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抛物线弦中点的一个性质及应用 专题辅导


抛物线弦中点的一个性质及应用
曾安雄 一. 弦中点的一个性质 性质: M ( x0 ,y0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的弦 AB 的中点,则有直线 AB 的斜率 k AB ?

p 。 y0

2 ? ? y1 ? 2 px1 证明:设 A、B 两点的坐标为 A( x1 ,y1 ) 、B( x2 ,y2

) ,则有 ? 2 ,两式相减并整理,得 ? y2 ? 2 px2 ?

y1 ? y2 2p ? ,又y1 ? y2 ? 2 y0 , x1 ? x2 y1 ? y2 故k AB ? p y0

二. 性质的应用 例 1. 求抛物线 y 2 ? 6x 以点 M (4,1) 为中点的弦 AB 所在的直线方程。 解: 由性质知, 所求的弦的斜率 k AB ? 即为 3x ? y ? 11 ? 0 。 例 2. 已知抛物线 y ? ax 2 ? 1 上恒有关于直线 l : y ? ? x 对称的两点,试求 a 的取值范围。 解:设对称的两点为 A、B,中点为 M ( x0 ,y0 ) 。 如图所示,由 l?AB ,则 k AB ? 1 。

p 3 且过点 M, 由点斜式得直线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 4) , ? ? 3, y0 1

y

B O A M l x

又由性质知 k AB ?

p 1 , ? x 0 2ax 0

1



1 1 1 ,又点 M 在直线 l 上,得 y 0 ? ? 。 ? 1 ,得 x 0 ? 2a 2a 2ax 0

所以点 M 的坐标为 ?

1? ? 1 ,? ?。 ? 2a 2a ?
3 1 ? 1? ? a? ? ? 1 ,解得 a ? , ? 2a ? 4 2a
2

由题意知,要使 AB 存在,点 M 应在抛物线 y ? ax 2 ? 1 内部,即 ? 或 a ? 0。 又当 a ? 0时,对称点不存在。 故所求 a 的取值范围是 ?

?3 ? , ? ?? 。 ?4 ?

2


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