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中国古代的算法教学案


高一数学教学案
中国古代的算法案例

材料编号:24

班级 姓名 学号 设计人: 贾仁春 审查人: 孙慧欣 使用时间: 08.04.10 一、学习目标: 1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法; 2.更减损之术、辗转相除法、秦九韶算法解题。 二、学习重、难点: 1.学习重点:理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法; 2.学习难点:各种方法的应用。 三、课前自学: (一)知识点梳理 学点一:更相减损之术(等值算法) 对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,接着把所得差与较小的数比较,并以大数减 小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,这个数就是所求的最大公约数。 学点二:辗转相除法 对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则余数和较小的数构成的新的两 数,继续上面的除法,直到余数为零,这时较小的数就是原两数的最大公约数。 学点三:秦九韶算法 对于一元 n 次多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ... ? a1x ? a0 ,可以通过一次式反复计算, 逐步得出高次多项式的值,这种方法称为秦九韶算法。 即求:

V0 ? an V1 ? an x ? an ?1 V2 ? V1 x ? an ? 2 V3 ? V2 x ? an ?3 ... Vn ? Vn ?1 x ? an
学点四:割圆术 半径为单位长度的圆,其面积为 ? ,则其内接正多边形的面积随着边数增大而趋近于 ? , 从而得到计算圆周率 ? 的方法。

1

(二)课前检测: 1.用 “更相减损之术”可求得 204 与 85 的最大公约数为( A.15 B.17 C.51 D.85



2.

























x ? x0





求 )

f ( x) ? 3x6 ?12x5 ? 60x4 ?160x3 ? 240x2 ?192x ? 64 的值,所做的乘法次数分别为(
A.6,20 B.7,20 C.7,21 D6,21

3.8215 和 6105 的最小公倍数



四、例题解析: 题型一:求最大公约数 例 1. 用“更相减损之术” (等值算法)求下列两数的最大公约数 (1)225,135; (2)98,280; (3)72,168; (4)153,119

例 2.用辗转相除法求上例中两数的大公约数。

2

例 3.求三个数 324,243,270 的最大公约数。

题型二:求最小公倍数 例 4.求 375,85 的最小公倍数

提醒三:求多项式的值 例 5.求多项式 f ( x) ? 2x ? 5x ? 4x ? 3x ? 6x ? 7,当x ? 5 时的值。
5 4 3 2



五、重难点突破: 1.辗转相除法和更相减损之术是求两数的最大公约是的基本方法; 2.利用秦九韶算法求多项式的值时,要先将多项式降幂排列。转化成一次因式的积,这样可以减 少运算次数。
3

六、跟踪练习: 1.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是( ) A.80 与 36 的最大公约数为 4 B.294 和 84 的最大公约数为 42 C.85 和 357 的最大公约数为 34 D.228 和 741 的最大公约数为 57

2.有关辗转相除法下列说法正确的是( ) A.它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法 B.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=nq+r,直到 r<n 为止 C.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=nq+r(0 ? r<n), 反复进行直到 r ? 0 为止 D. 以上说法都错误 3.用“辗转相除法”求得 168 与 486 的最大公约数为( ) A.6 B.9 C.17 D.57

5.用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 3x ? 4x ? 5x ? 6x ? 7 x ? 8x ? 1,当x ? 0.4 的值时,需要
6 5 4 3 2

做算法与加法的次数为( ) A.6,6 B.5,6 C.5,5

D.6,5

6.用秦九韶算法求 n 次多项式 f ( x) ? an xn ? an?1xn?1... ? a1x ? a0 ,当x ? x0 ,当 x0 (是任意实数) 时的值,需要 次求乘法运算, 次加法运算。

7.用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? 3x ? 8x ? 3x ? 5x ? 12 x ? 6,当x ? 2 时的值。
5 4 3 2

4



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