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第十章 博弈论初步


第十章 博弈论初步
第一节 博弈论和策略行为
1.博弈论的含义 博弈论是研究在策略性环境中如何进行策略 性决策和采取策略性行动的科学。 策略性环境是指,每一个人进行的决策和采 取的行动都会对其他人产生影响;策略性决策和 策略性行动是指,每个人要根据其他人的可能反 应来决定自己的决策和行动。
1

2.博弈的三个基本要素 三个基本

要素,即参与人、参与人的策略和参与人的 支付。 所谓参与人(或称局中人),就是在博弈中进行决策 的个体; 所谓参与人的策略,指的是一项规则,根据该规则, 参与人在博弈的每一时点上选择如何行动; 所谓参与人的支付是指,在所有参与人都选择了各自 的策略且博弈已经完成之后,参与人获得的效用(或期望 效用)。 3.博弈的简单分类 根据参与人的数量,可以分为二人博弈和多人博弈; 根据参与人的支付情况,可分为零和博弈和非零和博弈; 根据参与人拥有的策略的数量多少,可分为有限博弈和无 限博弈;根据参与人在实施策略上是否有时间的先后,可 分为同时博弈和序贯博弈。
2

第二节 完全信息静态博弈:纯策略均衡
博弈的两种类型:“同时博弈”、“序贯博弈” 同时博弈:参与人同时进行决策或行动的博弈; 序贯博弈:参与人的决策和行动有先有后的博弈

一、例子:寡头博弈
假定在某个寡头市场上,只有甲、乙两个厂商。 每个厂商都有两个可供选择的策略,即合作和不合作。

两个厂商各自选择的策略共形成四个组合。

3

二、支付矩阵
1.支付矩阵 使用支付矩阵来描述和分析只有两人参加且两人同 时进行决策的简单博弈。 矩阵的左边表示甲厂商的策略,上边表示乙厂商的 策略;矩阵中四个单元格里的数字组合分别表示博弈的 四个结果即支付,其中每一个数字组合的第一个数字是 甲厂商得到的支付,第二个数字是乙厂商得到的支付。 2.子矩阵 支付矩阵可以一分为二,即拆成两个“小”的子支 付矩阵。其中,一个为甲厂商的支付矩阵,由原矩阵每一 单元格中的第一个数字组成;另一个为乙厂商的支付矩 阵,由原矩阵每一单元格中的第二个数字组成。
4

乙厂商
合作 不合作

甲 厂 不 商

合 作

5 7

6 1

1 2

5 3

合 作

三、条件策略和条件策略组合
1.甲厂商的条件策略和条件策略组合 把甲厂商在乙厂商选择合作条件下的最优策略即不合 作叫做甲厂商的条件优势策略或相对优势策略,简称条件 策略。 把与甲厂商的条件策略相联系的策略组合叫做甲厂商 的条件优势策略组合或相对优势策略组合,简称条件策略 组合。 甲厂商分别有两个条件策略和条件策略组合。 2.乙厂商的条件策略和条件策略组合 把乙厂商在甲厂商选择合作条件下的最优策略即合作 叫做乙厂商的条件优势策略或相对优势策略,简称条件策 略。 把与乙厂商的条件策略相联系的策略组合叫做乙厂商 的条件优势策略组合或相对优势策略组合,简称条件策略 组合。 乙厂商也分别有两个条件策略和条件策略组合。 6

四、纳什均衡
1.博弈均衡的概念
当两个厂商的条件策略组合恰好相同,从而,两个 厂商都不再有单独改变策略的倾向时,整个博弈就达到 了均衡,即博弈均衡。 博弈均衡是博弈各方最终选取的策略组合,是博弈

的最终结果,是博弈的解。
2.纳什均衡的概念 纳什均衡,指的是参与人的这样一种策略组合,在 该策略组合上,任何参与人单独改变策略都不会得到好 处。或者说,在一个策略组合中,如果所有其他人都不 改变策略时,没有人会改变自己的策略,则该策略组合 就是一个纳什均衡。
7

“单独改变策略”是指任何一个参与人在所有其他 人都不改变策略的情况下改变自己的策略。其他人也同 时改变策略的情况不在考虑之列。 “不会得到好处” 是指任何一个参与人在单独改变 策略之后自己的支付不会增加,这包括两种情况:或者 支付减少,或者支付不变。 五、寻找纳什均衡的方法——条件策略下划线法 1.基本方法 先用下划线法分别表示甲厂商和乙厂商的条件策略, 最后确定博弈的均衡(就是找到在两个数字之下都划线 的单元格即可,与这些单元格相对应的策略组合就是所 要求的均衡策略组合)。 2.条件策略下划线方法的五步法 第一,把整个的支付矩阵分解为甲厂商的支付矩阵和乙 厂商的支付矩阵; 第二,在甲厂商的支付矩阵中,找出每一列的最大者 (每列的最大者可能不只一个),并在其下划线; 8

第三,在乙厂商的支付矩阵中,找出每一行的最大者 (每行的最大者也可能不只一个),并在其下划线; 第四,将已经划好线的甲厂商的支付矩阵和乙厂商的支 付矩阵再合并起来,得到整个的有下划线的支付矩阵; 第五,在带有下划线的整个的支付矩阵中,找到两个数 字之下均划有线的支付组合,则由该支付组合代表的策 略组合就是均衡的策略组合; 总结: 在一个单元格中,如果两个数字之下均划有线,则 两个参与人都没有单独改变策略的动机,因为这两个数 字分别是列最大值和行最大值;如果两个数字之下均没 有线,则两个参与人都有单独改变策略的动机,因为这 两个数字分别不是列最大值和行最大值;如果两个数字 中一个下面有线一个下面没线,则有线的数字所代表的 参与人没有单独改变策略的动机,没线的数字所代表的 参与人有单独改变策略的动机。
9

六、纳什均衡的存在性、唯一性、稳定性和最优性 1.存在性 在同时博弈中,(纯策略的)纳什均衡既可能存 在,也可能不存在。 2.唯一性 在纳什均衡存在的条件下,它既可能是唯一的, 也可能不唯一。 3.稳定性 如果纳什均衡存在,则它既可能是稳定的,也可 能不是稳定的 4.最优性 如果纳什均衡存在,则它既可能是最优的,也可 能不是最优的。
10

没有纳什均衡的完全信息静态博弈 乙厂商

甲 厂 商


上 下 4, 6 7, 3


9, 1 2, 8

存在多重纳什均衡的完全信息静态博弈 乙厂商

甲 厂 商

左 上 下 5, 6 4, 1

右 1, 4 2, 3

稳定和不稳定的纳什均衡 甲 厂 商
左 上 5, 6

乙厂商
右 2, 4



4, 1

2, 3

七、 纳什均衡和社会福利
1、 囚徒困境和寡头合作的不稳定
李四的策略 坦白 张三的策略 坦白 不坦白 -8,-8 -20,0 不坦白 0,-20 -1,-1

2、 广告大战
B厂商的策略 做广告 不做广告 12,5 10,10 做广告 不做广告 7,7 5,12

A厂商的策略

第三节 完全信息静态博弈:混合策略均衡
一、不存在纯策略均衡时的混合策略均衡
1.混合策略 第一,“确定性”选择 在没有纳什均衡的同时博弈里,所有参与人对策略的 选择都是“确定”的,即某参与人在选择某个策略的时候, 他不能再同时选择其他的策略,此时相应的条件策略也是 “确定”的;最后,当参与人的条件策略是“确定”的时 候,最终的博弈均衡(如果有的话)也是“确定”的。 第二,“混合性”选择 在现实生活中,人们对策略的选择常常并不像前面所 说的那样“非此即彼”,而是会以一定的可能性来选择某 个策略,又以另外的可能性选择另外一些策略。 第三,“混合”策略的概念 把甲厂商和乙厂商原来的策略叫做“纯”策略,把赋 13 予这些纯策略的概率向量叫做“混合”策略。

乙厂商

甲 厂 商

上 下

左 4, 6 7,3

右 9,1 2,8

所有参与人对对策的选择都是“确定”的: 若甲(上),乙必选(左),不能选 (右);若甲(下),乙必选(右),不 能选(左); 若乙(左),甲必选(下),不能选 (上);若乙(右),甲必选(上),不 能选(下);

乙厂商
甲 厂 商

P1(0.6) 上 p2(0.4) 下

q1(0.3) 左 4, 6
7,3

q2(0.7) 右 9,1
2,8

所有参与人对对策的选择不再是“纯策略”, 则是“混合策略”:甲(0.6,0.4),乙 (0.3,0.7),一般地甲(p1,p2),乙(q1, q2);概率必须满足:

0 ? p1, p2, q1, q2 ? 1 p1 ? p2 ? 1, q1 ? q2 ? 1
混合策略(组合)不再是有限的,而是无限的

一、不存在纯策略均衡时的混合策略均衡
2.混合策略组合 参与人的混合策略组合:[(0.6,0.4),(0.3,0.7)] 是一个概率向量组合,其中,每一个概率向量是相应参与 人的一个混合策略:甲(0.6,0.4),乙(0.3,0.7)。 一般地,甲、乙的混合策略分别为概率向量(p1,p2)和 (q1,q2),则相应的混合策略组合为概率向量 组合甲 [(p1,p2),(q1,q2)]。 3.期望支付 在混合策略博弈中,对于每一个混合策略组合,也存 在一个支付组合,其中,每一项也都是相应参与人在该混 合策略组合条件下所得到的支付。不过,由于现在每个参 与人都是以一定的概率来选择其纯策略的,故相应的支付 也就成了所谓的“期望支付”,即支付的期望值。
16

乙厂商 甲 厂 商
q1(0.3) 左 q2(0.7) 右

P1(0.6) 上
p2(0.4) 下

4, 6
7,3

9,1
2,8

E甲 ? p1 ? q1 ? 4 ? p1 ? q2 ? 9 ? p2 ? q1 ? 7 ? p2 ?q 2 ?2

E乙 ? p1 ? q1 ? 6 ? p1 ? q2 ?1 ? p2 ? q1 ? 3 ? p2 ?q 2 ?8

0 ? p1, p2, q1, q2 ? 1 p1 ? p2 ? 1, q1 ? q2 ? 1

由于概率可以是0~1之 间的任意一个值,期望 支付组合(E甲,E乙)有 无数个,不是4个。
17

4.条件混合策略

利用计算期望支付的公式可以求得甲厂商和乙厂商的
条件混合策略(即具有相对优势的混合策略)。

E甲 ? p1 ? q1 ? 4 ? p1( ? 1 - q1) ?9 ? (1 - p1) ? q1 ? 7 ? (1 - p1) ( ? 1 -q1) ?2 ? 4 p1q1 ? 9 p1 ? 9 p1q1 ? 7q1 - 7 p1q1 ? 2 - 2 p1 ? 2q1 ? 2 p1q1 ? 7 p1 ? 10 p1q1 ? 5q1 ? 2 ? p1 (7 ? 10q1 ) ? 5q1 ? 2 E乙 ? p1 ? q1 ? 6 ? p1( ? 1 - q1) ?1 ? (1 - p1) ? q1 ? 3 ? (1 - p1) ( ? 1 -q1) ?8 ? 6 p1q1 ? p1 ? p1q1 ? 3q1 - 3 p1q1 ? 8 - 8 p1 ? 8q1 ? 8 p1q1 ? 10 p1q1 ? 8 ? 7 p1 ? 5q1 ? 5q1 (2 p1 ? 1) ? 8 ? 7 p1
18

? 甲厂商的条件混合策略:

? 甲厂商的条件策略是甲厂商在乙厂商选择某个既 定策略时所选择的可以使其支付达到最大的策略。

? 甲厂商的条件混合策略是甲厂商在乙厂商选择某 个既定混合策略(q1,q2)时所选择的可以使其 期望支付达到最大的混合策略(p1,p2) 。 ? 甲厂商在乙厂商选择既定的q1时所选择的可使E 甲达到最大的p1 ? 当7-10q1>0时,q1<0.7,为使E甲最大,p1=1; ? 当7-10q1<0时,q1>0.7,为使E甲最大,p1=0; ? 当7-10q1=0时,q1=0.7,E甲=5q1+2,与p1无关,可 以取任意值,即p1=[0,1];
19

? 乙厂商的条件混合策略: ? 乙厂商在甲厂商选择既定的p1时所选择的可使E 乙达到最大的q1 ? 当2p1-1>0时,p1<0.5,为使E乙最大,q1 =1; ? 当2p1-1<0时,p1>0.5,为使E乙最大,q1 =0; ? 当2p1-1=0时,p1=0.5,E乙=-7p1 +8,与q1无关,可 以取任意值,即q1 =[0,1]; ? 甲、乙厂商的条件混合策略可以分别表示为:

? 1 ? p1 ? ?[0,1] ? 0 ?

q1 ? 0.7 q1 ? 0.7 q1 ? 0.7

? 0 ? q1 ? ?[0,1] ? 1 ?

p1 ? 0.5 p1 ? 0.5 p1 ? 0.5
20

?5.混合策略的纳什均衡
?参与人的条件混合策略可以分别确定,确定了条件混合
策略,就可以进一步来确定混合策略的纳什均衡(交点): p1=0.5,q1=0.7;p2=0.5,q2=0.3。甲厂商的混合策略 (0.5,0.5),乙厂商的混合策略(0.7,0.3)。混合策略 的纳什均衡可表示为[(0.5,0.5),(0.7,0.3)]

21

二、只有一个纯策略均衡时的混合策略均衡
求解混合策略纳什均衡的方法不仅适用于纯策略纳 什均衡不存在的情况,而且也适用于纯策略纳什均衡存 在的情况。在后面这种情况下,纯策略纳什均衡将作为

特例被包含在相应的混合策略纳什均衡之中。
乙厂商

q1 甲 厂 商
合作 P1 p2 合作 不合作 5, 6 7,1

q2
不合作 1,5 2,3
22

甲、乙两个厂商的期望支付为:
E甲 ? p1 ? q1 ? 5 ? p1( ? 1 - q1) ?1 ? ( 1 - p1) ? q1 ? 7 ? ( 1 - p1) ( ? 1 - q1 ) ?2 ? 5 p1q1 ? p1 ? p1q1 ? 7q1 - 7 p1q1 ? 2 - 2 p1 ? 2q1 ? 2 p1q1 ? - p1 ? p1q1 ? 5q1 ? 2 ? - p1 (1 ? q1 ) ? 5q1 ? 2

E乙 ? p1 ? q1 ? 6 ? p1( ? 1 - q1) ?5 ? ( 1 - p1) ? q1 ?1 ? ( 1 - p1) ( ? 1 - q1 ) ?3 ? 6 p1q1 ? 5 p1 ? 5 p1q1 ? q1 - p1q1 ? 3 - 3 p1 ? 3q1 ? 3 p1q1 ? 3 p1q1 ? 3 ? 2 p1 ? 2q1 ? q1 (3 p1 ? 2) ? 3 ? 2 p1

甲厂商的条件混合策略:

p1 ? 0

0 ? q1 ? 1
p1 ? 2 3 p1 ? 2 3 p1 ? 2 323

? 0 ? q ? [0,1] 乙厂商的条件混合策略: 1 ? ? 1 ?

图10—2 混合策略的纳什均衡(二)

两条线的交点是原点,即p1=0,q1=0,则p2=1, q2=1;混合策略组合为: [(0,1),(0,1)],两个厂商都以0的概率选择 合作,以1的概率选择不合作 24

三、具有多个纯策略均衡时的混合策略均衡
乙厂商 q1 甲 厂 商 左 q2 右

P1
p2




5, 6
4,1

1,4
2,3

25

甲、乙两个厂商的期望支付为: E甲 ? 5p1 ? q1 ? p1 ?(1 - q1)? 1 ? ( 4 1 - p1)? q1 ? ( 2 1 - p1)?(1 -q 1)
? 5p1q1 ? p1 ? p1q1 ? 4q1 - 4 p1q1 ? 2 - 2p1 ? 2q1 ? 2p1q1 ? - p1 ? 2p1q1 ? 2q1 ? 2 ? p1(?1 ? 2q1 ) ? 2q1 ? 2
E 乙 ? 6 p1 ? q1 ? 4 p1 ?(1 - q1)?(1 - p1)? q1 ? ( 3 1 - p1)? (1 -q 1)
? 6 p1q1 ? 4 p1 ? 4 p1q1 ? q1 - p1q1 ? 3 - 3p1 ? 3q1 ? 3p1q1 ? 4 p1q1 ? 3 ? p1 ? 2q1 ? 2q1(3p1 ? 1) ? 3 ? p1

甲厂 商的 ? 0 条件 p ? ?[0, ? 1] 1 混合 ? 1 ? 策略:

q1 ? q1 ? q1 ?

1 1 1

2 2 2

乙厂 ? 0 商的 ? 1] 条件 q1 ? ?[0, ? 1 混合 ? 策略:

p1 ? p1 ? p1 ?
26

1 1 1

2 2 2

? 图10-3
q1 1

混合策略的纳什均衡
e2 甲厂商的条件 混合策略曲线

乙厂商的条件 混合策略曲线

0.5

e1

0.5

1

p1

27

四、具有无穷多个混合策略均衡的博弈
乙厂商 q1 甲 厂 商 左 q2 右

P1
p2




5, 7
3,8

4,7
6,2

28

甲、乙两个厂商的期望支付为:
E甲 ? 5p1 ? q1 ? 4 p1 ?(1 - q1)? ( 3 1 - p1)? q1 ? ( 6 1 - p1)?(1 -q 1)
? 5p1q1 ? 4 p1 ? 4 p1q1 ? 3q1 - 3p1q1 ? 6 - 6 p1 ? 6q1 ? 6 p1q1 ? -2 p1 ? 4 p1q1 ? 3q1 ? 6 ? 2p1(2q1 ? 1) ? 3q1 ? 6 E 乙 ? 7p1 ? q1 ? 7p1 ?(1 - q1)? ( 8 1 - p1)? q1 ? ( 2 1 - p1)? (1 -q 1)
? 7p1q1 ? 7p1 ? 7p1q1 ? 8q1 - 8p1q1 ? 2 - 2p1 ? 2q1 ? 2p1q1 ? ?6 p1q1 ? 5p1 ? 6q1 ? 2 ? 6q1(? p1 ? 1) ? 5p1 ? 2

甲厂 商的 ? 0 条件 p ? ?[0, ? 1] 1 混合 ? 1 ? 策略:

q1 ? q1 ? q1 ?

1 1 1

2 2 2

乙厂 商的 ? 1 条件 q1 ? ? 1] ?[0, 混合 策略:

0 ? p1 ? 1 p1 ? 1
29

? 图10-4
q1 1

无穷多个混合策略纳什均衡
乙厂商的条件 混合策略曲线 e2

0.5 甲厂商的条件 混合策略曲线

e1

0.5

1

p1

30

第四节 完全信息动态博弈
一、例子:竞争者—垄断者博弈
1.两个参与者 在该博弈中,两个参与者是竞争者和垄断者。 2.两个参与者的决策顺序及其策略 竞争者先决策,它决定进入还是不进入由垄断者独霸 的市场;垄断者后决策,它根据竞争者的行动决定对其 “容忍” 还是“抵抗” 。 竞争者有进入和不进入两个策略,垄断者也有容忍和 抵抗两个策略。因此,总共有四个策略组合。 每一策略组合中,第一项是先行动者即竞争者的策略, 第二项是后行动者即垄断者的策略。
31

二、博弈树
1.博弈树的起点 “起点”又叫做“初始决策点”,通常只有一个。起 点是博弈树的“根”,是序贯博弈开始的地方,是博弈的 最先行动者进行决策的地方。 2.博弈树的线段 从初始决策点出发,向右伸展两条线段,分别表示竞 争者可以采取的两个行动或策略。

3.博弈树的中间点
中间点又叫做“中间决策点”,通常至少应有两个。 通常在这些中间决策点的旁边标上另一参与人,表示中间 点是另一参与人做决策的地方。
32

图10—5 竞争者—垄断者博弈

33

4.博弈树的终点 第一,终点不是决策点 终点是博弈结束的地方。 与起点和中间点不同,终点不是决策点:既不是初 始决策点,也不是中间决策点。因此,终点不属于任何 的参与人,终点的旁边没有标注任何的参与人。 第二,终点的两层含义 一是代表博弈的一个策略组合——从起点开始导向 某个终点的所有线段按先后秩序排列的一个组合。 二是代表与某一个策略组合相对应的一个支付组 合——在每一个终点的旁边,有一对用圆括号围住的数 字,其中的第一个数字是先行动者的支付,第二个数字 是后行动者的支付。
34

三、纳什均衡
1.序贯博弈中的纳什均衡

在竞争者—垄断者博弈中,第一个终点,即旁边标 有支付组合(1,4)所代表的策略组合(进入,容忍) 是一个纳什均衡。因为在该策略组合上,没有哪个参与 人愿意单独改变自己的策略。 2.序贯博弈中的纳什均衡也可能不止一个 比如,在情侣博弈中,有两个纳什均衡,一个是 (足球,足球),即男方先选择足球,女方然后也选择 足球;另一个是(芭蕾,芭蕾),即男方先选择芭蕾, 女方然后也选择芭蕾。

35

图10—6 情侣博弈

36

四、纳什均衡的精炼:逆向归纳法
所谓对纳什均衡的精炼,即要从众多的纳什均衡中排除 掉那些不合理、或威胁不可信的纳什均衡,进一步确定

出更好的纳什均衡。 1.逆向归纳法的两个步骤
第一步,先从博弈的最后阶段的每一个决策点开始, 确定相应参与人此时所选择的策略,并把参与人所放弃 的其他策略删除,从而得到原博弈的一个简化博弈; 第二步,再对简化博弈重复步骤一的程序,直到最

后,得到原博弈的一个最简博弈。这个最简博弈,就是
原博弈的解。
37

图10—7 简化的情侣博弈(1)

女方的选择完全由男方的选择所决定: 男(足)-女(足);男(芭)-女(芭)
38

图10—8 简化的情侣博弈(2)

男方的最优策略是选足球,女也选足球,即最优策略 组合为(足球,足球)。 逆向归纳策略总是纳什均衡,纳什均衡不一定是逆向 归纳均衡。 39

2.先动优势 从情侣博弈的例子中可以看到所谓的“先动优势”— —先行动者的得益大于后行动者的得益。 如男方先动,逆向归纳的结果就是对男方更有利的纳 什均衡(足球,足球);如改为女方先动,则逆向归纳的 结果就是对女方更有利的纳什均衡(芭蕾,芭蕾)。

40

图10—10 简化的竞争者—垄断者博弈(1)

41

图10—11 简化的竞争者—垄断者博弈(2)

42

五、精炼的纳什均衡与效率
1A 不卖 2B 不卖 3A 不卖 4B 不卖 5A 不卖 (0,0) 卖 (1,0) 卖 (0,2) 卖 (3,0) 卖 (0,4) 卖

图10-12 蜈蚣博弈
(5,0)

1A 不卖 2B 不卖 3A 不卖 4B 不卖 5A 不卖
(0,0) 卖 (1,0) 卖 (0,2) 卖 (3,0) 卖 (0,4) 卖

图10-13 简化的蜈蚣博弈(1)
(5,0)

1A 不卖 2B 不卖 3A 不卖 4B 不卖 5A 不卖
(0,0) 卖 (1,0) 卖 (0,2) 卖 (3,0) 卖 (0,4) 卖

图10-14 简化的蜈蚣博弈(2)
(5,0)


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