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高中数学 4.1.2第二讲 相似三角形的判定与性质教案 新人教版选修4


第二讲 相似三角形的判定与性质 教学目标 知识与技能:复习相似三角形的定义与性质,证明直角三角形射影定理。 过程与方法:以“平行线分线段成比例定理”为起点,给出相似三角形定义后,逐步讨论相 似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点 相似三角形的判定定理、性质定理等等。 教学难点 相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课 时 3 课时 一.基础知识回顾 1、如图 15-14,Δ ABC 中,∠1=∠B,则 Δ 则 AC= . 答案: ACD,ABC, 15 ; 2、两个三角形相似,它们的周长分别是 12 和 18,周长较小的三角形的最短边长为 3,则另 一个三角形的最短边长为 . 答案: ∽Δ .此时若 AD=3,BD=2, 9 . 2 3、如图 15-15,CD 是 RtΔ ABC 的斜边上的高.(1)若 AD=9,CD=6,则 BD= ; (2)若 AB=25,BC=15,则 BD= . 答案:4;9. 4、如图 15-16,已知∠1=∠2,请补充条件: (写一个即可), 使得 Δ ABC∽Δ ADE. C E A C D 1 ╭ B 图 15-14 C A 1 ╮ B A ╮ 2 ┐ D 图 15-15 D B 图 15-16 答案:∠B=∠D(或∠C=∠E,或 二.典型例题讲解 AE AD ? ). AC AB 例 1.如图 15-17,A、B、C、D 在一条直线上,EA⊥AD,垂足为 A,AB=BC=CD=AE. 求证:Δ BCE∽Δ BED. 分析:Δ BCE 与 Δ BED 有一个公共角,因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公 共角的两边成比例. E 证明:设 AB=a,在 RtΔ ABE 中,AB=AE=a, 1 ┐ A B C 图 15-17 D ∴BE= AB2 ? AE2 = 2 a. 在 Δ BCE 和 Δ BED 中, ∵ BD 2a BE 2a ? ? 2, ? ? 2, BE BC a 2a BE BD ? . BC BE ∴ 又∵∠CBE=∠EBD, ∴Δ BCE∽Δ BED. 评析: 三角形相似的证明方法很多, 解题时应根据条件, 结合图形选择恰当的方法. 一 般的思考程序是:先找两对内角对应相等;若只有一个角对应相等,再判定夹这个角的两边 是否对应成比例;若无角对应相等,就证明三边对应成比例. 例 2.如图 15-18,E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点,且 求证:∠AEF=∠FBD. EB AF 1 ? ? . AB AD 3 分析:∠AEF 是 RtΔ AEF 的一个锐角,因此要证明∠AEF=∠FBD,可以通过证明 三角形相似得到. 证明:过点 F 作 FM⊥BD 于点 M. 设正方形的边长为 a,则 BD= 2 a. A F D M E B 图 15-18 C EB AF 1 ? ? , AB AD 3 1 2 ∴EB=AF= a,AE=DF= a. 3 3 ∵ 在 RtΔ DMF 中,EM=DM= 2 2 DF= a, 2 3 ∴BM= 2 a- 2 2 2 a= a. 3 3 在 RtΔ AEF 和 RtΔ MBF 中, 1 2 a a 1 AF 3 1 FM 3 ? ? , ? ? , ∵ AE 2 2 BM 2 2a 2 a 3 3 ∠A=∠BMF=90°, ∴Δ AEF∽Δ MBF. ∴∠AEF=∠FBD. 评析:本题的难点是构造含∠AEF 和∠FB

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