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【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库:选4-4-2参数方程]


第二节

参数方程

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1.能化为普通方程 x2+y-1=0 的参数方程为(
? ?x=sint, A.? 2 ? ?y=cos t ? ?x= 1-t, C.? ? ?y=t ? ?x=tanφ, B.? 2 ? ?y=1-tan φ

? ?x=cosθ, D.? 2 ?y=sin θ ?

)

解析 由 x2+y-1=0,知 x∈R,y≤1. 排除 A、C、D,只有 B 符合. 答案 B

2.(2014· 合肥模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方
? ? ?x=t, ?x=cosθ+1, 程为? (t 为参数, t∈R), 圆 C 的参数方程为? (θ ?y=t+1 ?y=sinθ ? ?

为参数,θ∈[0,2π)),则圆心 C 到直线 l 的距离为( A.0 C. 2 B.2 2 D. 2

)

解析 直线 l 的普通方程为 x-y+1=0,圆 C 的普通方程为(x- 1)2+y2=1,则圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 d= 选 C. 答案 C |1-0+1| = 2,故 12+?-1?2

? , ?x=-2+tsin20° ? 3. (2014· 太原模拟)直线 l: (t 为参数)的倾斜 ? ?y=5+tcos20°

角为(

)

A.20° C.160°

B.70° D.120°

? , ?x=-2+tsin20° 解析 方法 1:将直线 l:? (t 为参数)化为参 ?y=5+tcos20° ? ? ?x=-2+tcos70° 数方程的标准形式为? (t 为参数),故直线的倾斜角 ? ?y=5+tsin70°

为 70° .
?x=-2+tsin20° , ? 方法 2:将直线 l:? (t 为参数)化为直角坐标 ? ?y=5+tcos20°

cos20° sin70° 方程为 y-5= sin20° (x+2),即 y-5=cos70° (x+2), ∴y-5=tan70° (x+2),∴直线的倾斜角为 70° . 答案 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
? ? ?x=2+t, ?x=3cosα, 4.直线? (t 为参数)与曲线? ?y=-1-t ?y=3sinα ? ?

(α 为参数)的交点个数为__________. 解析 将直线化为一般方程为 x+y-1=0, 曲线转化为一般方程 为 x2+y2=9,圆心(0,0)到直线的距离 d= 曲线的交点个数为 2. 答案 2
? ?x=2-t, 5.(2014· 皖北联考)直线? (t 为参数)交极坐标方程为 ρ ? ?y=2+t

1 2 = 2 <r=3,故直线与 2

=4cosθ 的曲线于 A、B 两点,则|AB|等于__________. 解析 由题意得直线方程为 x+y-4=0,曲线 ρ=4cosθ 的直角

坐标方程为 (x-2)2+y2=4,则圆心到直线的距离为 d= 2,弦|AB| =2 r2-d2=2 4-2=2 2. 答案 2 2 6 . (2014· 安徽模拟 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C :
? ? ?x=5cosθ-1, ?x=4t+6, ? (θ 为参数)和直线 l:? (t 为参数),则直 ? ? ?y=5sinθ+2 ?y=-3t-2

线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于__________. 解析 圆 C 的方程为(x+1)2+(y-2)2=25,直线 l 的方程为 3x + 4y - 10 = 0 ,圆心到直线的距离为 d = 2 25-1=4 6. 答案 4 6
? ?x=t, ? 7. (2013· 湖南卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 l: ?y=t-a ? ? ?x=3cosφ, (t 为参数),过椭圆 C:? (φ 为参数)的右顶点,则常数 a ? ?y=2sinφ

|-3+8-10| = 1 ,弦长为 5

的值为________. x2 y2 解析 椭圆 C: 9 + 4 =1,右顶点(3,0)代入直线 l:y=x-a 得 a =3. 答案 3 8.(2013· 重庆卷)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ρcosθ=4 的直线与
2 ? ?x=t , 曲线? (t 为参数)相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 3 ? ?y=t

解析

2 ? ?x=t 2 ρcosθ=4 化为普通方程 x=4,? 3 化为普通方程 y = ?y=t ?

x3,联立解得 A(4,8),B(4,-8),故|AB|=16. 答案 16

9. (2013· 陕西卷)如图, 以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数, 则 圆 x2+y2-x=0 的参数方程为________. 1 1 1 解析 由题意得圆的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)在 x 1 1 ? x=2+2cosα, ? 1 轴上,半径为2,则圆的参数方程为? 1 ? y = ? 2sinα

(α 为参数),而

由 于 α 为 圆 心 角 , θ 为 同 弧 所 对 的 圆 周 角 , 则 α = 2θ , 得 1 1 ? x = ? 2+2cos2θ, ? 1 ? ?y=2sin2θ 答案
2 ? ?x=cos θ, (θ 为参数),即? (θ 为参数). ?y=sinθcosθ ?

?x=cos2θ, ? ? (θ 为参数) ? ?y=sinθcosθ

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.(2013· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程

2 ? ? ?x=t+1, ?x=2tan θ, 为? (t 为参数), 曲线 C 的参数方程为? (θ 为参 ?y=2t ?y=2tanθ ? ?

数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
?x=t+1, ? 解 因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数),由 x=t+1 ? ?y=2t

得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x.
?y=2?x-1?, ? 解方程组? 2 ? ?y =2x,

1 得公共点的坐标为(2,2),(2,-1). 11 . (2013· 新 课标全 国卷Ⅱ ) 已知动点 P , Q 都在 曲线 C :
? ?x=2cost, ? (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α(0<α<2π), ? ?y=2sint

M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨 迹是否过坐标原点. 解 ( Ⅰ ) 依题意有 P(2cosα , 2sinα) , Q(2cos2α , 2sin2α) ,因此

M(cosα+cos2α,sinα+sin2α). M 的轨迹的参数方程为
?x=cosα+cos2α ? ? (α 为参数,0<α<2π). ? ?y=sinα+sin2α

(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cosα(0<α<2π). 当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.

12.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+ y2=4. (1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,

圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.
? ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± 3, ?ρ=4cosθ ?

故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 π? ? π? ? ?2, ?,?2,- ?. 3? ? 3? ?
?x=ρcosθ, ? (2)方法 1:由? ?y=ρsinθ, ?

得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3).
? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? - 3≤t≤ 3. ? ?y=t, ? ?x=1, ? π π? ? ? ? ?或参数方程写成?y=tanθ, -3≤θ≤3? ? ? ? ? ?x=ρcosθ, 1 方法 2:将 x=1 代入? 得 ρcosθ=1,从而 ρ=cosθ. ? ?y=ρsinθ,

于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
?x=1, ? ? ? ?y=tanθ,

π π -3≤θ≤3.


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