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平面几何的复数证法8


重庆一中高 2011 级奥赛平几讲义

第七讲

平几的复数证法

平面几何的复数证法
一.基本知识 ㈠复数及其定义 ㈡复数的常用形式 1.代数形式:形如 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ; 2.三角形式:形如 z ? r ? cos? ? i sin ? ?? r ? 0? ; 3.指数形式:

我们把 ei? 称为复数 z ? cos ? ? i sin ? 的指数形式。 ㈢复数的运算法则 1.复数的代数形式的运算法则 设 z1 ? a1 ? b1i , z 2 ? a2 ? b2 i ,其中的

a1 , a2 , b1 , b2 ? R ,则:⑴加减法法则: z1 ? z 2 ? ?a1 ? a2 ? ? ?b1 ? b2 ?i ;⑵乘法法则:

z1 z 2 ? ?a1a2 ? b1b2 ? ? ?a2 b1 ? a1b2 ?i ;⑶除法法则:
2.复数的三角形式的运算法则

z1 a1a2 ? b1b2 a2 b1 ? a1b2 ? ? i。 2 2 2 2 z2 a2 ? b2 a2 ? b2

⑴乘法法则:模相乘,辐角相加,即 ⑵除

r1 ? cos ?1 ? i sin ?1 ? ? r2 ? cos ? 2 ? i sin ? 2 ? ? r1r2 ? ?cos ??1 ? ? 2 ? ? i sin ??1 ? ? 2 ? ? ?;

法法则: 模相除, 辐角相减, 即

r1 ? cos?1 ? i sin ?1 ? r1 ? ?cos ??1 ? ?2 ? ? i sin ??1 ? ?2 ?? ?; r2 ? cos ?2 ? i sin ?2 ? r2 ?
n

n ⑶乘方法则: (棣莫佛公式) ? ? r ? cos ? ? i sin ? ?? ? ? r ? cos n? ? i sin n? ?? n ? Z ? ;

⑷开方法则:复数 r ? cos? ? i sin ? ?? r ? 0? 共有 n ? n ? N , n ? 2? 个 n 次方根,它们是
n

? ? 2k? ? ? 2k? ? ? r ? cos ? i sin ? ? k ? 0,1, 2, n n ? ?

, n ? 1? 。
n

i ? ?? i ? ?? 3.复数的指数形式运算法则:ei?1 ? ei?2 ? e ? 1 2 ? , ei?1 ? ei?2 ? e ? 1 2 ? , ? ei? ? ? ein? 。

㈣复数与向量 1.以原点为始点的向量与复数的一一对应; 2.复数的运算法则的几何意义。 ㈤常用特殊复数及其性质 1.复数 i ⑴ i 4n?k ? i k , i n ? i n?1 ? i n?2 ? i n?3 ? 0 ? n, k ? Z ? ; ⑵复数 iz 表示将复数 z 对应的向量逆时针旋转 900 所得向量对应的复数;

1

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第七讲

平几的复数证法

⑶两个非零向量 OZ1 ? OZ2 的充要条件是 2.复数 ? ⑴? ?

z1 ? ? i ? ? ? R, ? ? 0 ? ; z2

?1 ? 3i 2 ?1 ? 3i 3 ,? ? , ? ? 1, ? n ? ? n?1 ? ? n ? 2 ? 0 ? n ? Z ? ; 2 2

⑵ ?Z1Z2 Z3 是正三角形的充要条件是 z1 ? ? z2 ? ? 2 z3 ? 0 。 二.应用举例 例 1.求证:三角形三条中线共点。 证明:设 ?ABC 的三顶点对应的复数依次为 a, b, c ,

A E

z 为 AC , BC 边上的中线的交点对应的复数。因为复数
a, z ,

Z

b?c a?c B 以及 b, z, 对应的点分别共线,故存在实数 C D 2 2 b?c a?c , z ? ?1 ? ? ? b ? ? ? ? , ? ,使 z ? ?1 ? ? ? a ? ? ? 。消去 z 得 ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ?a? 2 2
? ?? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? b ? ?? ? ? ? c ? 0 ,故 2 ?1? ? ? ? ? ? ? ? 2? 1 ? ?? ? ? ? ? ?0,可解得

? ? ? ? ,从而 z ?

2 3

a?b?c 。说明交点 Z 与中线的选择无关,从而得证。 3
C4 B5 A5 C5 A6 B6 C6 B1 C1 A1 O A2 B2 A4 A3 B4 C3 B3

例 2.由中心对称的六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 各边向外作正三角形。 求证: 相邻正三角形的 新顶点 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6依次的连线的中点

C1C2C3C4C5C6 构成正六边形。
证明:如图,以六边形的中心 O 为原点, 六个顶点对应的复数为 ?a1 , ?a2 , ?a3 ,那么

C2

b1 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? e , b2 ? a3 ? ? a2 ? a3 ? e
3

i

?

i

?
3

,故

? ?? ? ?? i? ? ? ? i? ? ? ? 1 ? i? a2 ? a 3 a 1 ? a 3i ? 1 ? i? 3 ? 3? 3 3 3 c1 ? ? e ? ?a1e ? a2 ? a3e ? , c2 ? ? a2e ? a3 ? ? ?a1 ? e ? ? ? , 2? 2 2 2? ? ? ? ? ?



? ? i i c c c c c2 c ? e 3 。同理可得 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 1 ? e 3 ,故 C1C2C3C4C5C6 是正六边形。 c1 c2 c3 c4 c5 c6

例 3.求证:连接两个正三角形的三对顶点的线段的中点构成一个正三角形 的顶点。

2

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平几的复数证法

证明:首先可证明 ?ABC 是正三角形的充要条 件是 zA ? ? zB ? ?2 zC ? 0 , 其中 ? ?
?1 ? 3i 是 1 的三 2
A1

C1

C B1 C2

次方根, z A 是 A 点对应的复数:若 ?ABC 是正三角 形 , 则 CA 可 由 BC 逆 时 针 旋 转 1200 得 到 , 故
z A ? zC ? ? zC ? z B ? ? cos1202 ? i sin1202 ? ? ? ? zC ? z B ? ,

A B A2

整理得 zA ? ? zB ? ?2 zC ? 0 。 反之亦然。由题可得

B2

zA ? ? zB ? ?2 zC ?

1? z A ? z A2 ? ? z B1 ? z B2 ? ? 2 zC1? zC2 ? 故 ?ABC 是正 ? 。 ? ?0, 2? 1

?

?

?

?

?

?

例 4.已知 ?ABC 及其所在平面上另外两点 P, Q , a, b, c 是 ?ABC 的三边长, 求证: a ? PA ? QA ? b ? PB ? QB ? c ? PC ? QC ? abc 。 证明:设 A, B, C , P, Q 依次对应复数 z1 , z2 , z3 , z, z? ,考虑关于复数 z 的函数

f ? z? ?

? z ? z1 ?? z? ? z1 ? ? ? z ? z2 ?? z? ? z2 ? ? ? z ? z3 ?? z? ? z3 ? ,易知 f z ? f z ? 1? ? 2 ? ? z2 ? z1 ?? z3 ? z1 ? ? z3 ? z2 ?? z1 ? z2 ? ? z1 ? z3 ?? z2 ? z3 ? ? z ? z1 ?? z? ? z1 ? | ? | ? z ? z2 ?? z? ? z2 ? | ? ? z2 ? z1 ?? z3 ? z1 ? ? z3 ? z2 ?? z1 ? z2 ?

? f ? z3 ? ? 1 ,故 f ? z ? ? 1,因此 |

|

? z ? z3 ?? z? ? z3 ? |? 1 ,即 | PA | ? | QA | ? | PB | ? | QB | ? | PC | ? | QC | ? 1 ,从而得证。 bc ca ab ? z1 ? z3 ?? z2 ? z3 ?
例 5.设 A1 , A2 ,?, An 是圆心在点 O ,半径为 1 的圆内接正 n 边形的顶点,点

M 是射线 OA 1 上且在圆外的一点,求证: ?

1 n 。 ? | OM | k ?1 | MAk |

n

证明:建立复平面,使 O, A1 , A2 ,?, An , M 分别对应复数 0,1, ?, ? 2 ,?, ? n?1 , r , 其中 ? ? cos 故?
n

2? 2? ? i sin , r ? 1 。则 z n ? 1 ? ?z ? 1??z ? ? ?? z ? ? n?1 ,其中 z ? C 。 n n

?

?

n ?1 1 1 ?? ? nn k k ?1 | MA k | k ?0 | r ? ? |

?| r ??
k ?0

n ?1

1

k

|

? nn

1 1 n ? nn n ? 。 | OM | | r ?1| r
n

例 6. 平面上四点 A, B, C , D , 动作 F ? x ? 表示由目前所在点出发, 笔直走到 x 点, 再左转 900 走相同距离。 一人从 P 点出发, 依次作 F ? A? , F ? B? , F ?C ? , F ? D? ,
3

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平几的复数证法

F ? A? , F ? B? , F ?C ? , F ? D? ,
的关系如何?

,共作 2008 次后又回到 P 点。请问 A, B, C , D 四点

证明:设 A, B, C , D, P 对应的复数为 a, b, c, d , p ,作 n 次动作后到达点 Pn ,对 应复数 pn ,则 p1 ??i ?p ?a ? ?a ? ?? 1i a??ip p , ? ? 1 ib? i1 ia p ? ?ip ?1 ? ?b ? ?? ? 2

?



p3 ? ?1? i ? c ? ip2 ? ?1? i ?? c ? ib ? a ? ? ip, p4 ? ?1? i ? d ? ip3 ? ?1? i ?? d ? ic ? b ? ia ? ? p 。
设 q ? ?1? i ?? d ? ic ? b ? ia ? , 则 p4 ? q? pp , 8? q 2 p ?

p , ,

8002

?5 0 2 q p?

。 故q ? 0,

即 d ? b ? i ? c ? a ? ,因此将 AC 逆时针旋转 900 即得到 BD 。 例 7.如图, Rt ?ABC 与 Rt ?AB1C1 反向
C 与 C1 为直角顶点, 相似, ?CAB ? ?C1 AB1 。
B M B1 C1 C

A

设 BC1 与 B1C 交于 M ,求证: AM ? CC1 。 证明:如图建立复平面直角坐标系,设

OA ? ai, OC ? c, OC1 ? c1 ? a, c, c1 ? R ? ,| BC |? ? | AC |
,则 OB ? ? ai ? c ? ?i ? c, OB1 ? ? ai ? c ?? ??i ? ? c1 。令
A B M C

y

BC1 交 y 轴于 M ,且 OM ? yi ?y ?R ?OM , yi , 1??


B1 x

M1 O C1 A1

yi ? c1 ? yi ? c1 ,解得 ? ? ai ? c ? ?i ? c ? c1 ? ?ai ? c ?? ??i ? ? c ? c1

y?

cc1? cc1? 。同理可得 B1C 与 y 轴交点的纵坐标 y ? ,从而得证。 c ? c1 ? ? a c ? c1 ? ? a

例 8.已知单位圆上点 P 及内接正 n 边形 A1 A2
n

An ,⑴求证: ? | PAi |2 为定
i ?1 n

n

值;⑵求 ? | PAi | 的最小值和最大值;⑶当 P 为任意点时,求 ? | PAi | 的最小值。
i ?1 i ?1

解:⑴设正 n 边形各顶点对应的复数分别为 ? 0 , ? 1 , ? 2 ,
n n ?1 i ?0

2? i ? , ? n?1 ? ? ? e n ?

? ? ,点 P ?

对应的复数为 z ,且 | z |? 1 ,则 ? | PAi |2 ? ? | z |2 ? z? ? z? i ? 1 ? 2n (定值) ;
i i ?1

?

?

4

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平几的复数证法

⑵如图,设 P 对应复数 z ? ei? ? ? ? n ? ? ? ? n? , 且 P ? A1 An ,点 Ak ? k ? 1, 2,
e
i 2 k ?1 ? n

y A2 Ak O A1 P 1 An x

,n? 对应的复数为
n

,易知 ?A1PAk ? ? k ?1? ? n ,故 ? | PAk | ?
k ?1

?| z ? e
k ?1

n

i

2 k ?1 ? n

|?| e
i

i

1? k ? n

1? k k n i ? i ? ? ? | ?| ? ? z ? e n ? e n ? |? k ?1 ? ?

? ?

|

2z 1? e
?i

?
n

?

2e n 1? e n
i

|?| z ? 1| ?

2 |1 ? e n |
i

?

?

2cos sin

?
2 ,故当点 P 为 A A 的中点时, | PA | ? k 1 n
k ?1 n n

?

2n

取得最大值 2 csc

?
2n

。当点 P 与 A1 或 An 重合时, ? | PAk | 取得最小值 2 cot
k ?1

?
2n



⑶ P 不限制在圆上时, ? | PAk | ? ? | z ? e
k ?1 k ?1

n

n

i

2 k ?1 ? n

|?| e

i

1? 2 k ? n

1? 2 k n i ? ? ? | ?| ? ? z ? e n ? 1? |? n , k ?1 ? ?

当且仅当点 P 在圆心处时取等号。因此所求最小值为 n 。 例 9.设 A1 , B1 , C1 是 ?ABC 的内切圆在 BC , CA, AB 上的切点,求证: ⑴ AA1 , BB1 , CC1 共点;⑵求 ?ABC 与 ?A1B1C1 的面积之比。 解:⑴以内切圆圆心 O 为原点建立复平面直角坐标系,设 A, B, C, A1, B1, C1 所 对应的复数依次为 a, b, c, a1 , b1 , c1 ,连接 OA1 , OC1 ,则 b ?c1 ? ? ci , ? a 1 ? ?ai ? 1 ,故 1b
2 c1 ? b ? r 2 ? ?r2 i, a1 ? b ? r2 ? ??r i ,相加得 a1 ? c1 b ? 2r 2 ,故 b ?

?

?

2c1a1 。同理可 c1 ? a1

得: a ?

2b1c1 2a b a ? b b1 ? c c1 ? a , c ? 1 1 。因此 1 ? ? ? ?1,从而三线共点; b1 ? c1 a1 ? b1 a1 ? c b1 ? a c1 ? b
1 1 1 i S ? a b c 可得 ?ABC ? 4 。 4 S?A1B1C1 a b c

⑵用面积公式 S ?ABC

例 10.考虑在同一平面上半径为 R 和 r ( R ? r )的两个同心圆,设 P 是小 圆周上的一个定点, B 是大圆周上的一个动点,直线 BP 与大圆周相交于另外一 点 C ,过点 P 且与 BP 垂直的直线 l 与小圆周相交于另一点 A (如果 l 与小圆相切 于 P ,则 A ? P ) 。⑴求 BC 2 ? CA 2 ? AB2 的取值集合;⑵求线段 AB 的中点的轨

5

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平几的复数证法

迹。

M

三.练习题 1.求证:在四边形 ABCD 中,
AB ? CD ? AD ? BC ? BD ? AC ( Ptolemy 定理) 。
T

B H X A C P

, BKXM , CKXP , 2.设 ACPH ,AMBE AHBT



是平行四边形,求证: ABTE 也是平行四边形。 K E 3. 凸四边形对边中点连线叫凸四边形的中位 线。 若凸四边形的两条中位线的和等于周长之半, 求证: 此四边形是平行四边形。 4.自正五边形 A1 A2 A3 A4 A5 的中心 O 作边心距
A1 B1 A2 B2 A3 O B5 A5 B4 A4

OBi ? i ? 1, 2,3, 4,5? ,求证: S ? ? OBi ? 0 。
i ?1

5

5. 边长为 1000 的正方形 ABCD 所在平面另有 P 一点 ,且 PD ? 10 。将 P 绕 A 顺时针转 900,得 到 点 P? , 称 为 P 对 A 向 左 转 。 点 P 依 次 对
A, B, C, D, A, B, C, D向左转,共转 , 11111 次到达

B3

Q 点,求 QD 的长。

6.在四边形 ABCD 中,由各边中点向外作垂线段,其长为该边的一半,得 到四点 P, Q, R, S , 求证:PR ? QS 且 PR ? QS 。 7. 求单位圆内接凸 n 边形所有边及所有对 角线的平方和的最大值,此时凸 n 边形有什么 特点? 8 .已知单位圆上一点 P 及内接正 n 边形
P B A S D C Q

A1 A2
n

An ,⑴求证: ? | PAi | ? 6n ;⑵求证:
4 i ?1

n

? | A1 Ai | ? n ;⑶求证: ? | Ai Aj |2 ? 2n2 ;⑷求
i ?2 n

n

R

i , j ?1

? | PA | 的最大值。
i ?1 i

附:习题解答

6

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第七讲

平几的复数证法

1.如图,以 A 为原点,设 B, C, D 对应的复数分别 为 b, c, d 。因为 b ? c ? d ? ? d ?b ? c ? ? c ?b ? d ? ,所以
B

C

| c ?b ? d ? |?| b ? c ? d ? | ? | d ?b ? c ? | ,从而得证。
A

D

2. 设 A, B, C, E, H , M , P, T , X , K 对应的复数依次为
a, b, c, e, h, m, p, t , x, k ,由 ACPH 可得 a ? c ? h ? p 即 a ? p ? c ? h 。同理可得 a ? b ? m ? e, h ? t ? a ? b, k ? m ? b ? x, c ? x ? k ? p ,故 a ? t ? b ? e 即 b ? a ? t ? e 。

3.设凸四边形 ABCD 各顶点对应的复数依次为 a, b, c, d ,则由题可知

| ? c ? d ? ? ? a ? b? | ? | ?b ? c ? ? ? a ? d ? |?| b ? a | ? | c ? b | ? | d ? c | ? | a ? d | ,又因为 | ? c ? d ? ? ? a ? b? |?| c ? b | ? | d ? a |,| ?b ? c ? ? ? a ? d ? |?| b ? a | ? | c ? d | ,所以
BC // AD, AB // DC ,从而 ABCD 是平行四边形。
4.将各边逆时针旋转
2? i 2? 后 S 不变,故 S ? e 5 ? S ,从而 S ? 0 。 5

5.如图建系,设 A, B, C , D 对应复数 a, b, c, d ,则

y B

a ?5 0 0 2, b ? 5 0 0 2, i c 5 ?? 0 0 2,

d 5 0 ?? 0 2

点P i ,
C O A x

对应复数为 z ,则 | z ? d |? 10 ,按题意旋转后得到的 点 对 应 复 数 z1 , z2 , 。 则 z1 ? ?? i z ?? a ?, a

z2 ? ?i ? z1 ? b? ? b, z3 ? ?i ? z2 ? c ? ? c, z4 ? ?i ? z3 ? d ? ?
d ? z ,故 z11111 ? z3 ,从而 QD ?| z3 ? d |?| z ? d |? 10 。

D

a?b b?a c?d d ?c ? i, z R ? ? i, 2 2 2 2 c ? d ?a ?b d ? a ?c ?b a ? d ?c?b b? a ?c?d ? i 。同理可得 QS ? ? i, 故 PR ? 2 2 2 2

6.设 A, B, C , D 对应复数 a, b, c, d ,则 zP ?

故 iQS ? PR 。得证。 7.取圆心为原点建立复平面直角坐标系,设单位圆内接 n 边形各顶点对应 的复数为 a1 , a2 ,

, an ,则所求和为 S ?

1 1 | ai ? a j |2 ? ? ? ai ? a j ? ai ? a j ? ? 2 1?i , j ?n 2 1?i , j ?n
7

?

?

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第七讲

平几的复数证法

n n 1 2 2 。当且仅当 2 ? a ? a ? a ? a ? n ? | a | ai ? 0 时, S 取得最大值 n2 , ? ? ? i j i j i 2 1?i , j ?n i ?1 i ?1

?

?

此时凸 n 边形的重心(对应复数 g ?

1 n ? ai )在圆心处。 n i ?1
0 1 2

8.设正 n 边形各顶点对应的复数分别为 ? , ? , ? ,
n n ?1 i ?0

,?
n ?1 i ?0

n ?1

2? i ? ? n ? ? ? e ? ,点 P 对 ? ?

应的复数为 z ,且 | z |? 1 ,则⑴ ? | PAi |4 ?? | z ? ? i |4 ? ? | z 2 ? 2 z? i ? ? 2i |2 ?
i ?1

?? z
i ?0

n ?1

2

? 2 z? i ? ? 2i ? z ? 2 z? ?i ? ? ?2i ? ? 6 ? 4 z? ?i ? 4 z? i ? z 2? ?2i ? z ? 2i ? 6n ;
2 2 i ?0 n ?1 i ?0 n ?1 i ?1 n n ?1 i ?1 n ?1 i ?0

?

? ?
n ?1

?

⑵因为 ? z i ? ? ? z ? ? i ? ,所以 ? | A1 Ai | ? ? | ?1 ? ? i ? | ? ?1i ? n ;
i ?2

⑶ ? | Ai Aj |2 ? ? ?? i ? ? j ??? ? j ? ? ?i ? ? ? ? 2 ? ? j ?i ? ? i ? j ? ? 2n2 ? 2 ? ? j ?i ? 2n2 ;
i , j ?1
n

n

n

n

n

i , j ?1

i , j ?1

i , j ?1

⑷ ? | PAi | ? ? | ? z ? ? i ? |?| z n ? 1|?| z |n ?1 ? 2 ,故最大值为 2,当且仅当 z 为 ?1 的
i ?1 i ?0

n ?1

n 次方根时取得。

8


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