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2015-2016学年高中数学 1.4全称量与存在量词学案 新人教A版选修1-1


2015-2016 学年高中数学 1.4 全称量与存在量词学案 新人教 A 版选 修 1-1

?基础梳理 1.全称量词与全称命题. 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“? ”表 示.含有全称量词的命题,叫做全称命题. 通常,将含有变量 x 的语句用 p(x),q(x),r(x),?表示,变量 x 的取值范围用 M 表 示.那么

,全称命题“对 M 中的任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为? x∈M,p(x), 读作“对任意 x 属于 M,有 p(x)成立”. 2.存在量词和特称命题. 短语“存在一个”、 “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词, 并用符号“? ” 表示, 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 特称命题“存在 M 中的一个 x0, 使 p(x0)成立”可用符号简记为? x0∈M, p(x0), 读作“存 在一个 x0 属于 M,使 p(x0)成立”. 3.全称命题的否定. 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题 p:? x∈M,p(x),它的否定綈 p:? x0∈M,綈 p(x0). 全称命题的否定是特称命题. 4.特称命题的否定. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论: 特称命题 p:? x0∈M,p(x0),它的否定綈 p:? x∈M,綈 p(x). 特称命题的否定是全称命题.,?自测自评 1.命题“有理数的平方仍是有理数”,用符号“? ”写成全称命题为? x∈{有理数}, x2∈{有理数}. 2.给出下列命题:①所有的偶数都不是素数;②? x>5 且 x∈R,都有 x>3;③有的奇 数不是素数; ④存在 x∈R, x 既能被 5 整数也能被 3 整除. 其中是全称命题的命题序号是①②.

1.下列命题是特称命题的是(D) A.偶函数的图象关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在无理数大于等于 3 2.有下列命题: (1)所有的素数是奇数; 2 (2)? x∈R,(x-1) +1≥1; (3)有的无理数的平方是无理数; 2 (4)? x0∈R,使 2x0+x0+1=0;
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(5)存在两条相交直线垂直于同一个平面; 2 (6)? x0∈R,x0≤0. 其中是真命题的为________________(填序号). 答案:(2)(3)(6) 3.给下列四个结论: x x ①“? x∈R,2 >0”的否定是“? x∈R,2 >0”; 2 2 ②“? x∈N,(x-1) >0”的否定是“? x∈N,(x-1) ≠0” ; ③“? x∈R,lg x<1”的否定是“? x∈R,lg x≥1” ; ④“? x∈R,tan x=2”的否定是“? x∈R,tan x>2 或 tan x<2”. 其中正确结论的序号是______. 答案:③④ 4.判断下列命题的真假. (1)有的正方形不是矩形; (2)有理数是实数; (3)存在一个数,它的相反数是它本身; 2 (4)? x∈N,x >0; 2 (a+b) 2 2 (5)? a,b∈R,a +b ≥ ; 2 2 (6)? x∈R,x +1<0. 解析:(1)是假命题,所有的正方形都是矩形; (2)是真命题,所有的有理数都是实数; (3)是真命题,0 的相反数就是它本身; (4)是假命题,自然数 0 的平方不大于 0; (a+b) (5)是真命题,因为对于任意实数 a,b,都有 a +b ≥2ab,从而有 a +b ≥ 恒 2 成立; 2 (6)是假命题,任何一个实数 x 都不满足 x +1<0. x x+1 5.命题 p:? x∈[-1,2],4 -2 +2-a<0,若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值 范围. x x+1 解析:依题意,? x∈[-1,2],4 -2 +2-a<0 恒成立. ?1 ? x 令 t=2 ,由 x∈[-1,2],得 t∈? ,4?, ?2 ? x x+1 则 4 -2 +2-a<0, 2 2 可化为 a>t -2t+2,即 a>(t-1) +1, ?1 ? ∴命题 p 等价于? t∈? ,4?. ?2 ? 2 a>(t-1) +1 恒成立,令 y=(t-1)2+1. ?1 ? 2 当 t∈? ,4?时,ymax=(4-1) +1=10, ?2 ? 所以只须 a>10,即可得 p 为真命题, 故所求实数 a 的取值范围是(10,+∞).
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1.下列是全称命题且是真命题的是(B) 2 A.? x∈R,x >0 2 B.? x∈Q,x ∈Q 2 C.? x∈Z,x0>1 2 2 D.? x,y∈R,x +y >0 2.下列命题中,真命题是(A) 2 A.? m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是偶函数
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B.? m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是奇函数 2 C.? m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是偶函数 2 D.? m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是奇函数 2 解析:∵当 m=0 时,f(x)=x (x∈R), ∴f(x)是偶函数. 2 又∵当 m=1 时,f(x)=x +x(x∈R), ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ∴A 对,B、C、D 错.故选 A. 2 3.(2013·广州二模)命题“? x0∈R,x0+4x0+5≤0”的否定是(C) 2 A.? x0∈R,x0+4x0+5>0 2 B.? x0∈R,x0+4x0+5≤0 2 C.? x∈R,x +4x+5>0 2 D.? x∈R,x +4x+5≤0 4.命题“原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称”的否定是(C) A.原函数与反函数的图象关于直线 y=-x 对称 B.原函数不与反函数的图象关于直线 y=x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于直线 y=x 对称 D.存在原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称 5.下列命题中的真命题是(D) A.? x0∈R 使得 sin x0+cos x0=1.5 B.? x∈(0,π ),sin x>cos x 2 C.? x0∈R 使得 x0+x0=-1 x D.? x∈(0,+∞),e >x+1 2 6.已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选 项的命题中为假命题的是(C) A.? x0∈R,f(x)≤f(x0) B.? x0∈R,f(x)≥f(x0) C.? x∈R,f(x)≤f(x0) D.? x∈R,f(x)≥f(x0) 1 2 7 . 命 题 ? x ∈ R , x - x + ≥ 0 的 否 定 是 4 ________________________________________________________________________. 1 2 答案:? x0∈R,x0-x0+ <0. 4 8.有以下三个命题: ①? α ∈R,在[α ,α +π ]上函数 y=sin x 都能取到最大值 1;②若? a∈R,且 a≠0, 3 ? ? 7 f(x+a)=-f(x)时? x∈R 成立,则 f(x)为周期函数;③? x∈?- π ,- π ?,使 sin x 4 ? ? 4 <cos x. 其中正确命题为______(填序号). 解析:①为假,如 α =π ,ɑ∈[π ,2π ]时 y=sin x 最大值为 0; ②为真,f(x+2a)-f(x+a)=f(x),x∈R 恒成立,T=2a; ③为假,sin x>cos x. 答案:② 2 9. 已知命题: “存在 x∈[1, 2], 使 x +2x+a≥0”为真命题, 则 a 的取值范围________. 答案:[-8,+∞) 10. (2013·揭阳二模)已知函数 f(x)=4|a|x-2a+1.若命题: “? x0∈(0, 1), 使 f(x0) =0”是真命题,则实数 a 的取值范围为________. ?1 ? 答案:? ,+∞? ?2 ?

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11.指出下列命题是特称命题还是全称命题,并写出其否命题,判断否命题的真假: (1)直线与 x 轴都有交点; (2)正方形都是菱形; (3)梯形的对角线相等; (4)存在一个三角形,它的内角和大于 180°. 答案:(1)全称命题,否命题为:有些直线与 x 轴没有交点.真命题. (2)全称命题,否命题为:有些正方形不是菱形,假命题. (3)全称命题,否命题为:有些梯形对角线不相等.真命题. (4)特称命题,否命题为:所有三角形内角和小于或等于 180°.真命题. 2 2 12.已知命题 p:“? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“? x0∈R,使 x0+2ax0+2-a =0”.若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 2 2 2 解析:命题 p:x -a≥0,即 a≤x ,∵x∈[1,2]时,上式恒成立,而 x ∈[1,4],∴a ≤1. 2 命题 q:Δ =(2a) -4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2. ∵p 且 q 为真命题,∴p,q 均为真命题,∴a=1 或 a≤-2. 即实数 a 的取值范围是{a|a=1 或 a≤-2}. ?体验高考 2 1.(2014·湖北卷)命题“? x∈R,x ≠x”的否定是(D) 2 A.? x0?R,x0≠x0 2 B.? x0∈R,x0=x0 2 C.? x?R,x0≠x0 2 D.? x0∈R,x0=x0 x 2.(2014·天津卷)已知命题 p:? x>0,总有(x+1)e >1,则綈 p 为(B) A.? x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.? x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.? x>0,总有(x+1)ex0≤1 D.? x≤0,总有(x+1)ex0≤1 解析:已知命题中含有“? ” ,所以该命题是一个全称命题,由全称命题的否定形式可 x 知,其否定是一个特称命题,把全称量词改为存在量词,然后把“(x+1)e >1”改为“(x0 x +1)e ≤1”即可得到该命题的否定为:“? x0>0,使得(x0+1)ex0≤1” ,故选 B. 2 3.(2013·重庆卷)命题“对任意 x∈R,都有 x ≥0”的否定为(A) 2 A.存在 x0∈R,使得 x0<0 2 B.对任意 x∈R,都有 x <0 2 C.存在 x0∈R,使得 x0≥0 2 D.不存在 x∈R,使得 x0<0 4.(2013·四川卷)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:? x∈A, 2x∈B,则(C) A.綈 p:? x∈A,2x∈B B.綈 p:? x?A,2x∈B C.綈 p:? x∈A,2x?B D.綈 p:? x?A,2x?B x x 3 5.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1- x2,则下列命题中为真命题的是(B) A.p∧q B.綈 p∧q C.p∧綈 q D.綈 p∧綈 q 1 1 -1 -1 解析:对于命题 p,由于 x=-1 时,2 = > =3 ,所以是假命题,故綈 p 是真命题; 2 3 3 2 对于命题 q,设 f(x)=x +x -1,由于 f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以 f(x)=0 在区间 3 2 (0,1)上有解,即存在 x∈R,x =1-x ,故命题 q 是真命题. 综上,綈 p∧q 是真命题,故选 B.

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