当前位置:首页 >> 数学 >>

等差数列的性质以及常见题型


学辅教育

成功就是每天进步一点点!

等差数列的性质以及常见题型 上课时间:2013.3.15 上课教师: 上课重点:掌握等差数列的常见题型,准确的运用等差数列的性质 上课规划:掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列 ?an ?的通项公式为 an ? ?3n ? 2 ,试问该数列是否为等差数列。
<

br />2.已知: , , 成等差数列,求证:

1 1 1 x y z

y?z z?x x? y , , 也成等差数列。 x y z

思考题型;已知数列 ?an ?的通项公式为 an ? pn2 ? qn p, q ? R, 且 p,q 为常数) ( 。 (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列 ?an ?是等差数列? (2)求证:对于任意实数 p 和 q ,数列 ?an?1 ?a n ? 是等差数列。

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

1

学辅教育

成功就是每天进步一点点!



等差数列的性质考察
an ? am 问题 n?m

(一)熟用 an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d , d ?

(注意:知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式) 1、等差数列 ?an ? 中, a3 ? 50 , a5 ? 30 ,则 a9 ? 2、等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? 24 , a2 ? 3 ,则 a6 ? . .

3、已知等差数列 ?an ? 中, a2与a6 的等差中项为 5 , a3与a7 的等差中项为 7 , 则 an ? .

4、一个等差数列中 a15 = 33, a 25 = 66,则 a35 =________________. 5、已知等差数列 ?an ? 中, a p ? q , aq ? p ,则 a p?q ? ____. (二)公差 d 的巧用 (注意:等差数列的项数) 1、已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 15 ,偶数项之和为 30 ,则其 公差等于_____ 2、等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, an 的公差为 d ,则数列 5a1 ,5a2 ,5a3 ,?,5an 是( A.公差为 d 的等差数列 C.非等差数列
2



B.公差为 5d 的等差数列 D.以上都不对

3、等差数列 {an } 中,已知公差 d ? 1 ,且 a1 ? a3 ? ? ? a99 ? 60 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? A.170 B.150 C.145 D.120 4.已知 x ? y ,且两个数列 x, a1, a2 ,? ? ?am , y 与 x, b1 , b2 ,? ? ?bn , y 各自都成等差数列,
a2 ? a1 等于 ( b2 ? b1 m m ?1 A B n n ?1



) C
n m

D

n ?1 m ?1

5.一个首项为 23,公差为整数的等差数列中,前 6 项均为正数,从第 7 项 起为负数,则公差 d 为( ) A -2 B -3 C -4 D -5

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

2

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

(三) m ? n ? s ? t ? am ? an ? as ? at 性质的应用 (注意:角标的数字) 1. 等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450,则 a2 ? a8 ? _____。 2.等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450,则 S10 ? _____。 3.等差数列 ?an ? 中,若 S13 ? 20 。则 a7 ? _______。 4.等差数列 ?an ? 中,若 a11 ? 10 ,则 S21 ? _______ 。 5.在等差数列 ?an ? 中 a3 ? a11 ? 40 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ?
_______



6.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则 S 20 ? _____。 7.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? a5 ? 12 ,那么它的前 8 项和 S 8 等于 _______ 。 8.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? _______ 。 9.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 ,那么 a3 等于 _______ 。 10.等差数列 ?an ? 中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则 . a7 ? _______ 11.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1,则a1+a3+a5+…+a21= _______ 。 12. an} { 为等差数列, 1+ a2+ a3=15, n+ an-1+ a n-2=78, n=155, n= a a S 则 (四)方程思想的运用 (注意:联立方程解方程的思想) 1.已知等差数列{an}中,S3=21,S6=24,求数列{an}的前n项和 S n
_______



2. 已知等差数列{an}中, a3 a7 ? ?16 , a4 ? a6 ? 0 ,求数列{an}的前 n 项和 S n

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

3

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

(五) S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n 也成等差数列的应用 1、等差数列前 m 项和是 30 ,前 2m 项和是100 ,则它的前 3m 项和 _______ 。 2、等差数列{an}的前 n 项的和为 40,前 2 n 项的和为 120,求它的前 3 n 项 的和为 _______ 。 3.已知等差数列{an}中, S3 ? 4, S9 ? 12, 求 S15 的值. 4.已知等差数列{an}中, a1 ? a2 ? a3 ? 2, a4 ? a5 ? a6 ? 4, 则 a16 ? a17 ? a18 的值 5.a1,a2 , a3,…… a2n+1 为 等差数列,奇数项和为60,偶数项的和为45, 求该数列的项数.

6.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和 为 390,则这个数列有 _______ 。 7.在等差数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值是 _______ 。 (六) an ?
S 2 n ?1 的运用 2n ? 1

1.设 S n 和 Tn 分别为两个等差数列 ?an ?, ?bn ?的前 n 项和,若对任意 n ? N * ,都有
Sn a 7n ? 1 ? ,则 11 = ________ b11 Tn 4n ? 27



2.设 S n 和 Tn 分别为两个等差数列 ?an ?, ?bn ?的前 n 项和,若对任意 n ? N * ,都有
sn 3n ? 1 a = ,则 7 = ________ Tn 4n ? 3 b7


? 7n ? 2 2n ? 3

S T 若对 n ? N ? 有 n 3.有两个等差数列 ?an ? ,bn ? , 其前 n 项和分别为 S n , n , ? Tn

成立,求 a5 =(
b5

) 。

(七) an 与 S n 的关系问题; 1.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n ? n2 ,则 an =___________ 2.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n2 ? n ? 1 ,则 an =___________ 3.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n ? 2n2 ,则 an =___________

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

4

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

4.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2 ? 4n ,则 an =___________ 5.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=2n ?1 ,则 an =___________ 6.数列 {4n ? 2} 的前 n 项和 Sn=______. 7. 数列 {?4n ? 8} 的前 n 项和 Sn=______. 8. 数列 {an } 的前 n 项和 Sn=8n2 -10.则 an ? ______ (八)巧设问题; 一般情况,三个数成等差数列可设 : a ? d , a, a ? d ;四个数成等差数列可 设: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d . 1.三个数成等差数列,和为 18,积为 66,求这三个数.

2.三个数成等差数列,和为 18,平方和为 126,求这三个数.

3.四个数成等差数列,和为 26,第二个数和第三个数的积为 40,求这四个 数.

4.四个数成等差数列,中间两个数的和为 13,首末两个数的积为 22,求这四 个数.

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

5

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

5.一个等差数列的前 12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32:27,求公差

(九) .最值问题:; 1.在等差数列 {an } 中, a1 ? 80, d ? ?6 ,求 S n 的最大值.

2.在等差数列 {an } 中, a1 ? 80, d ? ?5 ,求 S n 的最大值.

3.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?80, d ? 6 ,求 S n 的最小值.

4.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?80, d ? 5 ,求 S n 的最小值.

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

6

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

5.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0, S4 ? S9 ,则 n 的取值为多少时? Sn 最大

6.在等差数列{ an }中, a4 =-14, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值

7.已知等差数列{ an }中 a1 =13且 S3 = S11 ,那么n取何值时, S n 取最大值.

8.在等差数列{an}中,若 a3 ? a9 ,公差d<0,那么使其前n项和Sn为最大值 的自然数n的值是__.

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

7

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

(十)累加法的应用-------裂项相消 1.已知数列{an}满足: an ? an?1 ? 2n ? 1, a1 ? 1 ,求 an .

2.已知数列{an}满足: an?1 ? an ? 4n ? 1, a1 ? 1 ,求 an .

3.已知数列{an}满足: an?1 ? an ? ?2n ? 1, a1 ? 4 ,求 a 20 .

4.在数列{an}中, a1 ? 2, a n?1 ? a n ? ln(1 ? ) ,求 an.

1 n

(十一)由 an 求 a n 的前 n 项和 1.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n ,则 | a1 | ? | a2 | ?? ? | a10 |? _______.

2.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n ,bn ? an ,则数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? _______.

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

8

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

3.数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 ,满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0, n ? N * . (1)求通项 an ; (2)设 Sn ? a1 ? a2 ??? an ,求 Sn ;
1 是否存在最大的整数 m , , n ? N * , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , n ? N * , n ?12 ? an ? m 使得对于任意 n ? N * ,均有 Tn ? 成立,若有求之,若无说明理由. 32

(3) bn ? 设

(十二)由 Sn 得 an 的题型、 直接法 1.已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ?
(n ? N * ) 。

2 ,且满足 2S n?1 ? 2S n ? 3an?12 3

(1)求数列 {an } 通项公式 a n ; (2)求证:当 n ? 2 时,
1 1 1 1 9 ? 2 ? 2 ?L ? 2 ? 。 2 a2 a3 a4 an 4

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

9

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

倒数法 1.已知数列 ?an ?中,a n ≠0,a 1 = ,a n?1 =
1 2

an (n∈N ? ) ,求 a n 1? 2an

2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? , an ? 2S n S n?1 ? 0(n ? 2)
1 2

(错误! 未找到引用源。 判断 ? S ? 是否为等差数列?并证明你的结论; ) (错
?
n

?1? ?

误!未找到引用源。 求 S n 和 a n ; )
2 2 2 (错误!未找到引用源。 )求证: S1 ? S 2 ? ? ? S n ? ?

1 2

1 。 4n

3.已知函数 f ( x) ?

x (a,b 为常数, a ? 0 )满足 f (2) ? 1 且 f ( x) ? x 有唯一 ax ? b

解。 (1)求 f (x) 的解析式 (2)如记 xn ? f ( xn?1 ) ,且 x1 ? 1 , n ? N ? ,且 xn 。

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

10

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

数列与函数 1.已知二次函数 y ? f ( x) f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
m 3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都 20 a n a n ?1

成立的最小正整数 m;

倒序相加 2.设函数 f ? x ? ?
1 , 4 ?2
x

(1) 证明:对一切 x ? R ,f(x)+f(1-x)是常数;

?1? (2)记 an ? f ?0? ? f ? ? ? ?n?

?2? f ? ? ? ......? ?n?

? n ?1? f? ? ? f ?1?, ?n ? N ? ? ,求 an ,并 ? n ?

求出数列{an}的前 n 项和。

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

11

学辅教育

成功就是每天进步一点点!

思维扩展题型 数列{an}满足 a1 ? 1, an?1 ? (n2 ? n ? ?)an (n ? 1,2,3 ? ??) , ? 是常数。 (1)当 a2 ? ?1时,求 ? 及 a3 的值。 (2)数列 ?an ?是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式:若不可 能,说明理由。

学海无涯多歧路

“学辅”相伴行万里!

12


相关文章:
等差数列知识点总结与基本题型
方法在数学 中常用,它体现了整体的思想,解法 2 实际上运用了等差数列的性质:...? p, a18 ? q ,直接列方程组;解出两个基本量 a1 和 d ,这是常规解法,...
2015等差数列及其性质典型例题
热点考向六:等差数列前 n 项和性质的应用 1.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{an}中也为常数的项是()A....
等比数列的性质以及常见题型
等比数列的性质以及常见题型 上课时间:2013.3.20 上课教师: 上课重点:掌握等比数列的常见题型,准确的运用等差数列的性质 上课规划:掌握等比数列的解题技巧和方法 一...
2015数列知识综合以及各类题型分类专题
有穷数列无穷数列;②按数列项与项之间的大小关 ...题型四、等差数列的性质: an ? am (m ? n) ;...两边取常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg...
等差数列性质及习题
等差数列性质及习题_数学_高中教育_教育专区。等差数列 1.定义: an?1 ? an ? d (d 为常数) 或 an ?1 ? an ? an ? an ?1 (n ? 2) 2.等差数列...
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列及其性质(敖闯 6.14)典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 在等差数列{ an ...
数列必会常见题型归纳
an ? 的前 n 项, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 数列必会基础题型题型...是等边三角形. B)根据数列的性质求解(整体思想) 1、已知 Sn 为等差数列 ?an...
等差数列的概念及性质(练习及答案)
等差数列的概念及性质(练习及答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列的概念及性质(练习及答案) 等差数列的概念及性质(练习) 【基础练习】 1、2016 是...
高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳
高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳_数学_高中教育_教育专区。等差数列一...等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n ...
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列及其性质典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{ a n }中...
更多相关标签: