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高中数学人教A版选修1-1全优课堂同步课件3.4生活中的优化问题举例


通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题,使学生体会 导数在解决实际问题中的作用, 会利用导数解决简单的实际生活中 的优化问题. 自学导引 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题, 优化问题 , 导数 这些问题通常称为_________ 通过前面的学习, 我们知道, ______ 导数 ,可以解决一些生活 是求函数最大(小)值的有力工具,运用______

优化问题 . 中的___________ 2.解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化 函数关系 ,这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函数的 成___________ 极值 和______ 端点 的函数值确定,当定义域是开区间,而且 最值要由______ 唯一 的极值,则它就是函数的最值. 其上有______ 3.解决优化问题的基本思路是: 数学建模 过程. 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ 自主探究 1.如何确定函数的定义域? 【答案】 (1)根据图形确定定义域.例如,长方体的长、宽、高都大于 零. (2)根据问题的实际意义确定定义域.例如,求最大利润问题 时,注意销售单价大于成本、销售量大于零,物体的个数一般为正 整数,这是确定定义域的依据. 2.如何求解用料最省问题? 【答案】 用料最省、 费用最低问题出现的形式多与几何体有关, 解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体 积入手),将这一指标表示为自变量 x 的函数,利用导数或其他方 法求出最值,但一定要注意自变量的取值范围. 预习测评 1.一个圆锥形漏斗的母线长为 20,高为 h,则体积 V 的表达 式为( ) 1 A. π(400-h2)h B.π(400-h2)h 3 1 C. πh 400-h2 D.πh 400-h2 3 【答案】A 2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存 款利率的平方成正比,比例系数为 k(k> 0).已知贷款的利率为 0.048 6, 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去. 设存款利率为 x, x∈(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则 x 的取值为( ) A.0.016 2 B.0.032 4 C.0.024 3 D.0.048 6 【答案】B 3.某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边 可以利用原有的墙壁, 其他三边需要砌新的墙壁, 若使砌壁所用的 材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( ) A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18 【答案】A 要点阐释 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 第一步:建立实际问题的数学模型; 第二步:求函数的导数 f′(x),令 f′(x)=0,求出极值点; 第三步:比较函数在区间端点和极值点处的取值大小,确定其 最大值或最小值. 2.解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题中的最大(小)值时, 一定要考虑实际问题的意 义. (2) 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函数在这点处有极大(小)值,那么不与端点 值比较,也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系 用函数关系式表示,还应确定出函数关系式中自变量的取值范围. 典例剖析 题型一 费用最少问题 【例 1】 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥 墩的工程

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