴f(α)=cosα(sinα+cosα)- =cos (sin +cos )- =- .????????6 分 2 2 2 2 2 2 1+cos2x 1 1 1 (Ⅱ)f(x)=sinxcosx+cos2x- = sin2x+ - 2 2 2 2 1 1 2 π = sin2x+ cos2x= sin(2x+ ). 2 2 2 4 π π 当 2x+ =2kπ- ,k∈Z, 4 2 3π 即 x=kπ- ,k∈Z 时,f(x)取得最小值, 8 ???????10 分 ???????7 分 ???????8 分

3π 此时自变量 x 的集合为{x|x=kπ- ,k∈Z}.????????????12 分 8 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1. ???????2 分 两式相减,得 an+1(an+2-an)=λan+1. ???????3 分 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ.???????????????????4 分 (Ⅱ)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1. ???????5 分 由(Ⅰ)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4. ???????6 分 故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;???????7 分 {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1.???????8 分 所以 an=2n-1,an+1-an=2. ???????10 分 因此当 λ=4 时,数列{an}为等差数列.???????????????12 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,???????1 分 ∴EF∥AB,DC∥AB, ???????2 分
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∴EF∥DC. 又 EF ?平面 PCD,DC?平面 PCD, ∴EF∥平面 PCD. ???????3 分 又 EF ?平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH,???????4 分 ∴EF∥GH. 又 EF∥AB, ∴AB∥GH. ????????????????????????????6 分 (Ⅱ)在△ABQ 中,∵AQ=2BD,AD=DQ,∴∠ABQ=90° ,即 AB⊥BQ. 又 PB⊥平面 ABQ,∴BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系.设 BA=BQ=BP=2,则 B(0,0,0),Q(0,2,0),D(1, 1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),(注:坐标写对给 2 分) → → ∴DP=(-1,-1,2),CP=(0,-1,2).???????8 分 设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z), → → 由 n·DP=0,n·CP=0,得
? ?-x-y+2z=0, ? 取 z=1, ?-y+2z=0. ?

得 n=(0,2,1).???????10 分 → 又BQ=(0,2,0)为平面 PAB 的一个法向量, → n·BQ 2×2 2 5 → ∴cos<n,BQ>= = = . → 5 5×2 |n||BQ| 故平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正 弦值为 5 . ????????????12 分 5

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg” ,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” , 由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4. (注:基本事件叙述各 1 分)2 分 ∵利润=产量×市场价格-成本, ∴X 所有可能的取值为 500×10-1000=4000,500×6-1000=2000, 300×10-1000=2000,300×6-1000=800. ???????4 分 - P(X=4000)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=2000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2. ∴X 的分布列为 X P 4000 0.3 2000 0.5 800 0.2

???????????????????????6 分(注:每个概率 1 分)
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(Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” (i=1,2,3) ,????8 分 由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(Ⅰ)知, P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3) . ∴这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 3 2 2 P=C3 3×0.8 +C3×0.8 ×0.2=0.512+0.384=0.896.??????????12 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0,且 y≠0.???????1 分 当∠MBA=90° 时,点 M 的坐标为(2,±3).???????2 分 当∠MBA≠90° 时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有 |y| x +1 2tan∠MAB |y| tan∠MBA= ,即- = ,???????4 分 2 1-tan ∠MAB x-2 |y| 2 1-( ) x+1 2 化简可得,3x2-y2-3=0. 而点(2,±3)在曲线 3x2-y2-3=0 上,???????5 分 y2 综上可知,轨迹 C 的方程为 x2- =1(x>1) .????????????6 分 3 y=-2x+m, ? ? (Ⅱ)由? 2 y2 消去 y 并整理,得 x2-4mx+m2+3=0. (*)????7 分 ?x - 3 =1. ? 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.设 f(x)=x2-4mx+m2+3, -4m ? ?- 2 >1, ∴? f(1)=1 -4m+m +3>0, ? ?△=(-4m) -4(m +3)>0.
2 2 2 2

解得 m>1,且 m≠2.?????9 分

∵m<2,∴1<m<2. ???????10 分 设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|及方程(*)有 xR=2m+ 3(m2-1),xQ=2m- 3(m2-1), 2+ |PR| xR 2m+ 3(m2-1) ∴ = = = |PQ| xQ 2m- 3(m2-1) 2- 由 1<m<2,得 1<-1+ 2- 4 1 3(1- 2) m 1 3(1- 2) m =-1+ 1 3(1- 2) 2- m 4 1 3(1- 2) m .

<7.???????12 分

|PR| 故 的取值范围是(1,7).????????????????????13 分 |PQ| 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)求导数,得 f ′(x)=a+lnx+1. ???????1 分 由已知,得 f ′(e)=3,即 a+lne+1=3 ∴a=1.?????????????????????????????2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 f(x)=x+xlnx,
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1+lnx ∴f(x)≤kx2 对任意 x>0 成立?k≥ 对任意 x>0 成立,?????4 分 x 1+lnx 令 g(x)= ,则问题转化为求 g(x)的最大值. x lnx 求导数,得 g′(x)=- 2 ,令 g′(x)=0,解得 x=1.???????5 分 x 当 0<x<1 时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数; 当 x>1 时,g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数.???????6 分 故 g(x)在 x=1 处取得最大值 g(1)=1. ∴k≥1 即为所求.?????????????????????????8 分 x-1-lnx xlnx (Ⅲ)令 h(x)= ,则 h′(x)= .???????9 分 x-1 (x-1)2 由(Ⅱ) ,知 x≥1+lnx(x>0) ,∴h′(x)≥0,???????10 分 ∴h(x)是(1,+∞)上的增函数. nlnn mlnm ∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即 > ,???????11 分 n-1 m-1 ∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,???????12 分 即 mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn, 即 lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn, 即 ln(mnn)m>ln(nmm)n, ???????13 分 ∴(mnn)m>(nmm)n, m m ∴m > . ????????????????????????????14 分 n n
n

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