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2014届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第十一章算法框图及推理与证明


2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第十一章算法框图及推理与证明
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1、(2013 年高考陕西卷(理))根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为
输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出

y

( B.30



C.31 D.61 i ? 5 ,那么在空白矩形框中应 2.(2013 年高考江西卷(理))阅读如下程序框图,如果输出 填入的语句为

A.25

( A. S ? 2* i ? 2 B. S ? 2* i ? 1 C. S ? 2* i D. S ? 2* i ? 4



3.下列推理正确的是( ) A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有 loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有 sin(x+y)=sinx+siny C.把(ab)n 与(x+y)n 类比,则有(x+y)n=xn+yn D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有(xy)z=x(yz)

4、(2013 高考广东理)设整数 n ? 4 ,集合 X ? ?1, 2,3,? , n? .令集合

S ? ?? x, y, z ? | x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z , y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立?
若 ? x, y, z ? 和 ? z , w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是( A. )

? y , z , w ? ? S , ? x, y , w ? ? S

B. ? y, z , w ? ? S , ? x, y, w ? ? S D. ? y, z , w ? ? S , ? x, y, w ? ? S

C. ? y, z , w ? ? S , ? x, y, w ? ? S

5、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正 方形数的是( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 6 .(2013 年高考重庆数学理)执行如题(8)图所示的程序框图,如果输出 s ? 3 ,那么判断框 内应填入的条件是( ) A. k ? 6 B. k ? 7 C. k ? 8 D. k ? 9

7、 (连云港市 2013 届高三期末)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2?r,二维测度(面 4 积)S=?r2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4?r2,三维测度(体积)V= ?r3.应 3 用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度 V=8?r3,则其四维测度 W= ▲ . A、2?r4 B、3?r4 C、4?r4 D、6?r4 8、(2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版))阅读如图所示的 程序框图,若输入的 k ? 10 ,则该算法的功能是 ( A.计算数列 2n?1 的前 10 项和



? ?

B.计算数列 2n?1 的前 9 项和

? ?

C.计算数列 2n ? 1 的前 10 项和

?

?

D.计算数列 2n ? 1 的前 9 项和

?

?

9、下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A、由圆的性质类比出球的有关性质 B、由平行四边形、矩形、菱形、正方形的内角和是 360°,归纳出所有四边形的内角和都 是 360° ? ? C、因为当 a >1 时,对数函数 y ? log a x 在 (0, ∞) 上是增函数,所以, y ? log 2 x 在 (0, ∞) 上是增函数 D、“若 a、b ? R,则a ? b ? 0 ? a ? b ”可以推出“ a、c ? C,则a ? b ? 0 ? a ? b ” 10、 (2013 年高考新课标Ⅱ卷数学理)执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的

S?
开始
输入N

k ? 1, S ? 0, T ? 1
T? T k

S ? S ?T k ? k ?1
k ? N?




输出S

结束

( A. 1 ?



1 1 1 ? ?……+ 2 3 10

B .

1?

1 1 1 ? ?……+ 2 3 ! ! 10 !

C. 1 ?

1 1 1 ? ?……+ 2 3 11

D .

1?

1 1 1 ? ?……+ 2 3 ! ! 11 !

11.【山东省诸城市 2013 届高三 12 月月考理】如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每

条边(色括两个端点)有 n(n>l,n∈N )个点,相应的图案中总的点数记为 an ,则

*

9 9 9 9 + + +?+ = a2 a3 a3 a4 a4 a5 a2012 a2013

A.

2010 2011

B.

2011 2012

C.

2012 2013

D.

2013 2012

12.【河北省衡水中学 2013 届高三第一次调研考试理】
3 2 已知函数 f (x ) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M (x 0 , y 0 ) ,记函数 f (x ) 的导

函 数 为 f (x ) ,

/

f / (x ) 的 导 函 数 为 f // (x ) , 则 有 f // (x 0 ) ? 0 . 若 函 数
, 则 可 求 得 :

f ? x ? ? x3 ? 3x2
? 1 ? f? ?? ? 2012 ?

? 2 ? f? ? ? ... ? ? 2012 ?

? 4022 ? ? 4023 ? f? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ?

.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.用“秦九韶算法”计算多项式 f ( x) ? 5x 5 ? 4x 4 ? 3x 3 ? 2x 2 ? x ? 1,当 x=2 时的值的 过程中,要经过 次乘法运算和 次加法运算。 14 . 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 第 四 次 模 拟 测 试 1 月 理 】 设 函 数

f1 ? x ? ?

x x , f 2? x ? ? f ? f ? x ? ? ? ? 1 ? 1? 2 | x | , 1? | x |

x f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ? ? ? ? ? 1? 3 | x |



??当 n ? 2 时, f n ? x ? ? f ? f n ?1 ? x ? ? ? ? ?

15.(佛山市 2013 届高三上学期期末).观察下列不等式: ①

1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? ? 3 ;? ? ? 2 ;③ 2 2 6 12 2 6

则第 5 个不等式为



16、【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】定义映射 f : A ? B ,其中

A ? {(m, n) m, n ?R}, B ? R ,已知对所有的有序正整数对 (m, n) 满足下述条件:
, ? )] ① f (m,1) ? 1 ;②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f (m ?1 n) ?n[ f (m, n) ?f (m, n 1
则 f (2, 2) ? , f (n, 2) ? . ,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论. π π π 2cos ? 2, 2cos ? 2 ? 2, 2cos ? 2 ? 2 ? 2, . ? 4 8 16

18.(2012 福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos17 ;
2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos15 ;
2 0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin (?13 ) ? cos 48 ? sin(?18) cos48 ;
2 0 2 0 0 0

(5) sin (?25 ) ? cos 55 ? sin(?25) cos55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

19.(本小题满分 12 分) (江苏省徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末) 1 2 1 已知数列 {a n } 满足 a n?1 ? a n ? na n ? 1(n ? N * ), 且 a1 ? 3. 2 2 (1) 计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,由此猜想数列 {a n } 的通项公式,并给出证明;
n (2) 求证:当 n ? 2 时, a n ? 4n n .

20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足如图所示的程序框图. (Ⅰ )写出数列 {an } 的一个递推关系式; (Ⅱ)证明: {an?1 ? 3an } 是等比数列, 并求 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {n(an ? 3n?1 )}的前 n 项和 Tn .
输入 n 开始

a1 ? 1 , a2 ? 1 ,
i ?1

ai ? 2 ? 5ai ?1 ? 6ai

i ? i ?1

i?n




输出 ai ? 2

结束

21.(本小题满分 12 分) (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)在单调
* 递增数列 {an } 中, a1 ? 2 ,不等式 (n ? 1)an ? na2 n 对任意 n ? N 都成立.

(Ⅰ)求 a2 的取值范围; (Ⅱ)判断数列 {an } 能否为等比数列?说明理由; (Ⅲ)设 bn ? (1 ? 1)(1 ? )? (1 ? 求证:对任意的 n ? N ,
*

1 2

1 1 ) , c n ? 6(1 ? n ) , n 2 2

bn ? cn ? 0. a n ? 12

22.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试】如图,设 A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行

n 列的数表,其中 aij (i, j ? 1, 2,3,?, n) 表示位于第 i 行第
j 列的实数,且 aij ?{1, ?1} .记 S ( n, n ) 为所有这样的数表
构成的集合. 对于 A ? S ( n, n ) ,记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之积,c j ( A) 为 A 的第 j 列各数之积.令

l ( A) ? ? ri ( A) ? ? c j ( A) .
i ?1 j ?1

n

n

(Ⅰ)对如下数表 A ? S ( 4, 4) ,求 l ( A) 的值;

(Ⅱ)证明:存在 A ? S ( n, n) ,使得 l ( A) ? 2n ? 4k ,其中 k ? 0,1, 2,?, n ; (Ⅲ)给定 n 为奇数,对于所有的 A ? S ( n, n) ,证明: l ( A) ? 0 .

参考答案
1、C 2、C 3、[答案] D 解析:由对数运算、三角函数运算知 A、B 错误,多项式的乘法知 C 错。 4、B; 解析:特殊值法,不妨令 x ? 2, y ? 3, z ? 4 , w ? 1 , 则 ? y, z , w ? ? ? 3, 4,1? ? S , ? x, y, w ? ? ? 2,3,1? ? S ,故选 B. 如果利用直接法:因为 ? x, y, z ? ? S , ? z , w, x ? ? S ,所以 x ? y ? z ?①, y ? z ? x ?②,

z ? x ? y ?③三个式子中恰有一个成立; z ? w ? x ?④, w ? x ? z ?⑤, x ? z ? w ?⑥

三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况: 第一种: ①⑤成立, 此时 w ? x ? y ? z , 于是 ? y, z , w ? ? S , x, y, w ? ? S ; 第二种: ①⑥成立, 此时 x ? y ? z ? w , 于是 ? y, z , w ? ? S , ?

? x, y, w ? ? S ;第三种:②④成立,此时 y ? z ? w ? x ,于是 ? y, z, w ? ? S , ? x, y, w ? ? S ; 第四种:③④成立,此时 z ? w ? x ? y ,于是 ? y, z , w ? ? S , ? x, y, w ? ? S .综合上述四种 情况,可得 ? y, z , w ? ? S , ? x, y, w ? ? S .
5、[答案]C 解析:由图形可得三角形数构成的数列通项 a ?
n

n ( n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数 2
n

列通项 bn ? n2 ,则由 bn ? n2 (n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 a ?

n ( n ? 1) 知 an 必为奇数, 2

故选 C. 6、B 7、A 8、A 9、【答案】C 解:(A)的推理是特殊到特殊的推理,即类比推理;(B)的推理是特殊到一般的归纳推 理;(C)中先给出大前提,再给出小前提,根据大前提的原理得到结论是演绎推理;(D) 是特殊到特殊的类比推理。 10、B 11、【答案】B 【解析】由图案的点数可知 a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 9, a5 ? 12 ,所以 an ? 3n ? 3, n ? 2 ,所以

9 9 9 9 9 9 1 1 1 + + +?+ ? ? ? ? ,所以 a2 a3 a3 a4 a4 a5 a2012 a2013 an an?1 3(n ? 1) ? 3n n(n ? 1) n ? 1 n
1 1 1 1 1 2011 ? 1? ? ? ??? ? ? ,选 B. 2 2 3 2011 2012 2012
12、 【答案】-8046 【解析】 因为 f ? x ? ? x ? 3x , 所以 f ' ? x ? ? 3x ? 6x ,f '' ? x ? ? 6x ? 6 , f 由
3 2 2
//

(x 0 ) ? 0

得 , 6 x0 ? 6 ? 0, 所 以 x0 ? 1 , y0 ? ?2 , 即 对 称 中 心 为 (1, ?2) . 即 x1 ? x2 ? 2 , 则

? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?4 ,所以 f ? ?? ? 2012 ?
2011? (?4) ? f (1) ? ?8046 .
二、填空题 13、 5, 5

? 2 ? f? ? ? ... ? ? 2012 ?

? 4022 ? ? 4023 ? f? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ?

14、【答案】

fn ? x ? ?

x 1? n | x | fn ? x ? ? x 1? n | x | 。

【解析】由归纳推理可知

15、

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30
2n ? 2

16、【答案】 2

【 解 析 】 根 据 定 义 得 f (2, 2) ? f (1 ? 1, 2) ? 2[ f (1, 2) ? f (1,1)] ? 2 f (1,1) ? 2 ?1 ? 2 。

f (3, 2) ? f (2 ? 1, 2) ? 2[ f (2, 2) ? f (2,1)] ? 2 ? (2 ? 1) ? 6 ? 23 ? 2 f (4, 2) ? f (3 ? 1, 2) ? 2[ f (3, 2) ? f (3,1)] ? 2 ? (6 ? 1) ? 14 ? 24 ? 2

, ,

f (5, 2) ? f (4 ? 1, 2) ? 2[ f (4, 2) ? f (4,1)] ? 2 ? (14 ? 1) ? 30 ? 25 ? 2 ,所以根据归纳推理
可知 f (n, 2) ? 2n ? 2 。 三、解答题 17、证明: 2 cos
π 2cos ? 2 8 π 2cos ? 2 16
?
π 2 ?2 · ? 2, 4 2

1 ? cos

π 4 ?2 1 ? 2 ? 2? 2 , 2 2 4 π 1 1? 2? 2 8 ?2 2 ? 2? 2? 2 , 2 2

1 ? cos

2 cos

π ? 2 ? 2 ? 2 ?? . ? ? 2n ?1 ??? ????
n个根号

18、解: (I)选择(2) sin 15 ? cos 15 ? sin15 cos15 ? 1 ? :
2 0 2 0 0 0
2 2 0 0

10 3 sin 30 ? 2 4
3 4

(II)三角恒等式为: sin ? ? cos (30 ? ? ) ? sin ? cos(30 ? ? ) ?

0 sin 2 ? ? cos 2(30 0? ? ) ? sin ? cos(30 ? ? )

3 1 3 1 cos ? ? sin ? ) 2 ? sin ? ( cos ? ? sin ? ) 2 2 2 2 3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 4 4 ? sin 2 ? ? (
19、证明:⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) . ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 ,
2 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ? ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 ,

1 2

1 2

1 2

1 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) .5 分 ⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 . 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; 当 n ? 2 时, (1 ? )n ? C0 ? C1 n n

2 n

2 2 2 2 2 2 n 2 ? C2 ( )2 ? ? ? Cn ( )n ≥ C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n n n n n n n n 2 2 2 2 > C0 ? C1 ? C2 ( ) ? 5 ? ? 4 , n n n n n n

n 综上所述,当 n ≥ 2 时, an ≥ 4nn .

20、解:(Ⅰ)由程序框图可知, a1 ? a2 ? 1 , an?2 ? 5an?1 ? 6an (Ⅱ)由 an?2 ? 3an?1 ? 2(an?1 ? 3an ) , 且 a2 ? 3a1 ? ?2 可知,数列 {an?1 ? 3an } 是以 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,可 得 an?1 ? 3an ? ?2n ,即
a n ?1 3a n a a 1 3 a 1 ? ? ,? n ?1 ? 1 ? ( n ? 1) ,又 1 ? 1 ? ? , n ?1 n n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2?2 2

? 数列 {

an 1 3 ? 1} 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, n 2 2 2

?

an 1 3 ? 1 ? ? ( ) n ?1 , an ? 2 n ? 3n?1 n 2 2 2

(Ⅲ)? n(an ? 3n?1 ) ? n ? 2 n ,

? Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ... ? n ? 2n ①,

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ... ? n ? 2n?1 ②,
两式相减得 Tn ? (?2 ? 22 ? ... ? 2n ) ? n ? 2n?1

??

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? n ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? (n ? 1)2 n?1 ? 2

21、(Ⅰ)解:因为 {an } 是单调递增数列, 所以 a 2 ? a1 , a 2 ? 2 . 令 n ? 1 , 2a1 ? a2 , a 2 ? 4 , 所以 a2 ? ?2, 4? . 用反证法证明: 假设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, a1 ? 2 ? 0 , an ? 2q n?1 . 因为 {an } 单调递增,所以 q ? 1 . 因为 n ? N , (n ? 1)an ? na2 n 都成立.
*

(Ⅱ)证明:数列 {an } 不能为等比数列.

所以 n ? N , 1 ?
*

1 ? qn n
*


n

因为 q ? 1 ,所以 ?n 0 ? N ,使得当 n ? n0 时, q ? 2 . 因为 1 ?

1 ? 2 (n?N* ) . n

1 ,与①矛盾,故假设不成立.???9 分 n 15 9 135 21 ? c 2 ? , b3 ? ? c3 ? (Ⅲ)证明:观察: b1 ? c1 ? 3 , b2 ? ,?,猜 4 2 32 4
n * 所以 ?n 0 ? N ,当 n ? n0 时, q ? 1 ?

想: bn ? cn . 用数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 3 ? c1 ? 3 成立; (2)假设当 n ? k 时, bk ? ck 成立; 当 n ? k ? 1 时,

bk ?1 ? bk (1 ?

1 2
k ?1

)

? c k (1 ?

1 2
k ?1

)

? 6(1 ?

1 ) 2k

(1 ?

1 2 k ?1

)

? 6(1 ?

1 2
k ?1

?

1 1 1 1 1 ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ? 2 k ?1 ) ? 6(1 ? k ?1 ) k 2 2 2 2 2

所以 bk ?1 ? ck ?1 . 根据(1)(2)可知,对任意 n ? N* ,都有 bn ? cn ,即 bn ? cn ? 0 . 由已知得, a 2 n ? (1 ? 所以 a
2n

1 )a n . n

1 1 1 )a n ?1 ? ? ? (1 ? n ?1 ) ? (1 ? )(1 ? 1)a1 . n ?1 2 2 2 2 1 所以当 n ? 2 时, a n ? 2bn?1 ? 2cn ?1 ? 12 (1 ? n ?1 ) ? 12 . 2 2 ? (1 ?
* 因为 a 2 ? a 4 ? 12 .所以对任意 n ? N , a

2n

? 12.

对任意 n ? N ,存在 m ? N ,使得 n ? 2 ,
* *

m

因为数列{ an }单调递增, 所以 an ? a
2m

? 12, an ? 12 ? 0 .
bn ? cn ? 0. a n ? 12

因为 bn ? cn ? 0 ,所以

22 、 ( Ⅰ ) 解: r ( A) ? r3 ( A) ? r4 ( A) ? 1 , r2 ( A) ? ?1 ; c1 ( A) ? c2 ( A) ? c4 ( A) ? ?1 , 1

c3 ( A) ? 1,
所 以 l ( A) ?

? ri ( A) ? ? c j ( A) ? 0 .
i ?1 j ?1

4

4

( Ⅱ ) 证 明 : ( ⅰ ) 对 数 表 A0 :

aij ? 1 (i, j ? 1, 2,3,?, n) ,显然 l ( A0 ) ? 2n .
将数表 A0 中的 a11 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A ,显然 l ( A ) ? 2n ? 4 . 1 1 将数表 A 中的 a22 由 1 变为 ?1 ,得到数表 A2 ,显然 l ( A2 ) ? 2n ? 8 . 1 依此类推,将数表 Ak ?1 中的 akk 由 1 变为 ?1 ,得到数表 Ak . 即数表 Ak 满足: a11 ? a22 ? ? ? akk ? ?1(1 ? k ? n) ,其余 aij ? 1 . 所以 r ( A) ? r2 ( A) ? ? ? rk ( A) ? ?1 , c1 ( A) ? c2 ( A) ? ? ? ck ( A) ? ?1 . 1 所以 l ( Ak ) ? 2[(?1) ? k ? (n ? k )] ? 2n ? 4k ,其中 k ? 0,1, 2,?, n .

【注:数表 Ak 不唯一】 (Ⅲ)证明:用反证法. 假设存在 A ? S ( n, n) ,其中 n 为奇数,使得 l ( A) ? 0 . 因为 ri ( A) ?{1, ?1} , c j ( A) ?{1, ?1} (1 ? i ? n,1 ? j ? n) , 所以 r1 ( A) , r2 ( A) ,? , rn ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) ,? , cn ( A) 这 2n 个数中有 n 个

1 , n 个 ?1 .
令 M ? r ( A) ? r2 ( A) ??? rn ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) . 1 一方面,由于这 2n 个数中有 n 个 1 , n 个 ?1 ,从而 M ? (?1)n ? ?1 .
2



另一方面, r ( A) ? r2 ( A) ??? rn ( A) 表示数表中所有元素之积(记这 n 个实数之积为 1

m ); c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) 也表示 m ,

2 从而 M ? m ? 1 .



①、②相互矛盾,从而不存在 A ? S ( n, n) ,使得 l ( A) ? 0 . 即 n 为奇数时,必有 l ( A) ? 0 .


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