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北师大数学必修一2.4.1


§ 4

二次函数性质的再研究

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4.1

二次函数的图像

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基础知识 1.理解二次函数的定 义.(重点) 2.掌握二次函数的图像变 换.(难点)

基本能力 1.会

利用待定系数法求二次函数 的解析式.(重点) 2.掌握二次函数图像的应用.(难点)

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基础知识梳理
1.定义 (1)形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫作二次函数,其中 a,b,c 分别 称为二次项系数、一次项系数、常数项.解析式 y=ax2+bx+c(a≠0) 称为二次函数的一般式,二次函数的解析式还有其他两种形式: 顶点式:y=a(x+h)2+k(a≠0); 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)说明:所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式,并不是所 有二次函数的解析式均有两根式,只有函数图像与 x 轴有交点的二 次函数才有两根式.
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【自主测试 1】二次函数 f(x)的图像与 x 轴交于(-2,0),(4,0)两点, 且顶点为
9 1,2

,求函数 f(x)的解析式.

解:设所求函数解析式为 f(x)=a(x+2)(x-4), ∵函数图像过顶点
9 1,2

,

9 ∴-2=a(1+2)(1-4),解得

1 a=2. 1

∴所求函数解析式为 f(x)=2(x+2)(x-4), 即 f(x)=2x2-x-4.
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1

2.图像变换 (1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式 y=a(x+h)2+k(a≠0), 再由二次函数 y=x2 的图像经过下列的变换得到: ①将函数 y=x2 的图像各点的纵坐标变为原来的 a 倍,横坐标不 变,得到函数 y=ax2 的图像. 说明:函数 y=f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的 a(a≠0)倍,横坐 标不变,得到函数 y=af(x)的图像.

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②将函数 y=ax2 的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长 度得到 y=a(x+h)2 的图像. 说明:将函数 y=f(x)的图像向左平移 a(a>0)个单位长度得到函数 y=f(x+a)的图像;将函数 y=f(x)的图像向右平移 a(a>0)个单位长度 得到函数 y=f(x-a)的图像.简称为“左加(+)右减(-)”.

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③将函数 y=a(x+h)2 的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单 位长度得到 y=a(x+h)2+k 的图像. 说明:将函数 y=f(x)的图像向上平移 b(b>0)个单位长度得到函数 y=f(x)+b 的图像;将函数 y=f(x)的图像向下平移 b(b>0)个单位长度 得到函数 y=f(x)-b 的图像.简称为“上加(+)下减(-)”. (2)一般地,二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0),a 决定了二次函数图像 的开口大小和方向;h 决定了二次函数图像的左右平移,而且“h 正左 移,h 负右移”;k 决定了二次函数图像的上下平移,而且“k 正上移,k 负 下移”.

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【自主测试 2】 将函数 y=4x2+2x+1 写成 y=a(x+h)2+k 的形式, 并说明它的图像是由 y=4x2 的图像经过怎样的变换得到的? 解:y=4
2

1 1 + 2 x + 16 1 2 +4

1 +1-4=4



1 2 +4

+ 4.
2

3

要得到 y=4
3 4

3 + 4的图像需将

y=4x

1 先向左平移4个单位

长度,再向上平移 个单位长度.

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重点难点突破
怎样快速画出二次函数图像的草图? 剖析:下面举例说明.例如画出函数 y=2x2-4x-6 的草图. 把函数的解析式化为顶点式为 y=2(x-1)2-8,可得顶点坐标(1,-8); 与 x 轴的交点是点(-1,0)和点(3,0);对称轴是直线 x=1;抛物线的开口 向上. 画法步骤:

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(1)描点画线:在平面直角坐标系中,描出点(1,-8),(-1,0),(3,0),用 虚线画出直线 x=1;

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(2)连线:用光滑的曲线连点(1,-8),(-1,0),(3,0),在连线的过程中, 要保持关于直线 x=1 对称,即得函数 y=2x2-4x-6 的草图,如图所示. 由此可见,画抛物线时,重点体现抛物线的“三点一线一开口”的 特征.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对 称的两个点,常取与 x 轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开 口”是指抛物线的开口方向.根据这些特征在坐标系中可快速画出 抛物线的草图.

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典型例题领悟
题型一 求二次函数的解析式

【例题 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值 为 8,试确定此二次函数的解析式. 解法一:利用二次函数的一般式. 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得 4 + 2 + = -1, = -4, - + = -1, 解得 = 4, 2 4- = 7. = 8,
4

故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.
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解法二:利用二次函数的两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1(a≠0). 又函数有最大值
-4(2+1)-2 8,所以 =8. 4

解得 a=-4. 故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

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解法三:利用二次函数的顶点式. 设 f(x)=a(x+m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), ∴抛物线的对称轴为 x= 2 又∵f(x)的最大值为 8, ∴n=8. ∴f(x)=a
1 2 - 2 +8. 2+(-1)

= 2,即 m=-2.

1

1

∵f(2)=-1, ∴a
1 2 2+8=-1,解得 2

a=-4.

∴f(x)=-4

1 2 - 2 +8=-4x2+4x+7.

故所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.
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求二次函数的解析式, 应根据已知条件的特点, 灵活运用 解析式的形式, 选取最佳方案, 利用待定系数法求解. ( 一般式: 1) y=ax2+bx+c( , , 为常数, ≠0) ab c a . 当已知抛物线上任意三点时, 通常将函数的解析式设为一般式, 然后列出三元一次方程组并求解. ( 顶点式: ( )+k( , , 为常数, ≠0) 2) y=a x+h 2 a h k a . 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时, 通常将函数的 解析式设为顶点式. ( 两根式: ( 1) x-x2) a, 1, 2 是常数, ≠0) 3) y=a x-x ( ( xx a . 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标时, 通常将函数的 解析式设为两根式.
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题型二

图像变换

【例题 2】 函数 f(x)=x2 的图像经过怎样的变换,得到函数 g(x)=4x2-2x-1 的图像? 解:g(x)=4x -2x-1=4
2

1 2 - 4

? 4.

5

变换的步骤是: (1)将函数 f(x)=x2 的图像上各点的纵坐标变为原来的 4 倍,横坐 标不变,得到函数 f(x)=4x2 的图像; (2)将函数 f(x)=4x2 的图像向右平移 个单位长度,得到函数 f(x)=4
1 2 - 4 的图像; 1 4

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(3)将函数 f(x)=4 f(x)=4
1 2 - 4 5

1 2 5 - 4 的图像向下平移4个单位长度,得到

? 4的图像,即得到函数 g(x)=4x2-2x-1 的图像.

所有二次函数的图像均可以由函数 f(x)=x2 的图像经过变换得 到.变换时,先将二次函数的解析式化为顶点式,再确定变换的步骤.

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题型三

图像的应用

【例题 3】 画出函数 f(x)=-x2+2x+3 的图像,并根据图像回答下列问 题: (1)比较 f(0),f(1),f(3)的大小; (2)若 x1<x2<1,比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (3)求当 x 分别为何值时,y<0,y=0,y>0.

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解:函数 f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 的图像如图所示.

(1)由图可知,二次函数 f(x)图像的对称轴为 x=1,开口向下,且 |0-1|<|3-1|,故 f(1)>f(0)>f(3).

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(2)∵x1<x2<1, ∴|x1-1|>|x2-1|, 又∵f(x)的图像对称轴为 x=1,开口向下, ∴f(x1)<f(x2). (3)由图可知, 当 x>3,或 x<-1 时,y<0; 当 x=-1,或 x=3 时,y=0; 当-1<x<3 时,y>0.

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根据配方法将函数的解析式化为顶点式,作图时,注意关键点 的选取,如与 x 轴、y 轴的交点、顶点等,还应注意开口方向、对称轴 及增减性,使画图的操作更方便,图像更准确.

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随堂练习巩固
1.二次函数 y=x2+x+1 的图像的开口方向和顶点坐标分别为( A.向下,(1,1) B.向上,(1,1) C.向下, - 2 , 4
1 3

).

D.向上, - 2 , 4

1 3

答案:D 2.将函数 y=x2 的图像向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位 长度后,所得函数的解析式为( ). A.y=(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-1 答案:C B.y=(x-2)2+1 D.y=(x+2)2-1

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3.如图所示,当 ab>0 时,函数 g(x)=ax2 与 f(x)=ax+b 的图像是(

).

答案:D 4.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数的图像关于 y 轴对称,则必 有 . 答案:b=0

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5.把函数 y=4x2 的图像上各点的纵坐标变为原来的4,横坐标不变,所 得图像的函数解析式为 . 答案:y=x2 6.已知二次函数 f(x)的图像的对称轴是直线 x=-1,并且经过点(1,13) 和(2,28),求二次函数 f(x)的解析式. 分析:设出二次函数的顶点式,利用待定系数法求函数 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=a(x+1)2+k, 由题意得 f(1)=13,f(2)=28, 则有 4 + = 13, 解得 a=3,k=1, 9 + = 28,

1

所以 f(x)=3(x+1)2+1, 即 f(x)=3x2+6x+4.
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本课结束 谢谢观看

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