当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考


2016 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考
一、填空题,每题 8 分 1.设 sin x ? cos x ?

1 ,则 sin 3 x ? cos3 x ? 2

解 答 : 由 sin x ? cos x ?

1 1 3 n cxo? s , 故 sin x cos x ? ? , 从 而

, 可 得 1 ? 2 s ix 2 4 8 1 3 11 (1 ? ) ? 2 8 16

sin 3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(sin 2 x ? cos x sin x ? cos 2 x) ?
2.设 i 为虚数单位,化简 (i ? 1)2016 ? (i ? 1)2016 ? 解 答 : 由 (i ? 12 )? i 2 , 可 得 (i ? 12 )0 1?6

0 0 8 同 理 可 得 (i ? 12 )0 1?6 2 1,

0 0 2 1故

8

(i ? 1)2016 ? (i ? 1)2016 ? 21009
3.已知等差数列 a1 , a2 ,?a1000 的前 100 项之和为 100,最后 100 项之和为 1000,则 a1 ? 解答:设等差数列的公差为 d,则有 100a1 ? 4950d ? 100 , 100a1 ? 94950d ? 1000 解得

a1 ? 0.505
4.集合 整数。 解答:设 f (x) ? ?x ? ? ?2x ?? ? 3x ? 则有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 6 ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) 的所有 可 能 值 为 0,1,2,3. 由 此

?? x ? ? ? 2 x ? ? ?3x ? x ? R? ? ?1, 2,?,100? 共有个元素,其中 ? x? 表示不超过 x 的最大

? f ( x) 得 值 域 S ? ?6 k , 6k

1 ,k ?6

2 k ? , 6? k ?, 3 Z

?? x? ? ? 2 x? ? ?3x? x ? R? ? ?1, 2,?,100? ? 4 ? 17 ? 1 ? 67 个元素。
5.若关于 x 的方程 x 2 ? ae x 有三个不同的实根,则实数 a 的取值范围是 解答:设 f ( x) ? x e ,则 f '( x) ? (2 x ? x )e
2 2 ?x ?x

当 x ? 0 时, f ( x) ? x e 单调递减,当
2 ?x

0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x 2e? x 单调递增,当 x ? 2 时, f ( x) ? x 2e? x 单调递减, f (0) ? 0 ,

f (2) ? 4e?2 ,当 x ??? 时 f ( x) ? 0 因此, f ( x) ? x2e? x ? a 有三个不同的实根当且仅
当 0 ? a ? 4e
?2

O 为正方体的中心,点 M , N 分别在 6.在如图所示的单位正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,设
棱A 1M ? 1D 1 , CC1 上, A

1 2 , CN ? ,则四面体 OMNB1 的体积等于 2 3

M A1

D1 B1

C1 N

D A

O B

C

x, y , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 有 解 答 : 以 A 为 原 点 , AB, AD, AA 1 为

??? ? ???? ????

1 1 1 2 O( , ,0), M (0, ,1), N (1,1, ), B1 (1,0,1) 由 此 四 面 体 OMNB1 的 体 积 2 2 2 3 ? ? ? 1? ? ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? V? O B ? O? N O ? M 1 6 7 2 7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点,P 经过 E 的两个焦点, 并且 P 与 E 恰有三个交点, 则 E 得离心率等于
解答: 不妨设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 P 经过 E 的两个焦点, ? ? 1(a ? b ? 0) , x2 ? 2cy ? c2 a 2 b2
c 2 5 ? a 5

a 2 ? b2 ? c 2 , P 与 E 恰有三个交点,所以 c ? 2b ,则 E 得离心率等于 e ?

8.等可能地随机产生一个正整数 x ??1,2,?,2016? , 则 x 在二进制下的各位数字之和不超过 8 的概率等于 解答:设 x ??1,2,?,2016? 的二进制表示是 ( x10 x9 ? x1x0 )2 即 x ?
10 10

? x 2 其中 x ??0,1?
i i ?0 i

10

i

我们考查满足 此 x 的个数为

其充分必要条件为 p ? ? xi ? 5 且 q ? ? xi ? 9 ? p 如 ? xi ? 8 的 x 的个数。
i ?0 i ?5 i ?5

10

p ? 5, q ? 9 ? p

?

q =51 ,从而 x 在二进制下的各位数字之和不超过 8 的个数为 C6PC5

2016 ? 51 ? 1965 ,因此所求概率为
二、简答题

1965 655 ? 2016 672
2 2an ?1 ? 3an ?1 ? 9 , n ? 2 。用数学归纳法证明: 2an ? 2

9. 已知数列 ?an ? 满足 a0 ? 1, a1 ? 5, an ?

an ? 2n ? 2 ? 3
证明: a0 ? 1 ? 22 ? 3, a1 ? 5 ? 23 ? 3, 从而 an ? 2n ? 2 ? 3 对 n ? 0,1 成立。 当 n ? 2 时假设 an ?1 ? 2n ?1 ? 3 , an ? 2 ? 2n ? 3 由递推公式可得

an ?

2 2an 2(2n ?1 ? 3)2 ? 3(2n ?1 ? 3) ? 9 4 ? 22n ? 15 ? 2n ? 9 ?1 ? 3an ?1 ? 9 ? ? ? 2n ? 2 ? 3 2an ? 2 2(2n ? 3) 2n ? 3

由此, an ? 2n ? 2 ? 3 对一切 n ? 0 成立。

10.设△ ABC 的内切圆与三边相切于点 D, E, F 证明△ ABC 与△ DEF 相似当且仅当△
ABC 为正三角形。

A F O E

B

D
? ?C
2

C
1 ??A ? ?B ?FOE ? , ?DEF ? , 2 2 2

证明:如图,设 O 为△ ABC 的内心,则 ?FDE ?

?EFD ?

,不妨设 A ? B ? C ,则 ?FDE ? ?DEF ? ?EFD 从而△ ABC 与△

DEF 相似可得 ?FDE ? C, ?DEF ? B, ?EFD ? A 所以

A ? 2C ? ? ,3B ? ? ,2 A ? C ? ? 从而 A ? B ? C ?
2 2 11.证明: 对任意的实数 a, b, c 都有 a ? ab ? b ?

?
3
a 2 ? ac ? c 2 ? 3a 2 ? (a ? b ? c )2 并

求等号成立的充分必要条件。

证明方法一: a 2 ? ab ? b 2 ? a 2 ? ac ? c 2 ? 3a 2 ? (a ? b ? c)2 两边平方
? 2a 2 ? a (b ? c) ? b 2 ? c 2 ? 2 (a 2 ? ab ? b 2 )(a 2 ? ac ? c 2 ) ? 4a 2 ? 2a (b ? c) ? (b ? c) 2
移项合并 ?

1 (a 2 ? ab ? b 2 )(a 2 ? ac ? c 2 ) ? a 2 ? a (b ? c ) ? bc 两边平方展开可得 2

? a 4 ? a3 (b ? c) ? a 2 (b 2 ? bc ? c 2 ) ? abc(b ? c) ? b 2c 2 移项合并 1 ? a 4 ? a3 (b ? c) ? a 2 ( (b ? c) 2 ? 2bc ? c 2 ) ? abc(b ? c) ? b 2c 2 2
? 3 2 2 3 a (b ? c 2 ) ? a 2bc ? a 2 (b ? c)2 ? 0 4 2

不等式成立的必要是 a(b ? c) ? 0 当 a ? 0 不等式等号成立等价于 bc ? 0 ,当 b ? c 时不等式等号成立。

综上所述,不等式等号成立的充分必要条件是 a ? 0 且 bc ? 0 或者 b ? c
证明方法二:设向量 ? ? (a ?

b 3 c 3 , b), ? ? (a ? , c) 则 2 2 2 2

? ? ? ? a 2 ? ab ? b 2 ? a 2 ? ac ? c 2
? ? ? ? (2a ?
b?c 2 3 ) ? (b ? c)2 ? 3a 2 ? (a ? b ? c)2 2 4

根据三角不等式 ? ?

? ? ? ? ? 即可得所要证明的不等式,不等号成立的充分必要条件
b 2 c 2

-b(a ? )=0 ? a(b ? c) ? 0 ,以下同证 是 ?、? 平行且方向相同。当 ?∥? 时, c(a ? )
明方法一。

12.求满足 1 ? mn ? nm ? mn 的所有正整数对 (m, n)
解答:引理 1: f ( x) ?

ln x 在 (0, e? 上单调递增,在 ?e, ?? ? 上单调递减。 x

引理 2:当 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x

由引理 1 可得 mn ? nm ?

ln m ln n ? 有以下情形, m n

情形一: n ? 1, m ? 2 , (m, n) 均满足题设 情形二: m ? 2, n ? 5 设 g ( x) ? 2 ? x ? 2x, x ? 5 则 g ( x) ? 2 ln 2 ? 2 x ? 2 ? 0
x 2 ' x

由 g (5) ? ?3, g (6) ? 16 ,可得满足题设条件的 (m, n) 只有 (2,5)

情形三: m ? 3, n ? 2 易知满足要求。 情形四: m ? 3, n ? m ? 1 ,设

g ( x) ? mx ? xm ? mx 当 x ? m ? 1 时 g ' ( x) ? mx ln m ? mxm ? m ? xm ? mxm?1 ? m ? xm?1 ? m ? 0 所以 g ( x) ? mx ? xm ? mx 单调递增,因此,
1 ? ? g (n) ? g (m ? 1) ? mm ?1 ? (m ? 1) m ? m(m ? 1) ? mm ?1 ?m ? (1 ? ) m ? ? m(m ? 1) m ? ?
当 m ? 3 时, g (m) ? 5 当 m ? 4 时, g (m) ? mm ? m(m ? 1) ? 0 无 (m, n) 满足题设条件。 综上,所有满足题设条件的正整数为 ( m,1),(2,5)(3, 2) m ? 2

?

?


相关文章:
2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考
2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考一、填空题,每题 8 分 1...
2016全国高中数学联赛安徽预赛试题及其解答
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016全国高中数学联赛安徽预赛试题及其解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 高中数学联赛 安徽 文档...
2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2016 年 ...
2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2015 年...
2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版)
2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严 格...
2015年全国高中数学联赛安徽省初赛
2015年全国高中数学联赛安徽省初赛_高中教育_教育专区...的题目中至少有 5 道相同. 试题解答一、填空题(...文档贡献者 hanmerh6 贡献于2016-02-27 相关文档...
2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题(考试时间:2015...
2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案及评分细则
2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案及评分细则_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案及评分细则 ...
2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题,参考答案及评分标准
2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题,参考答案及评分标准_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛(四川)初赛试题 参考答案及评分标准(第 1 页共 ...
更多相关标签:
安徽省物理竞赛初赛 | 安徽省大学生篮球联赛 | 2016安徽省数学联赛 | 安徽省大学生足球联赛 | 安徽省初中数学联赛 | 安徽省高中足球联赛 | 2016年安徽省篮球联赛 | 主持人大赛初赛评分表 |