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高考复习 等比数列


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自 主 落 实 · 固 基 础

第三节

等比数列

考纲传真 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通 项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中,识别数列

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究

· 提 知 能

的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4. 了解等比数列与指数函数的关系.
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1.等比数列 an+1 (1)定义: a =q(常数)(n∈N*,q≠0). n (2)通项公式:an= a1q
n -1

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.
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?na1?q=1? ? (3)前n项和公式:Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ?q≠1? ? 1 - q 1 - q ?

.

(4)等比中项:若a、G、b成等比数列,则G=± ab.
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2.等比数列的性质 (1)对任意的正整数m、n、p、q,若m+n=p+q=2k,

aq =a2.. 则am· an= ap· k
n-m q (2)通项公式的推广:an=am (m,n∈N*).

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(3)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,
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S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn;当公比为-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.
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(4)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}, 1 an 2 {a },{an},{an· bn},{b }(λ≠0)仍是等比数列. n n
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2.(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中,若
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a1<0,a2=18,a4=8,则公比q等于( 3 A. 2 2 B. 3 2 C.- 3

)

【解析】

2 2 D. 或- 3 3 a1=27, ? ? ? a q = 18 , ? 1 由? 3 解得? 2 ? q=3. ?a1q =8, ? ?

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a =-27, ? ? 1 或? 2 q=- . ? 3 ? 2 又a1<0,因此q=-3.
【答案】
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C

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4.(2013· 江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,?的第四项 等于( )

A.-24 B.0 C.12 D.24 【解析】 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=

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0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是- 3,-6,-12,则第四项为-24.
【答案】 A
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考向 1

等比数列的基本运算

【例 1】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( A. 1 3 1 B.- 3 C. 1 9 )

1 D.- 9

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【思路点拨】
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(1)S3=a1+a2+a3,化简后列出关于a1,
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q的方程组求解; (2)根据2(an+an+2)=5an+1求公比q,再根据a2 5=a10求a1.

【尝试解答】

(1)设公比为q,∵S3=a2+10a1,a5=9,

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? ?a1+a2+a3=a2+10a1, ∴? 4 ? ?a1q =9,
2 ? ?a1q =9a1, ∴? 4 ? ?a1q =9,
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1 解得a1=9.
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规律方法1 1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉 及五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,体现 了方程思想的应用.

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2.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的 情况进行分类讨论,在运算过程中,应善于运用整体代换思 想简化运算.
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考向2 【例2】

等比数列的判定与证明 已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1

=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

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【思路点拨】

(1)根据an+1=Sn+1-Sn消去Sn得到关于an+

1与an的关系式,然后根据cn=an-1得到cn+1与cn的关系;

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(2)先求cn,再求an,最后求bn.





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【尝试解答】

(1)证明 ∵an+Sn=n,①

∴an+1+Sn+1=n+1,② ②-①得an+1-an+an+1=1,即2an+1=an+1, ∴2(an+1-1)=an-1,即2cn+1=cn. 1 1 由a1+S1=1得a1=2,∴c1=a1-1=-2, cn+1 1 从而cn≠0,∴ c =2. n 1 1 所以数列{cn}是以-2为首项,2为公比的等比数列.

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?1? 1 ?1?n-1 (2)由(1)知cn=-2×?2? =-?2?n, ? ? ? ? ?1? 又cn=an-1,∴an=cn+1=1-?2?n, ? ? ? 1? ? ?1? - ? ?1? - n n 1 ∴当n≥2时,bn=an-an-1=1- ?2? - ?1-?2? ? = ?2? n 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

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? 1? ?1? n -?2? =?2?n. ? ? ? ? ? 1? 1 又b1=a1=2,适合上式,故bn=?2?n. ? ?

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规律方法2 等比数列的判定方法 an+1 (1)定义法:若 a =q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是 n 等比数列. (2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且a
2 n+1

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=an· an+2(n
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∈N*),则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c· q (c,q均 是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
n





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变式训练2
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an
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-85,证明:数列{an-1}为等比数列,并求出数列{an}的通 项公式.

【解】 ∵Sn=n-5an-85, ∴a1=S1=1-5a1-85,即a1=-14.

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又an+1=Sn+1-Sn=(n+1)-5an+1-85-(n-5an-85)=1 +5an-5an+1, 即6an+1=5an+1, ∴6(an+1-1)=5(an-1),
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5 即an+1-1= (an-1), 6 ∵a1=-14,∴a1-1=-15,从而an-1≠0. an+1-1 5 5 ∴ = 6 .因此数列{an-1}是首项为-15,公比为 6 an-1 的等比数列.
?5? - ∴an-1=-15×?6?n 1, ? ? ?5? - 从而an=-15×?6?n 1+1. ? ?

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考向3 等比数列的性质及应用 【例3】 (1)(2014· 山东省实验中学模拟)在各项均为正
2 数的等比数列{an}中,a3= 2 -1,a5= 2 +1,则a 3 +2a2a6

+a3a7=( A.4

) B.6 C.8 D.8-4 2

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(2)(2014· 潍坊模拟)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已 知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=( 1 A. 8 1 B.- 8 57 C. 8 ) 55 D. 8
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2 【思路点拨】 (1)利用a2a6=a3a5,a3a7=a5 求解;
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(2)根据S3,S6-S3,S9-S6成等比数列求解.
【尝试解答】 (1)在等比数列中,a3a7=a
2 5

,a2a6=

2 2 2 a3a5,所以a2 + 2 a a + a a = a + 2 a a + a = ( a + a ) 3 2 6 3 7 3 3 5 5 3 5 =( 2 -

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1+ 2+1)2=(2 2)2=8.
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(2)因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3, S9-S6也成等比,即8,-1,S9-S6成等比,所以有8(S9-S6) 1 1 =(-1) ,S9-S6=8,即a7+a8+a9=8.
2
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【答案】
菜 单

(1)C

(2)A

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规律方法3 1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖 掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则 am· an=ap· aq”,可以减少运算量,提高解题速度,如本例 (1).

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2.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变 形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据 题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问 题的突破口.
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变式训练3 (1)(2012· 安徽高考)公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10=( A.4 B.5 C.6 ) D.7

S6 1 S9 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S =2,则S =___. 3 3
【解析】 ∴a7=4, ∴a10=a7· q3=4×23=25,从而log2a10=5. (1)由题意a2 7=a3a11=16,且a7>0,

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(2)S3,S6-S3,S9-S6成等比数列, 则(S6-S3)2=S3· (S9-S6), S6 1 1 1 2 由S =2知S6=2S3,则4S3=S3· (S9-S6), 3 3 S9 3 ∴S9=4S3,∴S =4. 3

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3 【答案】 (1)B (2)4

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一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和公式. 两个防范

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1.由an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还要 验证a1≠0. 2.应用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与 q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情况致误.
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创新探究之七

以等比数列为背景的新定义问题

(2012· 湖北高考)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的 函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等 比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-

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∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( A.①②
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) D.②④

B.③④

C.①③

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【解析】

法一

设{an}的公比为q.

①f(an)=a2 n,
?an+1? a2 n+1 ?2 2 ∵ a2 =? = q , ? a ? n ? n ?

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∴{f(an)}是等比数列,排除B、D.
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③f(an)= |an|, |an+1| ∵ = |an|
?an+1? ? ? ? a ?= ? n ?

|q|,

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∴{f(an)}是等比数列.





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法二 不妨令an=2n. ①因为f(x)=x2,所以f(an)=4n.显然{f(2n)}是首项为4,公 比为4的等比数列. ②因为f(x)=2x, 所以f(a1)=f(2)=22,f(a2)=f(4)=24,

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f(a3)=f(8)=28, f?a2? 2 f?a3? 2 所以 = 2=4≠ = 4=16, f?a1? 2 f?a2? 2 所以{f(an)}不是等比数列.
4 8
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③因为f(x)= |x|,所以f(an)= 2n=( 2)n. 显然{f(an)}是首项为 2,公比为 2的等比数列. ④因为f(x)=ln|x|,所以f(an)=ln 2n=nln 2.

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显然{f(an)}是首项为ln 2,公差为ln 2的等差数列.
【答案】 C
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创新点拨:(1)命题背景新颖:本题是以“保等比数列函 数”为新定义背景,考查等比数列的有关性质. (2)考查内容创新:本题没有直接指明判断等比数列的有

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关性质,而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、 二次函数与数列有机结合,对学生灵活处理问题的能力有较 高要求.
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防范措施:(1)迅速脱掉“新定义”的外衣,认清本题的 实质是:已知数列{an}为正项等比数列,判断数列{a {2an},{ |an|}及{ln|an|}是否为等比数列问题.
2 n

},

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(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关 键.
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2 1.(2013· 课标全国卷Ⅰ)设首项为1,公比为3的等比数列 {an}的前n项和为Sn,则( A.Sn=2an-1 ) B.Sn=3an-2

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C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an a1-anq 【解析】 法一 在等比数列{an}中,Sn= = 1-q

2 1-an· 3 2 =3-2an. 1-3
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2 法二 在等比数列{an}中,a1=1,q=3,
?2? - ?2? - n 1 ∴an=1×?3? =?3?n 1. ? ? ? ? ? ?2? ? 1×?1-?3?n? ? ? ? ? ? ?2? ? =3?1-?3?n? ? ? ? ?

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Sn=
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2 1-3

? 2?2?n-1? ? =3?1-3?3? ? =3-2an. ? ? ? ? ?

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【答案】

D





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2.(2013· 广东高考)设数列{an}是首项为1,公比为-2的 等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=________.
【解析】 法一 a1+|a2|+a3+|a4|=1+|1×(-2)|+ 1×(-2)2+|1×(-2)3|=15.

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法二 因为a1+|a2|+a3+|a4|=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|,数列 {|an|}是首项为1,公比为2的等比数列,故所求代数式的值为 1-24 =15. 1-2
【答案】
菜 单 课 时 作 业

15

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课时作业

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