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高中数学经典解题技巧和方法--等差数列、等比数列(跟踪训练题)


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高中数学经典的解题技巧和方法(等差数列、等比数列) 跟踪训练题
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,总分 36 分) 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4=( (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 ) )

/>
2.设数列{xn}满足 log2xn+1=1+log2xn,且 x1+x2+x3+…+x10=10,则 x11+x12+x13+…+x20 的值为( (A)10×211 (C)11×211 (B)10×210 (D)11×210 )

3.已知正数组成的等差数列{an},前 20 项和为 100,则 a7·a14 的最大值是( (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在

5 a ? a ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 4 , S5 =( {a } 4.已知 n 为等比数列, n 是它的前 n 项和。 2 3 S 若 则
A.35 5. 设 的是( B.33 C.31 D.29

)

?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立
) B、 D、

A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

6.(2010·潍坊模拟)已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,且有 S9<S8=S7,则下列说法 不正确的是 A.S9<S10 C.S7 与 S8 均为 Sn 的最大值 B.d<0 D.a8=0 ( )

二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,总分 18 分) 7.将正偶数划分为数组: , (2)(4,6)(8,10,12)(14,16,18,20) , , ,…,则第 n 组各数的和是 (用含 n 的式子表示) 8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 009=_______;a2 014=_______. .

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9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为_______. 三、解答题(10、11 题每小题 15 分,12 题 16 分,总分 46 分)

? 10 ? an ? ? n ? 1? ? ? ? n ? N ? ? ?a ? ? 11 ? 10.数列 n 的通项 试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的
项数;若没有,说明理由 11.在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am,am+2,am+1 成等差数列. (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真?并给出证明. 12.已知数列

n

{an } 中,前 n 项和为 S n , a1 ? 5 ,并且 S n?1 ? S n ? 2an ? 2n?2 ( n ? N ? ) ,
a3 的值;
an ? ? 2 n ,若实数 ? 使得数列 {bn } 为等差数列,求 ? 的值。
{

(1)求 a2 ,

(2)设

bn ?

1 1 } T ? bn ? bn ?1 的前 n 项和为 Tn ,求证: n 5 (3)在(2)的条件下,设数列
参考答案 一、选择题

1. 【解析】选 C.S4=

=2×(1+3)=8.

2. 【解析】选 B.∵log2xn+1-log2xn=1, 又∵x1+x2+…+x10=10,∴x11+x12+…+x20=q10(x1+x2+…+x10)=210×10.

∴{xn}为等比数列,其公比 q=2,

3. 【解析】选 A.∵S20=

×20=100,∴a1+a20=10,

∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10. ∵an>0,∴a7·a14≤( 4. 【解析】选 C

)2=25.

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a2 ? a3 ? 2a1 ? a1 ? a4 ? 2a1 ? a4 ? 2 ,又

a4 ? 2a7 ? 2 ?

5 1 a7 ? 4 得 4

1 16[1 ? ( )5 ] 1 a 2 2 ? 31 S5 ? a1 ? 4 ? ? 16 a7 4 1 3 3 1 1 1 q q ? ? ? q? 1? a4 2 8 ,? 2, 2 8 所以, ,
5. 【解析】选 D,设等比数列

?an ? 的公比为 q (q ? 0) ,由题意, X ? a1 ? a2 ??? an

Y ? a1 ? a2 ? ?? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2n Z ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? ?? a3n
Z?X Y?X ?q ?q ? X , Y ,所以 Y (Y ? X ) ? X (Z ? X ) ,故 D 正确。
6. 【解析】选 A 由题意知 d<0,a8=0,所以 二、填空题

a10 ? a9 ? a8 ? 0.? S10 ? S9 ? a10 ? S9 .

7. 【解析】前 n ? 1 组共有偶数的个数为

1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ?

n(n ? 1) . 2 故第 n 组共有 n 个偶数,且第一

?2n? 的第 个偶数是正偶数数列
所以第 n 组各数的和为

n(n ? 1) n(n ? 1) ? 1项,即2 ? [ ? 1] ? n 2 ? n ? 2 2 2 , n(n ? 1) ? 2 ? n3 ? n. 2
答案: n ? n.
3

n(n 2 ? n ? 2) ?

8. 【解析】依题意,得 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0. 答案:1

0

9. 【解析】∵a4=15,S5=55. ∴55=

=5a3,∴a3=11. ∴公差 d=a4-a3=15-11=4.

a10=a4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) kPQ= 三、解答题

=4.答案:4

? 10 ? ? an?1 ? an ? ? n ? 2? ? ? ? 11 ? 10. 【解析】方法 1:
∴当 n<9 时,

n ?1

? 10 ? ? 10 ? 9 ? n ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? ? 11 ? 11
n n

an?1 ? an ? 0? an?1 ? an

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当n ? 9时

an?1 ? an ? 0? an?1 ? an , an?1 ? an ? 0? an?1 ? an


当 n>9 时, 故

a1 ? a2 ? ? ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? ?,
9

? 10 ? 10 ? ? ? a a ?a ? ? 11 ? ,其项数为 9 或 10 ∴数列 n 中最大项为 9 或 10 .其值为
? 10 ? 方法2 ? an ? ? n ? 1? ? ? ? n ? N ? ? , ? 11 ? n n ?1 ? 10 10 ? n ? 1? ? ? ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?an ? an ?1 ?n ? 9, ? ? 11 ? ? 11 ? ?? ?? ?? n n ?1 ?n ? 10. ?an ? an ?1 ? 10 ? ? 10 ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? 11 ? ? 11 ? ? ? n ? N ? ,? n ? 9或10.
n

? 10 ? 10 ? ? ? an ? ? 中最大项为 a9 或 a10 .其值为 ? 11 ? ,其项数为 9 或 10 ∴数列

9

11. 【解析】 (1)在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成 等差数列. (2)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q.由题意知:2am+2=am+am+1, 即 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. ∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,

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12. 【解析】 (1)由

S n?1 ? S n ? 2an ? 2n?2 ( n ? N ? )得

S n?1 ? S n ? 2an ? 2n?2 即 an?1 ? 2an ? 2 n?2 ( n ? N ? ) ∵ a1 ? 5 ∴ a2 ? 2a1 ? 21?2 ? 10 ? 8 ? 18 a3 ? 2a2 ? 2 2?2 ? 36 ? 16 ? 52

(2)由条件

b1 ?

a1 ? ? 5 ? ? ? 2 2 a 2 ? ? 18 ? ? ? 4 22 a3 ? ? 52 ? ? ? 8 23
2?


b2 ?

b3 ?

2b ? b1 ? b3 {b } ∵ n 为等差数列∴ 2
bn ? an 2n
b1 ?
9 5 b2 ? 2 2 ,

18 ? ? 5 ? ? 52 ? ? ? ? 4 2 8

解得 ? ? 0





∴ b2 ? b1 ? 2 ,

即数列

{bn } 是公差为 d ? 2 ,首项为
bn ?

b1 ?

5 2 的等差数列

(3)由(2)得

5 4n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2 2 (n? N?)

1 4 1 1 ? ? ? b ?b (4n ? 1)(4n ? 5) 4n ? 1 4n ? 5 ∴ n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? ? Tn = b1b2 b2 b3 bn bn ?1 = 5 9 9 13 4n ? 1 4n ? 5 = 5 4n ? 5 5 ∴
Tn ? 1 5




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