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省实验中学2015届高三上学期阶段性测试(一)(理数)


省实验中学 2015 届高三上学期阶段性测试(一) 数学(理科)
一.选择题(5*8=40 分) x2 y2 1.设集合 A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=3x},则 A∩B 的子集的个数是( 4 16 A.4 B .3 C.2 D.1 2. log 2 sin A .-2 )

?

12

/>? log 2 cos

?

B .–l

12 1 C. 2

的值为( ) D .1

3.已知 x , y ? R ,则“ x ? y ? 1 ”是“ xy ? A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知函数 f ( x) ?

1 ”的( 4



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 对称 B.函数 f ( x) 的图像关关于点 ( ,0) 对称

cos 2 x ? 1 ,则有( sin 2 x

A.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? C.函数 f ( x) 的最小正周期为 5.已知 0<a<b<l.则( A. )

?
2

?

2

?
2

D.函数 f ( x) 在区间 (0, ? ) 内单调递减

1 1 ? b a

B.

1 1 ( ) a ? ( )b 2 2

C.

(lg a)2 ? (lg b)2

D.

1 1 ? lg a lg b

2 6.已知函数 f ( x) ? x ? 2cos x ,若 f '( x) 是 f ( x ) 的导函数,则函数 f '( x) 在原点附近的图象

大致是(



A

B

C

D

? ? x 2 ? x, x ? 1 3 ? 2 7.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 , 若对任意的 x ? R , 不等式 f ( x) ? m ? m 恒成立, 则实数 m 1 4 ? ? 3
的取值范围是( )

1 1 A. (? ? , ? ] B . ? ( ? ,? 4 4

]

[1 ?,? C )

.? [1 ? ,

D )

1 ?.[ 4

, 1]

1

8.已知关于 x 的方程 确的是( )

cos x ? k 在 (0, ??) 有且仅有两根,记为 ? , ? (? ? ? ) ,则下列的四个命题正 x
2

A. sin 2? ? 2? cos ? C. sin 2? ? ?2? sin 2 ?

B. cos 2? ? 2? sin ?
2

D. cos 2? ? ?2? sin 2 ?

二.填空题(6*5=30 分) (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 9.已知 2 ? 3, log 4
x

8 ? y, 则x ? 2 y 的值为______________. 3
5? ) 在一个周期内的图象,则阴影 6
?

y
? 12

10.如图是函数 y ? cos(2 x ? 部分的面积是__________. 11.若 ? ? (0,

O

? 6

x O

?
2

) ,则

sin 2? 的最大值为 sin ? ? 4 cos 2 ?
2



12.已知函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) ,且 f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f ( x2 ? 4x ? 1) ? 0 ,则当 y ? l 时, 的取值范围是_______________.

y x ?1

1 ? ? 2 13.已知 ? x ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数,且当 x ? [0,1] 时, 5 x3 ? ?
f ( x) ? x ,若在区间 [ ?1, 3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx? k有 4 个零点,则实数 k 的取值范围
是 .

5

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 倾 斜 角 为

? 的直线 l 与曲线 4

s ?x ? 2 ? c o ? C: , ( ? 为参数)交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半 ? ? ? y ? 1? s i n
轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是________. 15. (几何证明选讲选做题)已知⊙O1 和⊙O2 交于点 C 和 D,⊙O1 上的点 P 处的切线交⊙O2 于 A、 B 点,交直线 CD 于点 E,M 是⊙O2 上的一点,若 PE=2,EA=1, ?AMB ? 45 ,那么⊙O2 的半径 为 . B E A P C O1 O2 D M

2

三.解答或证明题 16. (12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 , x?R . 2

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ) 已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 ,若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

17.(13 分) 一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。 (Ⅰ)从袋子中任意摸出 3 个球,求摸出的球均为白球的概率; (Ⅱ)一次从袋子中任意摸出 3 个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球成功”(每次操作 完成后将球放回),某人连续摸了 3 次,记“摸球成功”的次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

18. (13 分) 如图 1, AD 是直角△ ABC 斜边上的高,沿 AD 把△ ABC 的两部分折成直二面角
F A ? C (如图 2) ,D

于F .

(Ⅰ)证明: BF ? AC ; (Ⅱ)设 ?DCF ? ? , AB 与平面 BDF 所成的角为 ? ,二面角 B ? FA ? D 的大小为 ? ,试用

tan ? , cos ? 表示 tan? ;
B ?A C (Ⅲ) 设A

,E 为 AB 的中点, 在线段 DC 上是否存在一点 P , 使得 DE ∥平面 PBF ? 若

存在,求 B

DP 的值;若不存在,请说明理由. PC
B

D

A

E

D C 图1 C P F 图2

A

3

x2 y2 19.(14 分)如图,点 P(0,?1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 a b 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另 一点 D. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. y
l1 D O P A l2 B x

20.(14 分)如图 ,实线 部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成,圆 P 和 圆 Q 的半径都是 2km ,点 P 在圆 Q 上,现要在公园内建一块顶点都在圆 P 上的多边形活动场地. (1)如图甲,要建的活动场地为△ RST ,求活动场地的最大面积; (2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形 ABCD ,求活动场地的最大面积;

21. (14 分)已知 ? ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 ? ? 2 时,求 f ( x) 的最小值;

? ( x ? 1) ,其中 x ?[1, ??) . x ? ? ?1

(Ⅱ)在函数 y ? ln x 的图像上取点 Pn (n, ln n) (n ? N ? ) ,记线段 PnPn+1 的斜率为 kn ,

Sn ?

1 1 ? ? k1 k2

?

1 .对任意正整数 n,试证明: kn
(ⅱ) Sn ?

(ⅰ) Sn ?

n(n ? 2) ; 2

n(3n ? 5) . 6

4

理科数学参考答案
一.选择题:AAAB DABC 二.填空题 9..3; 10.

5 ; 4

11.

1 ; 2

12. [

1 3 , ] 4 4



13. ? 0, ? ; 4

? ?

1? ?

14.

? (cos? ? sin ? ) ? 1 ;

15.

3 2 . 2

三.解答或证明题 16.(12 分)解:(Ⅰ)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 6

?

…………………………………………3 ………………5

∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . (Ⅱ)∵ ∵ ∵

? ) ?1, 0 即 sin(2C ? ) ? 1 …………6 6 6 ? ? 11? ? ? ? 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . ……8 6 6 6 6 2 3

f ( C )? s i n (C 2 ?

?

?

m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .
a b ? , 得 b ? 2a, s i nA s iB n

……………9 …………………10

由正弦定理

2 2 ∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

?
3

, 故 a ? 3, b ? 2 3

……12

17.(13 分) (Ⅰ)设从袋子中任意摸出 3 个球, 摸出的球均为白球的概率是 P

P=

3 C4 3 C10

=

1 . 30
3 2 1 C6 + C6 C4 2 = . 3 3 C10

…4 分

(Ⅱ)由一次”摸球成功”的概率 P =

…8 分

2 随机变量 ? 服从二项分布 B( 3, ) ,分布列如下 3

…12 分 1 2 3

?

0

P
E? ? 2

1 27

6 27

12 27

8 27
…13 分

18 . ( 13 分) (Ⅰ)∵ AD ? DB, AD ? DC ,∴ ?BDC 是二面角 B ? DA ? C 的平面角 . 又∵二面角
5

B ? DA ? C 是直二面角,∴ BD ? DC ,∴ BD ? 平面 ADC ,∴ BD ? AC ,又 DF ? AC ,∴ AC ? 平

面 BDF ,∴ BF ? AC .…………………………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) B

?ABF ? ? ? tan ? ?
又 ∴ tan ? cos ? ?

AF DF , ?BFD ? ? ? cos ? ? . BF BF
, D P C M F

E A

AF ?ADF ? ?DCF ? ? ? tan ? ? DF

AF ? tan ? .…………………8 分 BF (Ⅲ)连接 CE 交 BF 于点 M ,连接 PM ,则 PM ∥ DE . ∵ AB ? AC ,∴ AD ? DC ,∴ F 为 AC 的中点, 而 E 为 AB 的中点, ∴M 为 ?ABC 的重心,


EM 1 DP 1 ? ,∴ ? .即在线段 DC 上是否存在一点 P ,使得 DE ∥ PBF , MC 2 PC 2

DP 1 ? .…………………………………………13 分(也可建系完成) PC 2 19.(14 分)
此时 (Ⅰ)由题意得:
?b=1, ? ?a=2. y

……………..2
D O P A l2 B

l1

椭圆 C 的方程为:

x2 2 +y =1. ………………………..4 4 (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在, 不妨设其为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx?1. ……………………….5 又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 1 d= 2 , …………………6 k +1 所以 4k2+3 |AB|=2 4?d2=2 .……………7 k2+1 又 l1?l2,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. 由 ky+k=0, ? ?x+2 ? x 2 ? 4 +y =1. ? 消去 y,整理得 (4+k2)x2+8kx=0 故 8k x0=? . 4+k2 所以 8 k2+1 |PD|= . …………………..10 4+k2

x

6

1 8 4k2+3 设△ABD 的面积为 S,则 S= |AB|?|PD|= , 2 4+k2 所以 32 32 16 13 S= ? = , 13 13 13 2 4k2+3+ 2 4k +3 ? 4k2+3 4k2+3 当且仅当 k=± 10 时取等号 2 10 x?1 2

………………12

………………..13 ……………………………..14

所以所求直线 l1 的方程为 y=± 20.(14 分)

解: (Ⅰ)过 S 作 SH ? RT 于 H , S ?RST ?

1 SH ? RT . 2

由题意, ?RST 在月牙形公园里, RT 与圆 Q 只能相切或相离;

RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有 RT ? 4, SH ? 2 ,
当且仅当 RT 切圆 Q 于 P 时,上面两个不等式中等号同时成立。 此时,场地面积的最大值为 S ?RST ? (4 分) …(5 分)

1 ? 4 ? 2 ? 4 (km2) 2

(Ⅱ) AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,以 AD 为直径向左边作半圆,此半圆包含弓 形,半圆的内接等腰梯形的面积的最大值不小于弓形内接等腰梯形的面积的最大值,要求场地面 积的最大值,只需考虑 AD 切圆 Q 于 P 时的情 形, …… (7 分)
S R

M
B

A

M

P

Q
C

P

Q

设 ?BPA ? ? ,则有

T

N

D

N

1 1 S四边形ABCD = ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? sin(? ? 2? ) 2 2 ? 4(sin ? ? sin ? cos ? )(0 ? ? ?

?
2

). …… (10 分)

7

21. (14 分) 解: (Ⅰ) ? =2 时, f ( x) ? ln x ?

2( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x ?1
……………3 分

f ?( x) ?

1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ( x ? 1)2 ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

所以, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,故 f ( x) 的最小值是 f (1) ? 0 .…………5 分

(Ⅱ)依题意, kn ?

ln(n ? 1) ? ln n 1 ? ln(1 ? ) . n ?1? n n

……………6 分

(ⅰ)由(Ⅰ)可知,若取 ? ? 2 ,则当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,即 ln x ?

2( x ? 1) . x ?1

1 2(1 ? ? 1) 1 2 1 2n ? 1 n ? 于是 ln(1 ? ) ? ,即知 ? .…………8 分 1 n 2n ? 1 kn 2 1? ?1 n
所以 Sn ? ?
i ?1 n n 1 2i ? 1 n(n ? 2) ?? ? . ki i ?1 2 2

……………9 分

(ⅱ)取 ? ? 3 ,则 f ( x) ? ln x ?

3( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x?2
1 3( x ? 2) ? 3( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 4) ? ? x ( x ? 2)2 x( x ? 2) 2

f ?( x) ?

当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (1, 2) 单调递减. 所以, x ? (1, 2] 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ? 注意到,对任意正整数 n , 1 ?

3( x ? 1) .……………12 分 x?2

1 ? (1,2] ,于是 n

1 3(1 ? ? 1) 1 3 1 3n ? 1 n kn ? ln(1 ? ) ? ? ,即知 ? . ……………13 分 1 n 3 n ? 1 k 3 n 1? ? 2 n
所以

Sn ? ?
i ?1

n

n 1 3i ? 1 n(3n ? 5) ?? ? . ki i ?1 3 6

……………14 分

8


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