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2013年数学高考总复习重点精品课件:正弦定理和余弦定理 84张


走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章

三 函 与 角 角 数 三 形

第四章

三角函数与三角形

走向高考 ·高考一轮总

复习 ·人教B版 ·数学

第四章
第六节 正 定 和 弦 理 弦 理 余 定

第四章

三角函数与三角形

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第四章

第六节

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基础梳理导学

第四章

第六节

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重点难点

引领方向

重点:正余弦定理及三角形面积公式. 难点: 在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的 讨论.

第四章

第六节

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夯实基础

稳固根基

1.正弦定理 s A=s B=s C=2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). n i n i n i 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccs A,b2=a2+c2-2accs B; o o b2+c2-a2 c2=a2+b2-2abcs C 或 cs A= 2bc , o o a b c

第四章

第六节

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a2+c2-b2 a2+b2-c2 cs B= o ,cs C= o . 2ac 2ab 3.三角形中的常见结论 () A+B+C=π. 1 () 在三角形中大边对大角,大角对大边. 2 () 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 3

第四章

第六节

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() 有关三角形内角的常用三角函数关系式 4 s( A+B)=s C; n i n i

-cs C o cs A+B)=___________; o (
A+B C o 2 =cs 2 ;

-tn C n a a( A+B)=______;_ s tn i
A+B C cs o =s ; a n i tn 2 2

A+B C =ct . o 2 2

第四章

第六节

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() △ABC 的面积公式有: 5 1 ①S=2a· 表示 a 边上的高); h(h 1 1 1 abc ②S= abs C= acs B= bcs A= ; n i n i n i 2 2 2 4R 1 ③S=2r(a+b+c)(r 为 切 半 内圆径 ).

1 ④S= P?P-a??P-b??P-c?,其中 P=2(a+b+c). () 在△ABC 中,A>B?a>b?s A> B. 6 n s i n i

第四章

第六节

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4.解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况:
已知条件 应用定理 正弦定理 (如a,B,C) 两边和夹角 余弦定理 (如a,b,C) 一般解法

一边和两角

由A+B+C=180°求出角A;由正弦定
理求出b与c;在有解时只有一解

由余弦定理求出第三边c;由正弦定理
求出小边所对的角;再由A+B+C= 180°求出另一角,在有解时只有一解

第四章

第六节

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已知条件 三边

应用定理

一般解法 由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C =180°求出角C,在有解时只有一解 由正弦定理求出角B,由A+B+C=180°

余弦定理 (a,b,c) 两边和其中

一边的对角
(如a,b,A)

正弦定理 求出角C,再利用正弦定理求出c边,可有
两解,一解或无解,详见下表.

第四章

第六节

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在△ABC 中 已 ,知

a、b 和 A 时 的 况 下 解情如: A为 角 锐 A为 角 钝 或角 直

图 形

第四章

第六节

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A为钝角 A为锐角

或直角

关系式 解的个数

a<bsinA _____
无解

a=bsinA
一解 ____

bsinA<a<b
两解 _____

a≥b
一解 ___

a>b
一解 ____

a≤b
无解 ___

第四章

第六节

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疑难误区

点拨警示

1. 利 正 定 解 已 三 形 两 和 中 边 在用弦理决知角的边其一的 对角解三角形问题时,可能出现一解、两解或无解情况,应结 合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况, 作出 正确取舍.

第四章

第六节

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2. 判 三 形 形 时 一 将 知 件 的 角 在断角的状,般已条中边关 系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系, 再 三 变 或 数 的 等 形 用 角 换 代 式 恒 变 (如 式 解 配 等 因 分 、 方 )求

解注 等 两 的 因 不 约 ,移 提 公 式否 .意 式 边 公 式 要 掉要 项 取 因 , 则会有漏掉一种形状的可能. 3. 般 , 一地 ?A>B. s α> β?/ α>β, 在 △ABC 中,s A> B n s i n i 但 n s i n i

第四章

第六节

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思想方法技巧

第四章

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一判三形状方 、断角形的法 根所条确三形形,要两途: 据给件定角的状主有条径 () 化 为 ; 1 边角 () 化 为 . 体 如 四 方 : 2 角边具有下种法

①通 正 定 实 边 转 ; 过弦理施角换 ②通 余 定 实 边 转 ; 过弦理施角换 ③通 三 变 找 角 间 关 ; 过角换出之的系 ④通 三 函 值 号 判 及 、弦 数 界 的 过 角 数 符 的 断 正余 函 有 性 讨 论 ; 注: 意 在 △ABC 中 b2+c2-a2>0?A 为 角 , 锐 , b2+c2-a2 =0?A 为 角 直 , b2+c2-a2<0?A 为 角 钝.
第四章 第六节

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二、解题技巧 1. 解 三 形 问 中 有 所 问 在 个 边 在斜角的题,时给题一多形 中需 多 形 割 三 形有 在 一 图 中 几 三 ,将 边 分 成 角 ,时 同 个 形 有 个 角 ,题 要 分 条 ,已 和 求 归 到 个 解 形解 时 先 析 件将 知 待 量 结 一 可 的 角 中如 不 归 同 个 角 中则 看 求 需 三 形 ,果 能 到 一 三 形 ,应 待 量 要在哪个三角形中解决, 这个三角形中的哪个量与已知条件所 在的三角形共用, 先解可解的三角形求出这个量或建立方程求 解.

第四章

第六节

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2.在△ABC 中,给定 A、B 的正弦或余弦值,则 C 的正 弦或余弦有解(即存在)的充要条件是 cs A+cs B>. 简证如下: o o 0 C 有解?A+B 有解?0<A+B<π?0<A<π-B<π?cs A>o o cs ( π -B)?cs A>-cs B?cs A+cs B>. 因此判断 C 是 有 , o o o o 0 否 解只 需考虑 cs A+cs B 的符号即可.了解这一结论,对做选择题 o o 或填空题来说,将十分方便. [例 1] 5 4 在△AC 中,s A= ,cs B= ,求 cs C. B n i o o 13 5

第四章

第六节

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5 12 解析:∵s A= ,∴cs A=± , n i o 13 13 12 当 cs A=13时,满足 cs A+cs B>0, o o o 12 12 当 cs A=- 时,cosA+cs B<0,∴cs A=- 舍去, o o o 13 13 ∴cs C=-cs A+B)=s As B-cs Acs B o o ( n n i i o o 5 3 12 4 33 =13×5-13×5=-65.

第四章

第六节

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4 点评:可利用大边对大角讨论:由 cs B= 得, o 5 3 5 s B=5>13=s A, n i n i 12 ∴b>a,即 B>A,∴A 为锐角,∴cs A= ,以下略. o 13

第四章

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考点典例讲练

第四章

第六节

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正弦定理的应用

[例 1]

(1)在△ABC 中 若 a=4,B=30° , ,C=105° ,则

b=________. ()01 2 1· ( 2 北西区末 京城期 ) B.90° D.30° )已知△ABC 中,a=1,b= 2,

B=45° ,则角 A 等于( A.150° C.6° 0

第四章

第六节

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解析:() 已 两 和 边 有 解 由 1 知角一只一, 得,A=45° , as B 43° n i s0 n i 由正弦定理得,b= s A = s4° n i n5 i () 根据正弦定理得 2 1 ∴s A=2, n i = s A s4° n i n5 i 1 2 ,

B=30° ,C=105°

=2 2.

∵a<b,∴A 为锐角,∴A=30° ,故选 D.
答案:() 1 2 2 () 2 D
第四章 第六节

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点评:1.已知两角和一边可求第三角,解这样的三角形只 需直接用正弦定理代入求解即可. 2. 知 边 一 对 , 三 形 , 用 弦 理 已两和边角解角时利正定求 另一边的对角时要注意讨论. 这是易错的地方, 也是常考查的 地方.

第四章

第六节

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(02 21·

浙江文)在△ABC 中 内 ,角

A,B,C 的 边 别 对分为

a,

b,c,且 bs A= 3acs B. n i o () 求角 B 的大小; 1 () 若 b=3,s C=2 A,求 a,c 的值. 2 n i s n i 分析:() 根 正 定 把 知 件 边 关 转 为 的 1 据弦理已条中的系化角 关系,从而求角. () 由正弦定理把 s C=2 A 转化为 c=2a,由 b=3 及 B 2 n i s n i 再 结合余弦定理求解.
第四章 第六节

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解析:() 由 bs A= 3acs B 及 1 n i o = 得, s A s B n i n i s B= 3cs B, n i o π 所以 a B= 3,因为 0<B<π,所以 B= . tn 3

a

b

第四章

第六节

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() 由 s C=2 A 及 2 n i s n i = 得,c=2a. s A s C n i n i 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accs B 得, o 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3,c=2 3. 点评: 本题主要考查正、 余弦定理及三角运算等基础知识, 同时考查运算求解能力.

a

c

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余弦定理的应用

[例 2]

(02 21·

辽宁理,17)在△ABC 中,角 A、B、C 的

对边分别为 a、b、c,角 A、B、C 成等差数列. () 求 cs B 的值; 1 o () 若边 a、b、c 成 比 列 求 2 等数, s As C 的 . n n i i 值

第四章

第六节

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分析:() 根据 A、B、C 成等差数列以及 A+B+C=180° 1 , 可求出角 B; () 由 b2=ac 及正弦定理可得 s As C=s 2B,由 cs B= 2 n n i i n i o 1 可求 s B,代入即可获解. n i 2

第四章

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解析:() 由已知 2B=A+C,A+B+C=180° 1 ,解得 B= 1 60° ,所以 cs B=2. o 1 () 由已知 b =ac,及 cs B= , 2 o 2
2

根据正弦定理得 s 2B=s As C, n i n n i i 3 所以 s As C=1-cs B=4. n n i i o
2

第四章

第六节

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点评:1.本题考查了三角形内角和,等差中项以及正弦定 理,在解这类题时一定要注意 A+B+C=180° 等隐含条件. 2.本题也可用余弦定理求解.

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(文)01 ( 1· 2

南调 昌 研 )在△ABC 中 角 A、B、C 的 边 别 , 对分为 )

a、b、c, a2+c2-b2= 3a , 角 B 的 为 ( 若 c 则 值 π A.6 π 5 π C. 或 6 6 π B.3 π 2 π D. 或 3 3

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第六节

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a2+c2-b2 3 π 解析:由条件得 cs B= o = ,∴B= . 2ac 2 6

答案:A

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(理)02 ( 1· 2

昆第中模 明一学拟

)△ABC 中 若 ∠A、∠B、∠ , π ∠B=3,△ABC 的面积为

C 所对的边 a、b、c 成 差 列 等数, 4 3,那么 b=________.

第四章

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1 π 解析:由已知条件得 2b=a+c,所以 acs =4 3, n i 2 3 即 ac=16, 由 弦 理 得 余 定 可 b2 =a2 +c2 -ac=(a+c)2 -3ac=4b2 -

3ac,即 b2=ac=16,所以 b=4.

答案:4

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三角形形状的判定

[例 3]

(文)01 ( 1· 2

福建三中期末)若 a、b、c 是△ABC 的

三边,直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相 , 离 则 △ABC 一 定是( )

A.直角三角形 B. 边 角 等三形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

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第六节

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|c| 解析:由题设知 2 >1, a +b2 即 a2+b2<c2,即 a2+b2-c2<0, a2+b2-c2 于是 cs C= 2ab <0, o 所以∠C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.

答案:D

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第六节

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(理)01 ( 1· 2

a+c 天津模拟)在△ABC 中,cs o = (a、b、c 分 2 2c
2B

别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B. 三 形 正角

)

C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

第四章

第六节

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解析:∵cs o

2B

a+c 1+cs B s A+s C o n i n i = ,∴ = , 2 2c 2 2 C s n i

∴s Ccs B=s A, n o i n i ∴s Ccs B=s( B+C),∴s Bcs C=0, n o i n i n o i π ∵0<B,C<π,∴s B≠0,cs C=0,∴C= ,故选 A. n i o 2
答案:A

第四章

第六节

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在△ABC 中 内 ,角

A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2c2 )

=2a2+2b2+ab,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B. 角 角 直三形

D.等边三角形

第四章

第六节

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解析:∵2c2=2a2+2b2+ab, 1 ∴a +b -c =-2ab,
2 2 2

a2+b2-c2 1 ∴cs C= 2ab =-4<. o 0 则△ABC 是钝角三角形.
答案:A

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三角形的面积公式

[例 4]

(文)02 ( 1· 2

新课标全国文)已知 a、b、c 分别为△

ABC 三个内角 A、B、C 的对边,c= 3as C-ccs A. n i o () 求 A; 1 () 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b、c. 2

第四章

第六节

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分析:() 已知 c= 3as C-ccs A, 角 A, 意 等 1 n i o 求 注到式 中的三项都含有 c 或 s C,故可用正弦定理化边为角,约去 n i s C( C≠0)得到角 A 的关系式,再结合 0<A<π,求出角 A. n s i n i () 可结合角 A 的值,选择合适的△ABC 的 积 式 建 2 面公, 立关于 b、c 的方程组,解得 b、c 的值.已知 a 和 S△ABC 及角 1 A,可选择面积公式 S△ABC=2bcs A,再结合余弦定理 a2=b2 n i +c2-2bccs A,建立 b 与 c 的方程组解之. o

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解析:() 由 c= 3as C-ccs A 及正弦定理得, 1 n i o 3s As C-cs As C-s C=0. n n i i o n i n i π 1 由于 s C≠0,所以 s( A-6)=2. n i n i π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 () △ABC 的面积 S=2bcs A= 3,故 bc=4. 2 n i 而 a2=b2+c2-2bccs A,故 b2+c2=8. o 解得 b=c=2.

第四章

第六节

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点评: 本题考查解三角形的有关 识 该 问 在 知 知 ,类 题 已 条 件中如果涉及到边角关系时, 经常考虑边角互化, 另外还要注 意三角形面积公式的合理选择.

第四章

第六节

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(理)02 ( 1· 2

新标国, 课全理

17)已知 a、b、c 分别为△ABC

三个内角 A、B、C 的对边,acs C+ 3as C-b-c=0. o n i () 求 A; 1 () 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b、c. 2

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解析:() 由 acs C+ 3as C-b-c=0 及正弦定理得, 1 o n i s Acs C+ 3s As C-s B-s C=0. n o i n n i i n i n i ∵B=π-A-C, ∴ 3s As C-cs As C-s C=0, n n i i o n i n i π 1 ∵s C≠0,∴s( A-6)=2. n i n i π ∵0<A<π,∴A= . 3

第四章

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1 () △ABC 的面积 S= bcs A= 3,故 bc=4. 2 n i 2 而 a2=b2+c2-2bccs A,故 b2+c2=8. o 解得 b=c=2. 点评: 本题综合考查了三角形中的三角恒等式的化简, 利 用两角和的公式,辅助角公式以及正弦、余弦定理.本题是常 规题目,但紧扣考试说明,万变不离其“本”(教材).

第四章

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(文)01 ( 1· 2

→ → 南一 京 模 )在△ABC中 已 , 知 A=6° , AB · = 0 AC .

1, △ABC面 为 ____ 则 积 ____

第四章

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→ → → → 解析:∵AB· =1,∴|AB|·ACcs0 AC | |o ° 6 → → ∴|AB|·AC|=2, |

=1,

1→ → 1 3 3 ∴S△ABC=2|AB|·ACs A=2×2× 2 = 2 . | n i |

3 答案: 2

第四章

第六节

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(理)02 ( 1· 2

山省验学诊 东实中一

→ → )在△ABC中, AC ·AB = ( )

→ → |AC-AB|=3,则△ABC面 的 大 为 积最值 3 21 A. 21 B . 4 21 C. 2 D.3 21

第四章

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→ → 解析:设角A、B、C所对的边分别为a、b、c,∵ AC · AB b2+c2-a2 → → =| AC - AB |=3,∴bccs A=a=3.又cs A= o o ≥1- 2bc 9 3o A cs 2 =1- ,∴cs A≥ ,∴0s o < n i 2bc 2 5 21 A≤ ,∴△ABC的面 5

1 3 3 21 3 21 积S= 2bcs A=2a A≤2× 2 = 4 ,故△ABC面 的 大 n i tn 积最 3 21 值为 . 4

答案:B
第四章 第六节

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综合应用

[例5]

(文)

(01 21·

安徽文,16)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、 B+C)=0,求

B、C所对的边长,a= 3 ,b= 2 ,1+2o cs ( 边BC上的高.

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解析:由1+2o cs ( 1+2o cs ( π

B+C)=0得,

-A)=1-2o A=0, cs

1 3 ∴cs A=2,s A= 2 , o n i 3 2× 2 bs A n i 2 由正弦定理得s B= n i = = , a 2 3

第四章

第六节

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π 由b<a知B<A=3, 2 ∴cs B= 1-s B= 2 , o n i
2

6+ 2 ∴s C=s( A+B)=s Acs B+cs As B= 4 , n i n i n o i o n i 3+1 设 BC上 高 边 的 为 h, h=bs C= 2 . 则 n i

第四章

第六节

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(理)01 ( 1· 2

湖北理,16)设△ABC的内角A、B、C所对的边

1 分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cs C=4. o () 求△ABC的周长; 1 () 求cs A-C)的值. 2 o (

第四章

第六节

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1 解析:() ∵c =a +b -2abcs C=1+4-4× =4, 1 o 4
2 2 2

∴c=2. ∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.

第四章

第六节

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1 () ∵cs C=4, 2 o ∴s C= 1-cs C= n i o
2

12 15 1-?4? = 4 .

15 4 as C n i 15 ∴s A= n i = = . c 2 8 ∵a<c,∴A<C,故A为 角 锐, ∴cs A= 1-s A= o n i
2

15 2 7 1-? ?= , 8 8

∴cs A-C)=cs Acs C+s As C o ( o o n n i i 7 1 15 15 11 = × + × = . 8 4 8 4 16
第四章 第六节

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(02 21·

安徽文,1) 设△ABC的内角A、B、C所对边的长分 6

别为a、b、c,且有2 Bcs A=s Acs C+cs As C. s n i o n o i o n i () 求角A的大小; 1 () 若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长. 2

第四章

第六节

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解析:() 由题设知,2 Bcs A=s( A+C)=s B, 1 s n i o n i n i 1 因为s B≠0,所以cs A=2. n i o π 由于0<A<π,故A= . 3 () 因为a2=b2+c2-2bccs A 2 o 1 =4+1-2×2×1×2=3, π 所以a +c =b ,所以B= . 2
2 2 2

第四章

第六节

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3 因为BD= ,AB=1, 2 所以AD= AB +BD =
2 2

3 7 1+4= 2 .

点评:本题考查了三角恒等变换、正弦、余弦定理、勾 股定理等基础知识,解三角形的基本方法,考查了逻辑推理 → 能力及运算求解能力.第() 问还可以借助向量求解.利用AD 2 → → AB+AC 2 2 =( ) 展开求解. 2

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.(文)已知△ABC中,a= 2、b= 3、B=60° ,那么角 A等于( ) .90° D.30°

A.15 B 3° C.4° 5

[答案]

C

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[解 ] 析

由弦理, 正定得

s A=s B, n i n i 2 = , 2

a

b

as B n i 2s6° n0 i s A= n i = b 3

又∵a<b,∴A<B, A=4° , C. 故 5 选

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(理)在△ABC中,角A、B、C的对边长分别为a、b、c, π 已知A=3,a= 3,b=1,则c等于( A.1 C. 3-1 D . B.2 3 )

[答案]

B

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[解析]

解法1: 正 定 由弦理

3 1 = 得, = , s A s B n i n i π s B n i s n i 3

a

b

1 ∴s B=2,故B=30° n i 或150° . 由a>b得A>B,∴B=3° 0 . 故C=90° ,由勾股定理得c=2,选B.

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π 解法2:由余弦定理知,3=c +1-2ccs , o 3
2

即c2-c-2=0,∴c=2或-1(舍去).

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2.(文)在△ABC中,a、b、c分别是三内角A、B、C的对 边,且s 2A-s 2C=( A-s B) B,则角C等于( n i n i s n i n s i n i π A.6 π B.3 )

5π 2π C. 6 D 3 .

[答案]

B

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[解析]

由弦理 正定得

a2-c2=(a-b)· b=ab-b2,

a2+b2-c2 1 由余弦定理得cs C= o = , 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C=3.

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(理)在ΔB 中,a=15,b=10,A=60° AC ,则cs B= o ( ) 2 2 2 2 A.- B . 3 3 6 C.- 3 6 D. 3

[答案]

D

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[解析]

b 在△AC 中 由 B , = 得, s A sinB n i 3 = 3 ,∵a>b,∴A>B.

a

bs A 1s6° n i 00 n i s B= a = 15 n i
2

6 ∴cs B= 1-s B= 3 ,故选D. o n i

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二、填空题 3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若b2 +c =a +bc,且 ________.
2 2

→ AC

→ · AB

=4,则△ABC的面积等于

[答案]

2 3

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[解析]

b2+c2-a2 1 ∵b2+c2=a2+bc,∴cs A= o = , 2bc 2

3 ∴s A= 2 , n i → → ∵AC· =4,∴b·cs A=4,∴bc=8, AB c· o 1 1 ∴S=2AC· n A=2×bc· A=2 3. ABs i s n i

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4.(01 21· 3BD,AD= ________.

惠州二模)在△ABC中,D为BC边上一点,BC= 2 ,∠A B =135° D ,若AC= 2 AB,则BD=

[答案]

2+ 5

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[解析]

1 如图,设AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知BD= 3 2 a,CD=3a,根据余弦定理可得,

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2 2 2 b =( 2) +( a) -2× 2× acs5 o° 4. 3 3
2 2

1 2 1 c =( 2 ) +( 3 a) -2× 2 × 3 acs3° o5 1
2 2

,由题意知b= 2

1 c,可解得a=6+3 5,所以BD= a=2+ 5. 3

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三、解答题 5.(文)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,s B= n i 5 3 o D 13,cs ∠A C =5,求AD.

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[解 ] 析 由知 已得

3 π 由cs ∠A C =5>0知B<2. o D 1 2 4 cs B=1 ,s ∠A C =5. o i D 3 n ∠A C -B) D

从 s ∠BAD=s( 而n i n i

=s ∠A C cs B-cs ∠A C s B n i D o o D n i 4 1 2 3 5 3 3 =5×1 -5×1 =6 . 3 3 5 由弦理 正定得 AD BD = , s B s ∠BAD n i n i

5 3 ×1 3 3 BD· B s n i 所 AD= 以 = =2. 5 3 3 s ∠BAD n i 6 5
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(理)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,B= π 4 o 3,cs A=5,b= 3. () 求s C的值; 1 n i () 求△ABC的面积. 2 [分析] 由件知 条可, △ABC中已知两角和一边(A、B、

b),故三角形有惟一解,通过正弦定理可求s C的值和边a的 n i 值,代入面积公式可求得其面积.

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[解析]

() 因为角A、B、C为△ABC的内角, 1

π 4 2π 3 且B=3,cs A=5,所以C= 3 -A,s A=5. o n i 3+4 3 2π 3 1 于是s C=s( 3 -A)= 2 cs A+2s A= 10 . n i n i o n i

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3+4 3 3 () 由() 知s A= ,s C= 2 1 n i n i . 5 10 π 又因为B=3,b= 3, bs A 6 n i 所以在△ABC中,由正弦定理得a= = . s B 5 n i 1 于是△ABC的面积S=2abs C n i 3+4 3 36+9 3 1 6 =2×5× 3× 10 = 50 .

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