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互相关函数,自相关函数计算和作图


互相关函数,自相关函数计算和作图

1.自相关和互相关的概念。
? ? 互相关函数是描述随机信号 x(t),y(t)在任意两个不同时刻 t1,t2 间的相关程度。 自相关函数是描述随机信号 x(t)在任意两个不同时刻 t1,t2 间的相关程度。

互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标,把两测点之间信号的互谱与各 自的

自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号,对修正测量中接入噪 声源而产生的误差非常有效。 ----------------------------------------------------------------------------------事实上,在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是 f(t),则自相关函数 定义为 R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;设两个函数分别是 f(t)和 g(t),则互相关函数定义为 R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

2.利用 matlab 中实现这两个相关并用图像显示:
自相关函数:

dt=.1; t=[0:dt:100];x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a)

互相关函数: 把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。

3. 实现过程:
在 Matalb 中,求解 xcorr 的过程事实上是利用 Fourier 变换中的卷积定理进行的,即 R(u)=ifft(fft(f)× fft(g)),其中× 表示乘法,注:此公式仅表示形式计算,并非实际计算所用的公式。 当然也可以直接采用卷积进行计算,但是结果会与 xcorr 的不同。事实上,两者既然有定理保证, 那么结果一定是相同的,只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码:

dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3); plot(b*dt,a); yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y); z=conv(x,yy); pause; subplot(3,1,3); plot(b*dt,z,'r');

即在 xcorr 中不使用 scaling。

4. 其他相关问题:
1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系?

相关系数只是一个比率,不是等单位量度,无什么单位名称,也不是相关的百分数,一般取小 数点后两位来表示。 相关系数的正负号只表示相关的方向,绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量,因而 不能说相关系数 0.7 是 0.35 两倍,只能说相关系数为 0.7 的二列变量相关程度比相关系数为 0.35 的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数从 0.70 到 0.80 与相关系数从 0.30 到 0.40 增加的程度一样大。

对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致,但通常按下是这样认为的:

相关系数

相关程度

0.00-± 0.30 微相关 ± 0.30-± 0.50 实相关 ± 0.50-± 0.80 显著相关 ± 0.80-± 1.00 高度相关 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) 与 matlab 中相关函数 xcorr()与相关度函数 corrcoef()的关系:

相关度函数:对于一般的矩阵 X,执行 A=corrcoef(X)后,A 中每个值的所在行 a 和列 b,反应的 是原矩阵 X 中相应的第 a 个列向量和第 b 个列向量的相似程度(即相关系数)。计算公式是: C(1,2)/SQRT(C(1,1)*C(2,2)),其中 C 表示矩阵[f,g]的协方差矩阵,假设 f 和 g 都是列向量(这两 个序列的长度必须一样才能参与运算),则得到的(我们感兴趣的部分)是一个数。以默认的 A=corrcoef(f,g)为例,输出 A 是一个二维矩阵(对角元恒为 1),我们感兴趣的 f 和 g 的相关系 数就存放在 A(1,2)=A(2,1)上,其值在[-1,1]之间,1 表示最大的正相关,-1 表示绝对值最大的负 相关

?

相关函数 xcorr 函数是通过不反折的卷积来衡量这两个信号在不同位置的相似程度—— 假设两个序列的长度分别是 m 和 n,则得到的是一个长度为 2*max(m,n)-1 的序列,也 就是说,当 m 和 n 不相等的时候,在执行 xcorr 的时候会先对短的那个序列进行 0 扩充, 使得 m 与 n 相等;

?

相关度 corrcoef 函数是通过协方差矩阵来衡量这两个信号在不同局部的相似程度,计算 公式是:C(1,2)/SQRT(C(1,1)*C(2,2)),其中 C 表示矩阵[f,g]的协方差矩阵,假设 f 和 g 都是列向量(这两个序列的长度必须一样才能参与运算),则得到的(我们感兴趣的 部分)是一个数。以默认的 A=corrcoef(f,g)为例,输出 A 是一个二维矩阵(对角元恒为 1),我们感兴趣的 f 和 g 的相关系数就存放在 A(1,2)=A(2,1)上,其值在[-1,1]之间,1 表示最大的正相关(例如 x=[1;2;3], y=[5;7;9]),-1 表示绝对值最大的负相关(例如 x=[1;2;3], y=[12;7;2])。对于一般的矩阵 X,执行 A=corrcoef(X)后,A 中每个值的所在 行 a 和列 b,反应的是原矩阵 X 中相应的第 a 个列向量和第 b 个列向量的相似程度(即 相关系数)。

4)互相关函数图像的横坐标问题 以下例子,主要求两个信号的相位差,按照某篇参考资料的说法,t_max 对应的值就应该是 它们的相位差,但是这个程序中做出的互相关函数的横坐标不是-40 到+40,而是 0 到 1200,请 问这个横坐标表示的是什么意思呢? n=99;%设定每周期数据采集点数 T=6;%采样周期数 t=0:2*pi/(n-1):2*T*pi;%采样数 y1=4*sin(t);%信号 1 y2=8*sin(t+pi/6);%信号 2,相位差取 pi/6 Cc=xcorr(y1,y2);%求互相关函数

[y_max,t_max]=max(Cc)%找出 Cc 的最大值及对应的 t_max subplot(311); plot(t,y1); grid; subplot(312); plot(t,y2); grid; subplot(313); plot(Cc); grid


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