广东省珠海市2013届高三上学期期末学业质量监测数学文试题

珠海市 2012--2013 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三文科数学试题
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1 ． 已 知 集 合 M ? (?1,??) ， 集 合 N ? ?x | x( x ? 2) ? 0? ， 则
M ?N=
开 始

A．[0,2]

B． (0,??)

C． (?1,0]

D． (?1,0)

n＝12, i＝1

?a ? 2 2．已知 a，b 是实数，则“ ? ”是“ a ? b ? 5 ”的 ?b ? 3

n 是奇数? 是 n＝3n＋1 否 n n＝ 2 i＝i＋1 n＝5? 是 输出 i 结 束 (第 3 题图) 否

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线 l，m 和平面 α， 则下列命题正确的是 A．若 l∥m，m ? α，则 l∥α B．若 l∥α，m ? α，则 l∥m C．若 l⊥m，l⊥α，则 m∥α D．若 l⊥α，m ? α，则 l⊥m 5．已知是虚数单位，复数 A．
1 10 ? 3 10
π 4

i

i

3?i 1 3 B． ? ? i 10 10

＝

C． ?

1 8

?

3 8

i

D． ?

1 8

?

3 8

i

6． 函数 y＝sin (2x＋ A．向左平移 C．向左平移
π 8 π 4

)的图象可由函数 y＝sin 2x 的图象 B．向右平移 D．向右平移
π 8 π 4

个单位长度而得到 个单位长度而得到

个单位长度而得到 个单位长度而得到

? ? 3 3 7．已知 a 、 b 均为单位向量, (2a ? b) ? (a ? 2b) = ? ， a 与 b 的夹角为
2

A．30°

B．45°

C．135°

D．150°

8．在递增等比数列{an}中， a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ，则公比 q ＝ A．-1 B．1 C．2 D．
1 2

?x ? y ? 5 ? 0 ? 9．若实数 x，y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

则 2x＋4y 的最小值是

A．6

B．4

C． ? 2

D． ? 6

10．对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB‖= x1 ? x2 ? y1 ? y2 ，给出下列三个命题： ①若点 C 在线段 AB 上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ②在△ABC 中，若∠C=90° ，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC 中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.3

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分．其中 14～15 题是选做题，考生 只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11-13 题） 11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）： 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 武术社
a

20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查， 按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人， 结 果 合 唱 社 被 抽 出 12 人 ， 则 这 三 个 社 团 人 数 共 有 _______________. y 12．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 C＝
c=

?
3

， b ? 3 ，若△ABC 的面积为 ．
x a
2 2

3 3 2

B ，则 F1 A O F2 x

13．如图，F1，F2 是双曲线 C：

?

y b

2 2

? 1 (a＞0，b＞0)

的左、右焦点，过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交 于 A，B 两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则 双曲线的离心率为 .

(第 13 题图)

（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy 中，已知曲 线 C1 ： ?
?x ? t ? 2 ? y ? 1 ? 2t

D

, (为参数）与曲线 C2 ： ?

? x ? 3 cos ? ? y ? 3 sin ?

,

C O P A B (第15题图）

（ ? 为 参 数 ） 相 交 于 两 个 点 A 、 B ， 则 线 段 AB 的 长 为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD 为⊙O 的两条割 线，若 PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则 BD 等于 .

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分） 设向量 a＝ (2, sin ? ) ，b＝ (1, cos ? ) ，θ 为锐角． 13 （1）若 a·b＝ ，求 sinθ＋cosθ 的值； 6 π （2）若 a∥b，求 sin(2θ＋ )的值． 3

17．（本小题满分 12 分） 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个， 对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 频率
0.05
2

3 0.15

4

5

m

0.35

n

（1）在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m, n ； （2）在（1）的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率.

18．（本小题满分 14 分）

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示， 其正视图为矩形， 侧视图为等腰直角三角 形，俯视图为直角梯形， （1）求证： BC // 平面C1 B1 N ；（2）求证： BN ? 平面C1 B1 N ； （3）求此几何体的体积. 4 8 主视图 8 4 4 俯视图 8 19．(本题满分 14 分) 已知椭圆 C ：
x
2 2

侧视图

?

y b

2 2

a

F 上顶点 A(0, b) ， 左、 ? 1( a ? b ? 0) ， 右两个焦点分别为 F1 、 2 ，

?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.

（1）求椭圆 C 的标准方程及离心率； （2） O 为坐标原点，直线 F1 A 上有一动点 P ，求 | PF2 | ? | PO | 的最小值． 20．（本题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a?x x

，其中 a 为常数，且 a ? 0 .
1 2 x ? 1 垂直，求 a 的值；

（1）若曲线 y ? f ( x) 在点（1， f (1) ）处的切线与直线 y ? （2）若函数 f ( x) 在区间[1，2]上的最小值为 21.（本题满分 14 分） 在数列 {an } 中， a1 ? 1, a n ?1 ?
an an ? 1 ( n ? N *) .
1 2

，求 a 的值.

?1? （1）求证：数列 ? ? 是等差数列，并求数列 {an } 的通项公式； ? an ?

（2）设 bn ?

1 2 ? an
n 2013

，求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ；

（3）设 P ?

?
i ?1

1 ? a i ? a i ?1 ，求不超过 P 的最大整数的值.
2 2

珠海市 2012~2013 学年第一学期普通高中学生学业质量监测

高三文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：CABDA 二、填空题： AACDB

（一）必做题（11-13 题） 11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）： 合唱社 高一 高二 45 15 粤曲社 30 10 武术社
a

20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查， 按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人， 结果合唱社被抽出 12 人， 则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C＝ y

?
3

， b ? 3 ，若△ABC 的面积为
x a
2 2

3 3 2

，则 c =

． A

B

13．如图，F1，F2 是双曲线 C：

?

y b

2 2

? 1 (a＞0，b＞0)的左、右

F1

O

F2

x

焦点，过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 | ＝ 3 : 4 : 5 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 .
(第 13 题图)

（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy 中，已知曲线
?x ? t ? 2 ? x ? 3 cos ? , (为参数）与曲线 C2 ：? ,（ ? 为 C1 ：? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3 sin ?
P

A B O C

参数）相交于两个点 A 、 B ，则线段 AB 的长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD 为⊙O 的两条割线， 若 PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则 BD 等于 .

D (第15题图）

11、150

12、

7

13、 13

14、 4

15、 6

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分． 16．（本小题满分 12 分） 设向量 a＝ (2, sin ? ) ，b＝ (1, cos ? ) ，θ 为锐角． 13 （1）若 a·b＝ ，求 sinθ＋cosθ 的值； 6 π （2）若 a∥b，求 sin(2θ＋ )的值． 3

17．（本小题满分 12 分） 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个， 对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 频率
0.05
2

3 0.15

4

5

m

0.35

n

（1）在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m, n ； （2）在（1）的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率. 18．（本小题满分 14 分） 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示， 其正视图为矩形， 侧视图为等腰直角三角 形，俯视图为直角梯形， （1）求证： BC // 平面C1 B1 N ； 4 （2）求证： BN ? 平面C1 B1 N ； （3）求此几何体的体积. 8 8 主视图

侧视图

4

4 8 俯视图

19．(本题满分 14 分) 已知椭圆 C ：
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 两个焦点为 F1 、 F2 ，上顶点 A(0, b) ， ?AF1 F2

为正三角形且周长为 6. （1）求椭圆 C 的标准方程及离心率； （2） O 为坐标原点，直线 F1 A 上有一动点 P ，求 | PF2 | ? | PO | 的最小值．

20．（本题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a?x x

，其中 a 为常数，且 a ? 0 .
1 2 x ? 1 垂直，求 a 的值；

（1）若曲线 y ? f ( x) 在点（1， f (1) ）处的切线与直线 y ? （2）若函数 f ( x) 在区间[1，2]上的最小值为 21.（本题满分 14 分） 在数列 {an } 中， a1 ? 1, a n ?1 ?
an an ? 1 ( n ? N *) .
1 2

，求 a 的值.

?1? （1）求证：数列 ? ? 是等差数列，并求数列 {an } 的通项公式； ? an ?

（2）设 bn ?

1 2 ? an
n

，求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ；

2013

（3）设 P

?

?
i ?1

1 ? a i ? a i ?1 ，求不超过 P 的最大整数的值.
2 2

16．（本小题满分 14 分） 解：（1） 因为 a·b＝2＋sinθcosθ＝ 13 1 ，所以 sinθcosθ＝ ． 6 6 ?????? 3 分

4 所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝ ． 3 2 3 又因为 θ 为锐角，所以 sinθ＋cosθ＝ ． 3 （2） 解法一 因为 a∥b，所以 tanθ＝2． 2 sinθcosθ 2 tanθ 4 所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝ ＝ ＝ ， sin2θ＋cos2θ tan2θ＋1 5 cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝ ?????? 6 分 ?????? 8 分

cos2θ－sin2θ 1－tan2θ 3 ＝ ＝－ ．?????? 10 分 5 sin2θ＋cos2θ tan2θ＋1

π 1 3 所以 sin(2θ＋ )＝ sin2θ＋ cos2θ 3 2 2

4－3 3 1 4 3 3 ＝ × ＋ ×(－ )＝ ． 2 5 2 5 10 解法二 因为 a∥b，所以 tanθ＝2． 2 5 5 所以 sinθ＝ ，cosθ＝ ． 5 5 4 3 因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝ ， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－ ． 5 5 π 1 3 所以 sin(2θ＋ )＝ sin2θ＋ cos2θ 3 2 2 4－3 3 1 4 3 3 ＝ × ＋ ×(－ )＝ ． 2 5 2 5 10 17．（本小题满分 12 分）

?????? 12 分 ?????? 8 分

?????? 10 分

?????? 12 分

某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级 频率
0.05
2

3

4

5

m

0.15

0.35

n

（Ⅰ）在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m, n ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率. 参考答案： （Ⅰ）解：由频率分布表得 即 m ? n ? 0.45 . 由抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个， 得 n?
2 20 ? 0.1 .

0.05 ? m ? 0.15 ? 0.35? n ? 1，

??????2 分

??????4 分 ??????5 分

所以 m ? 0.45 ? 0.1 ? 0.35 .

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为 3 的零件有 3 个，记作 x1 , x2 , x3 ；等级为 5 的零件有 2 个， 记作 y1 , y2 . 从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任意抽取 2 个零件，所有可能的结果为：
( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , x3 ), ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y1 ), ( x3 , y2 ), ( y1 , y2 )

共计 10 种.

??????9 分

记事件 A 为“从零件 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取 2 件，其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为 ( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x2 , x3 ), ( y1 , y2 ) 共 4 个. ??????11 分 故所求概率为 P ( A) ?
4 10 ? 0.4 .

??????12 分
C C1

18.解：（1）证明：? 该几何体的正视图为矩形，侧视图为 等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，? BA, BC , BB1 两两 互相垂直。 ∵ BC // B1C1 ， B1C1 ? 平面C1 B1 N ， BC ? 平面C1 B1 N ， ∴ BC // 平面C1 B1 N ?? 4 分 （2）连 BN，过 N 作 NM ? BB1 ，垂足为 M， ∵ B1C1 ? 平面ABB1 N ， BN ? 平面ABB1 N ， ∴ B1C1 ? BN ，? 5 分 由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4， BA ? AN ， ∴ BN ?
2
2 2 4 ? 4 ? 4 2 ， B1 N ?

B

M

B1

A

N

NM ? B1M
2

2

?

4 ? 4 = 4 2 ，? 6 分
2 2

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ，
2 2

? BN ? B1 N ，?? 7 分

∵ B1C1 ? 平面B1C1 N，， 1 N ? 平面B1C1 N ， B1 N ? B1C1 ? B1
? BN ? 平面C1 B1 N

?????? 9 分

（3）连接 CN，
VC ? BCN ? 1 3 ? BC ? S ?ABN ? 1 3 ? 4? 1 2 ? 4? 4 ? 32 3

? 11 分

∴ 平面B1C1CB ? ANB1 B ? BB1 ， NM ? BB1 ， NM ? 平面B1C1CB ， ∴ NM ? 平面B1C1CB ，
V N ? B1C1CB ? 1 3 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? 1 3 ? 4? 4?8 ? 128 3

? 13 分 的
32 3 ? 3

此

几
32 3

何
? 64 3

体

体
128 ? 160 3

积 ?14 分

V ? VC ? BCN ? VN ? B1C1CB ?

? 32 V ? VC ? BCN ? V N ? B1C1CB ?

19、(本题满分 14 分)
a ? 2c ? ? 解：（Ⅰ）解：由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?

?????? 2 分

解得： a ? 2, b ? 故 C 的方程为
x
2

3 ，c ?1

? 4分 离心率 e ?
1 2

?

y

2

? 1 . ??? 5 分

?? 7 分

4

3
3 ( x ? 1) ，?? 8 分

（2）直线 F1 A 的方程为 y ?

设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则
? y0 ? 3 ? ?1 ? ? x0 ? ? y0 x0 ? ? 3( ? 1) ? 2 2 ?
3 2 3 2

3 ? ? x0 ? ? 2 ? （联立方程组正确，可得至 10 分） ? 3 ?y ? ? 0 2 ?

所以点 M 的坐标为

(?

,

)

???????????? 11 分

∵ PO ? PM ， PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ，? 12 分
3 2 3 2

| PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |?

(?

? 1) ? (
2

? 0)

2

?

7

????? 14 分

20．解： f '( x) ?

1 x

?

? x ? (a ? x) x
2

?

1 x

?

a x
2

?

x?a x
2

(x ?0)

??????? 2 分
1 2 x ? 1 垂直，，

（1）因为曲线 y ? f ( x) 在点（1， f (1) ）处的切线与直线 y ?

所以 f '(1) ? -2 ，即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. ??????????????4 分 (2)当 0 ? a ? 1 时， f '( x) ? 0 在（1，2）上恒成立， 这时 f ( x) 在[1，2]上为增函数
? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1

???????????????6 分

当 1 ? a ? 2 时，由 f '( x) ? 0 得， x ? a ? (1, 2)
? 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x ) 在[1，a]上为减函数，

对于 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[a，2]上为增函数，
? f ( x) min ? f (a ) ? ln a

?????????????8 分

当 a ? 2 时， f '( x) ? 0 在（1，2）上恒成立， 这时 f ( x) 在[1，2]上为减函数，
? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ? a 2 ? 1 .?????????????10 分

于是，①当 0 ? a ? 1 时， f ( x) min ? a ? 1 ? 0 ②当 1 ? a ? 2 时， f ( x) min ? ln a ，令 ln a ? ③当 2 ? a 时， f ( x) min ? ln 2 ? 综上， a ?
e
a 2 1 2 1 2

，得 a ? ?12 分

e ?11 分

? 1 ? ln 2 ?

???????????14 分

21、【解】：（1）由知得：

1 a n ?1

?

1 an

? 1 ，即

1 a n ?1

?

1 an

?1

所以数列 {

1 an

} 为首项为 1，公差为 1 的等差数列，??2 分

?

1 an

? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n
1 n

从而 a n ? （2） bn ?

?????????????4 分
? n 2
3 2 3 2
4 3

1 2 ? an
n

n

??5 分
n 2 n 2
n +1 n

所 以
1 2

Tn ? 1 2
2

1 2 +

+ 2 2
3

2 2
2

+

+? +

? ? ? ， ? ? ① ，?????②

Tn ?

+

+? +

由① ? ②，
1 n [1 ? ( ) ] n 1 n n 2+n 2 ? 2 ? n +1 ? 1 ? ( ) ? n +1 ? 1 ? n +1 ． 1 2 2 2 2 1? 2 1

得 Tn ?
2

1

1 2

+

1 2
2

+

1 2
3

+? +

1 2
n

? 2

n
n +1

所以 Tn ? 2 ? （3）
2

2+n 2
n

．

?????????????????9 分
1 n
2

1 ? a n ? a n ?1 ? 1 ?
2

?

1 ( n ? 1)
2

?

n ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? n
2 2 2

2

n ( n ? 1)
2

2

?

n( n ? 1) ? 1 n( n ? 1)

?1?

1 n( n ? 1)

?1?

1 n

?

1 n ?1

， ??11 分

2013

P?

?
i ?1

1 ? ai ? ai ?1
2 2

? (1 ?

1 1

?

1 2

) ? (1 ? 1

1

1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) 2 3 3 4 2013 2014

? 2014 ?

2014
所以，不超过 P 的最大整数为 2013． ????????????14 分