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高中数学


复习回顾
数列的定义,通项公式,递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}。 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以

用一 个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。

我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列: 0,5, 10 ,15 ,20 ,… ①

四 从第二项起,后一项与前一项的差是5。 个 实 例

2000年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比 从第二项起,后一项与 赛项目。该项目共设置了7个级别,其中较轻的4个级别体重组成数列 (单位:kg): 48 ,53,58,63. 前一项的差是5。 ② 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清 库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m,自然放水每天 从第二项起,后一项与 水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工 前一项的差是-2.5。 作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m): 18,15.5,13, 10.5,8,5.5. ③

请同学们思 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利 息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和= 考,这四个 本金×(1+利率×存期)。例如,按活期存入10000元钱,年利率是0.72%, 数列有何共 那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位:元)组成一个数列: 从第二项起,后一项 同特点? 10072,10144,10216,10288,10360. ④ 与前一项的差是72。

等差数列的定义
? 一般地,如果一个数列{

an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同

一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公 差。公差通常用字母 d 表示。

那么对于以上四组等差数列,它们的公差 依次是5,5,-2.5,72。
定义的符号表示是:

an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
这就是数列的递推公式。

数列{an}为等差数列?

an+1-an=d 或a +1=a +d n n

练 习 一

判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是? 如果是,写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理 由。 a1=1,d=2 (1)1,3,5,7,… 是 (2)9,6,3,0,-3…

a1=9,d=-3 a1=-8,d=2 (3)-8,-6,-4,-2,0,… 是 思考:在数列
是 (4)3,3,3,3,… (1),a =?我
100



a1=3,d=0

1 1 1 1 们该如何求解呢? 不是 (5 )1, , , , , ?

2 3 4 5 (6)15,12,10,8,6,…

不是

通 项 公 式 的 推 导 问an=?

通过观察:a2, a3,a4都可 ? 设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有: 以用a1与d 表示出来;a1与d a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… 的系数有什么特点?
所以有: 1=d, a2-a

(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3) a2=a1+d, a3-a2=d, a3=a2+d = (a1+d) ++…+(an-an-1)=(n-1)d d = a1+ 2d a4-a3=d, a4=a3+d=(a1+2d)a 、a 、n、d知 +d=a1+3d ∴1 n-a1=(n-1)d a n … an=a-a =d 即an=a1+(n-1)d 当n=1时,上式也成立。 三求一 1+(n-1)d an n-1
所以等差数列的通项公式是:

an=a1+(n-1)d

例题 例1 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项;

(2)判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项? 如果是,是第几项,如果不是,说明理由。 分析(1)由给出的等 解:(1)由题意得: 差数列前三项,先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20 到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是: an=a1+(n-1)d=-3n+11 写出通项公式,就可 以求出第20项a20. ∴a20=11-3×20=-49 分析(2)要想判断 -401是否为这个数列 中的项,关键是要求 出通项公式,看是否 存在正整数n,使得 an=-401。 (2)由题意得: a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是: an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项。

练习二
(1)求等差数列3,7,11…的第4项与第10项; (2)判断102是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是, 是第几项,如果不是,说明理由。

(2)由题意得: 解:(1)根据题意得: a1=2,d=9-2=7 ∴这个数列的通项公式是: a1=3,d=7-3=4, an=2+ (n-1) × 7 ∴这个数列的通项公式是: =7n-5(n≥1)令102=7n-5,得 an=a1+(n-1)d=4n-1 n=107/7 N ∴a4=4×4-1=15, ∴102不是这个数列的项。 a10=4×10-1=39.

?

例题 例2

在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .

? a 5 ? a1 ? 4 d ? 10 解:由题意得:? a ? a ? 11d ? 31 ? 12 1
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组, 解之得: ? a1 ? ? 2

? ?d ? 3 ∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3.

小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主 要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。

从该例题中可以看出,等差数列的通项公 式其实就是一个关于、、d、n(独立的量 有3个)的方程;另外,要懂得利用通项 公式来判断所给的数是不是数列中的项, 当判断是第几项的项数时还应看求出的项 数是否为正整数,如果不是正整数,那么 它就不是数列中的项。

练习三

已知等差数列{an}中,a4=10,a7=19,求a1和d.
解:依题意得:

? a1 ? 3 d ? 1 0 ? ? a1 ? 6 d ? 1 9

解之得:

? a1 ? 1 ? ?d ? 3

∴这个数列的首项是1,公差是3。

例 3、已知数列{ a }的通项公式 a
n

n

? pn ? q

,其中 p 、 q

是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是, 首项与公差分别是什么?
解: a n ? a n ?1 ? ( pn ? q ) ? [ p ( n ? 1) ? q ]
? pn ? q ? ( pn ? p ? q ) ? p 为常数

∴{ a n }是等差数列 首项 a 1 ? p ? q ,公差为 p。

例 4、已知数列 { a n }满 足 a1 ? 4 且 a n ? 4 ?

4 a n ?1

( n ? 1). 记 b n ?

1 an ? 2

(Ⅰ)求证:数列 {b n } 是等差数列 ; (Ⅱ)求数列 { a n } 的通项公式

例 5、 a n ?

a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1
1 an ?

, a 1 ? 1 求数列 ?a n ? 的通项公式.

解:取倒数:

3 ? a n ?1 ? 1 a n ?1

? 3?

1 a n ?1



1 an

?

1 a n ?1

?3

? 1 ? 1 1 ? ? ( n ? 1) ? 3 ? 1 ? ( n ? 1) ? 3 ? ? ? 是等差数列, an a1 ? an ?
? an ? 1 3n ? 2

有些数列若通过取倒数代数变形方法, 可由复杂变为简单,使问题得以解决.

已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 ,n≥2 时 a n ?

7 a n ?1 ? 3 3 a n ?1 ? 1

,求通项公式.

设正项数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 2 a (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公式.
2 n ?1

课时小结
? 通过本课时的学习,首先要理解和掌握等差数列的定义 及数学表达式: an+1-an=d(n≥1且n∈N*); ? 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) . ? 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任 意三个,应用方程的思想,可以求出另外一个。

思考题:
已知等差数列{an}中,am、公差d 是常数,试求出

an的值。

分析:本题是一个含有字母的计算题,做题时必须将am ,d 看成是常数.

解:设等差数列{an}的首项是a1,依题意可得:

am=a1+(m-1)d



an=a1+(n-1)d
∴an=am +(n-m)d



②- ①得:an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
an ? am n ? m

变形

d

?

等差数列

等差数列的通项公式: 如果一个等差数列{an}的首项为a1 ,公差为d, 那么我们可以根据等差数列的概念得到: a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d ………… an-1-an-2=d + an-an-1=d an-a1=(n-1)d

等差数列的通项公式:
an=a1 +(n-1)d 等价变形: a1=an- (n-1)d

d=(an-a1)/ (n-1)
n=(an-a1)/d+1

等差数列 思考: an=a1 +(n-1)d

am=?
am=a1 +(m-1)d am-an =? am-an =(m-n) d am=an +(m-n) d d=am-an /(m-n)


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