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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)


加试模拟训练题(41) (附详细答案) 1、 设 H 是锐角△ABC 的垂心, 由 A 向以 BC 为直径的圆作切线 AP、 AQ, P、 Q 为二切点. 求 证:P、H、Q 三点共线. 2、f 为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数,求所有满足下列条件的 f: (1)f(xf(y))f(y)=f(x+y); (2)f(2)=0; (3)f(x)≠0,当 0≤x<2. 3、 集合 A={0,1,2,3,4,5,6,7},满足下列条件(1)、(2)的 A 到 A 上的映射 f 有几 个? (1)i,j∈A,i≠j 则 f(i)≠f(j); (2)i,j∈A,i+j=7,则 f(i)+f(j)=7. 4、 求所有的正整数 n、m,满足 n5 + n 4 = 7 m - 1 . 加试模拟训练题(41) 1、 设 H 是锐角△ABC 的垂心,由 A 向以 BC 为直径的圆作切线 AP、 AQ,P、Q 为二切点.求证:P、H、Q 三点共线. 【题说】 1996 年中国数学奥林匹克(第 11 届数学冬令营)题 1. 【证】 设 BC 中点为 O,连结 AO,PQ,交于 G,则 AO⊥PQ. 在 Rt△AQO 中, 由射影定理有 AQ2=AG· AO (1) 作 AD⊥BC 于 D,则 H 在 AD 上.连结 BH,延交 AC 于 E,则 BE⊥AC, 且 E 在圆周上.而有 H、D、C、E 共圆,从而 AH·AD=AE·AC=AQ2 (2) 由(1)、(2),得 AH·AD=AG·AO 因此 H、D、O、G 共圆.从而∠HGO=180?-∠HDO=90?,即 H 在 PQ 上. 【另证】 设 BC 中点为 O,AD、BE 为高,则 AD、BE 都过 H,并且 E 在以 BC 为直径的 圆上,O 是这圆的圆心. 因为∠ADC+∠HEC=90?+90?=180?,所以 E、C、D、H 四点共圆, AH·AD=AE·AC.又 AQ 是⊙O 切线,所以 AE·AC=AQ2. 因为 AH·AD=AQ2,所以△AHQ∽△AQD,∠AHQ=∠AQD.同理,∠AHP=∠APD. 因为 P、D、Q 都在以 OA 为直径的圆上,所以∠AQD+∠APD=180?. 从而∠AHQ+∠AHP=180?,即 P、H、Q 三点共线. 2、f 为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数,求所有满足下列条件的 f: (1)f(xf(y))f(y)=f(x+y);(2)f(2)=0;(3)f(x)≠0,当 0≤x<2. 【题说】第二十七届(1986 年)国际数学奥林匹克题 5.本题由英国提供. 解:如果ω >2,那么在(1)中取 y=2,x=ω -2,就得 f(ω )=f((ω -2)f(2))·f(2)=0 因为 x≥0,在(1)中令 0≤y<2,则 这样一来,当 0≤y<2,x>0 时,有 综合上述,所求的 f 是 不难验证这一函数满足题中条件. 3、 集合 A={0,1,2,3,4,5,6,7},满足下列条件(1)、(2)的 A 到 A 上的映射 f 有几 个? (1)i,j∈A,i≠j 则 f(i)≠f(j); (2)i,j∈A,i+j=7,则 f(i)+f(j)=7. 【题说】 1994 年日本数学奥林匹克预选赛题 8. 【解】 记 A0={0,7},A1={1,6},A2={2,5},A3={3,4}.由条件(2)可知 Ai 中元素的 像必在同一个 Aj. 由(1), 不同的 Ai,相应的 Aj 不同. 于是 i 与 j(1≤i,j≤4)的有序对有 4! 种配

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