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【创新设计】2015高考数学(四川专用,理科)二轮专题整合:1-2-1三角函数的图象与性质


专题二 第1讲
一、选择题

三角函数与平面向量 三角函数的图象与性质

5π ? ? 1.(2014· 吉林省实验中学一模)函数 f(x)=cos 2x+?sin 2 +x?是 ? ? A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 解析

(
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br />).

?5π ? f(x)=cos 2x+sin? 2 +x?=cos 2x+cos x=2cos2 x+cos x-1, 易知函数 f(x) ? ?

1 是偶函数,且当 cos x=1 时取最大值,cos x=-4时取最小值. 答案 D

π? ? 2.将函数 f(x)= 3sin 2x-cos 2x 的图象向左平移|m|的个单位?m>-2?,若所得的 ? ? π 图象关于直线 x=6对称,则 m 的最小值为 π A.-3 C.0 解析 π B.-6 π D.12 π? ? f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?, ? ? ( ).

将 f(x)的图象向左平移|m|个单位,得到函数 g(x)= π π ? ? ? ? 2sin2?x-12+|m|?=2sin?2x-6+2|m|?, ? ? ? ? π π π 则:2×6-6+2|m|=2+kπ(k∈Z), π 1 解得|m|=6+2kπ(k∈Z),

-1-

π 当 k=0 时,|m|=6, π π 又因为 m>-2,所以 m 的最小值为-6. 答案 B

?πx π? 3.(2014· 北京东城区质量调研)函数 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ? 差为 A.2+ 3 C.3 解析 B.4 D.2- 3 π πx π 7π 因为 0≤x≤9,所以-3≤ 6 -3≤ 6 , ( ).

πx π π ?πx π? 因此当 6 -3=2时,函数 y=2sin? 6 -3?取最大值, ? ? πx π π 即 ymax=2×1=2,当 6 -3=-3时, ?πx π? 函数 y=2sin? 6 -3?取最小值, ? ? ? π? 即 ymin=2sin?-3?=- 3, ? ? ?πx π? 因此 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2+ 3. ? ? 答案 A

π? ? 4.(2014· 北京顺义区统练)已知函数 f(x)=cos?2x+3?-cos 2x,其中 x∈R,给出下 ? ? 列四个结论: ①函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数; ②函数 f(x)图象的一条对称轴是 x= 2π ; 3

?5π ? ③函数 f(x)图象的一个对称中心为?12,0?; ? ? π 2π? ? ④函数 f(x)的递增区间为?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? 则正确结论的个数是 A.1 B.2 ( ).

-2-

C.3 解析

D.4 π? π π ? 由已知得,f(x)=cos?2x+3?-cos 2x=cos 2xcos 3-sin 2xsin 3-cos 2x ? ?

π? ? =-sin?2x+6?.f(x)不是奇函数,故①错; ? ? 2π ?2π? ?4π π? 当 x= 3 时,f? 3 ?=-sin? 3 +6?=1,故②正确; ? ? ? ? 5π ?5π? 当 x=12时,f?12?=-sin π=0,故③正确; ? ? π π 3π 令 2kπ+2≤2x+6≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 2π 得 kπ+6≤x≤kπ+ 3 (k∈Z),故④正确.综上,正确的结论个数为 3. 答案 C

5.(2014· 济宁一模)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(0<φ<π)的图象如图所示,若 f(x0) ?π 5π? =3,x0∈?3, 6 ?,则 sin x0 的值为 ? ? ( ).

A. B. C.

4 3-3 10

3 3+4 10 4 3+1 10 3 3+3 10 T 4π π 由图象知 A=5,2= 3 -3=π,

D.

解析

2π ∴T=2π,∴ω=2π=1, π π 且 1×3+φ=2kπ+2,
-3-

π 又 0<φ<π,∴φ=6, ? π? ∴f(x)=5sin?x+6?. ? ? π 3 由 f(x0)=3,得 sin(x0+6)=5, 3 1 3 即 2 sin x0+2cos x0=5,① π ?π ? ?π 5π? 又 x0∈?3, 6 ?,∴x0+6∈?2,π?, ? ? ? ? π? 4 3 1 4 ? ∴cos ?x0+6?=-5,即 2 cos x0-2sin x0=-5,② ? ? 3 3+4 由①②解得 sin x0= 10 . 答案 B

二、填空题 π π 6.(2014· 重庆卷)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-2≤φ<2)图象上每一点的横坐 π 标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到 y=sin x 的 ?π? 图象,则 f?6?=________. ? ?

答案

2 2

7.(2014· 江苏五市联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的部 分图象如图所示,则 f(2 014)的值为________.

-4-

解析

根据题意,由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的

2π π 部分图象可知周期为 12, 由此可知 T= ω =12, ω=6, A=5, 将(5,0)代入可知, π ?5π ? 5sin? 6 +φ?=0,可知 φ=6, ? ? π? 5 ?π 所以 f(2 014)=5sin?6×2 014+6?=-2. ? ? 答案 5 -2

8.(2014· 北京卷)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x) ?π π? ?π? ?2π? ?π? 在区间?6,2?上具有单调性,且 f?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期为 ? ? ? ? ? ? ? ? ________. 解析 T π π ?π π? 由 f(x)在?6,2?上具有单调性,得 2≥2-6, ? ?

π 2π 2+ 3 7π 2π ?π? ?2π? 即 T≥ 3 ;因为 f?2?=f? 3 ?,所以 f(x)的一条对称轴为 x= 2 =12;又因为 ? ? ? ? π π 2+6 π 1 7π π π ?π? ?π? f?2?=-f?6?,所以 f(x)的一个对称中心的横坐标为 2 =3.所以4T=12-3=4, ? ? ? ? 即 T=π. 答案 π

三、解答题 π? ? 9.(2014· 四川卷)已知函数 f(x)=sin?3x+4?. ? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; π? ?α? 4 ? (2)若 α 是第二象限角,f?3?=5cos?α+4?cos 2α,求 cos α-sin α 的值. ? ? ? ? 解 π ? π ? (1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?-2+2kπ,2+2kπ?,k∈Z, ? ?

-5-

π π π 由-2+2kπ≤3x+4≤2+2kπ,k∈Z, π 2kπ π 2kπ 得-4+ 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为 ? π 2kπ π 2kπ? ?-4+ 3 ,12+ 3 ?,k∈Z. ? ? π? ? (2)由已知,有 sin?α+4? ? ? π? 4 ? =5cos?α+4?(cos 2α-sin 2α), ? ? π π 所以 sin αcos4+cos αsin4 π π? 4? =5?cos αcos4-sin αsin4?(cos 2α-sin 2α), ? ? 4 即 sin α+cos α=5(cos α-sin α)2(sin α+cos α). 3π 当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角,知 α= 4 +2kπ,k∈Z. 此时,cos α-sin α=- 2. 5 当 sin α+cos α≠0 时,有(cos α-sin α)2=4. 由 α 是第二象限角,知 cos α-sin α<0, 5 此时 cos α-sin α=- 2 . 5 综上所述,cos α-sin α=- 2或- 2 .

3 ? π? 10.(2014· 济宁一模)已知函数 f(x)=sin xcos?x+3?+ 4 . ? ? ? π π? (1)当 x∈?-3,6?时,求函数 f(x)的值域; ? ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移3个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标 1 变为原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的表达 式及对称轴方程.
-6-



3 ? π? (1)f(x)=sin xcos?x+3?+ 4 ? ? π? 3 ? + 3? 4

π ? =sin x?cos xcos 3-sin xsin ? 1 3 3 =2sin xcos x- 2 sin2 x+ 4

1 3 1-cos 2x 3 =4sin 2x- 2 × +4 2 π? 1 3 1 ? =4sin 2x+ 4 cos 2x=2sin?2x+3?. ? ? π π π π 2π 由-3≤x≤6,得-3≤2x+3≤ 3 , π? 3 ? 所以- 2 ≤sin?2x+3?≤1, ? ? π? 1 3 1 ? - 4 ≤2sin?2x+3?≤2, ? ? ? 3 1? 所以 f(x)∈?- , ?. ? 4 2? π? 1 ? π (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x+3?,将函数 y=f(x)的图象向右平移3个单位后, ? ? 1 ? ? π? π? x- ?+ ? 得到函数 y=2sin?2? ? ? 3? 3? π? 1 ? =2sin?2x-3?的图象, ? ? 1 再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 y π? π? 1 ? 1 ? =2sin?4x-3?的图象,所以 g(x)=2sin?4x-3?. ? ? ? ? π π 当 4x- =kπ+ (k∈Z)时,g(x)取最值, 3 2 kπ 5π 所以 x= 4 +24(k∈Z), kπ 5π 所以函数 g(x)的对称轴方程是 x= 4 +24(k∈Z). 11.(2014· 雅安诊断)设函数 f(x)=2cos2 x+sin 2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;

-7-

π? ? (2)当 x∈?0,6?时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R)的对称 ? ? 轴方程. 解 (1)f(x)=2cos2 x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a

π? ? = 2sin?2x+4?+1+a, ? ? 2π 则 f(x)的最小正周期 T= 2 =π, π π π 且当 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2(k∈Z)时 f(x)单调递增, 3π π? ? 即?kπ- 8 ,kπ+8?(k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. ? ? π? π π 7π ? (2)当 x∈?0,6?时,则4≤2x+4≤12, ? ? π? π π π ? 当 2x+4=2,即 x=8时 sin?2x+4?=1. ? ? 所以 f(x)max= 2+1+a=2?a=1- 2. π π kπ π 由 2x+4=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +8(k∈Z), kπ π 即 x= 2 +8(k∈Z)为 f(x)的对称轴.

-8-


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