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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:6-6]


课时作业(三十八)
一、选择题 1.若 a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( A.lg(1+a2)>0 C.a2+3ab>2b2 )

B.a2+b2≥2(a-b-1) a a+1 D.b< b+1

解析:在 B 中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+ 1)=(a-1)2+(

b+1)2≥0, ∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立. 答案:B 2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a +b+c=0,求证 b2-ac< 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 答案:C 3.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大 小关系是( A.P>Q C.P<Q 解析:P2=2a+7+2 a?a+7?, Q2=2a+7+2 ?a+3??a+4?=2a+7+ a2+7a+12 显然 P2<Q2,从而 P<Q. 答案:C 4.(2013· 银川模拟)若 a、b、c 是不全相等的正数,给出下列判 ) B.P=Q D.由 a 的取值确定 B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0 )

断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b 与 a<b 及 a=b 中至少有 一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:①②正确,③中,a≠c,b≠c,a≠b 可能同时成立,如 a =1,b=2,c=3. 答案:C 1 1 1 5.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+b,b+c,c+a( A.都不大于-2 C.至少有一个不大于-2 B.都不小于-2 D.至少有一个不小于-2 )

1 1 1 解析:假设 a+b,b+c,c+a都大于-2, 1 1 1 即 a+b>-2,b+c>-2,c+a>-2, 1 1 1 将三式相加,得 a+b+b+c +c+a>-6, 1 1 1 又因为 a+a≤-2,b+b≤-2,c+c ≤-2, 1 1 1 三式相加,得 a+b+b+c+c+a≤-6, 所以假设不成立. 答案:C 6.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等 比中项,y 是 b,c 的等比中项,则 x2,b2,y2 三数( A.成等比数列而非等差数列 )

B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 解析:由已知得 x2=ab,y2=bc,而 ab、b2、bc 中因 a、b、c 均 为正数且 2b=a+c,∴2b2=ab+bc,∴x2、b2、y2 成等差数列而非等 比数列. 答案:B 二、填空题 7.若记号“※”表示求两个实数 a 和 b 的算术平均数的运算, a+b 即 a※b= 2 ,则两边均含有运算符号“※”和“+”,且对于任 意 3 个实数 a,b,c 都能成立一个等式可以是________. a+b b+a 解析:∵a※b= 2 ,b※a= 2 ,∴a※b+c=b※a+c. 答案:a※b+c=b※a+c. 8.若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1] 内至少存在一点 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 解析:由题意可得 f(-1)>0 或 f(1)>0 即可,解 f(-1)>0,得 2p2 3 +3p-9<0,即-3<p<2, 1 3 解 f(1)>0,得 2p2-p-1<0,即-2<p<1,求并集得-3<p<2. 3? ? 答案:?-3,2?
? ?

9.(1)由“若 a,b,c∈R,则(ab)c=a(bc)”类比“若 a,b,c 为三个向量,则(a· b)· c=a· (b· c)”;(2)在数列{an}中, a1=0, an+1=2an +2, 猜想, an=2n-2; (3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边” 类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面

?π? 积”;(4)若 f(x)=2cos2x+2sin xcos x,则 f?4?= 2+1. ? ?

上述四个推理中,得出的结论正确的是 ________.(写出所有正 确结论的序号) 解析:向量的乘法不满足结合律,故(1)不正确; ∵ 故 π? ? f(x)=2cos2x+2sin xcos x= 2sin?2x+4?+1,
? ? ?π? ?π π? f?4?= 2sin?2+4?+1=2,故(4)不正确. ? ? ? ?

答案:(2)(3) 三、解答题 10.已知函数 f(x)=ln(1+x), 1 1 g(x)=a+bx-2x2+3x3, 函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象在交点 (0,0)处有公共切线. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)≤g(x). 解:(1)f′(x)= 1 ,g′(x)=b-x+x2, 1+x

? ?g?0?=f?0?, 由题意得? 解得 a=0,b=1. ?f′?0?=g′?0?, ?

1 1 (2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-3x3+2x2-x(x>-1). -x3 1 2 h′(x)= -x +x-1= . x+1 x+1 h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即 f(x)≤g(x). 11.已知函数 y=ax+ x- 2 (a>1). x+ 1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 3 证明:(1)y′=axln a+ . ?x+1?2 3 ∵a>1,∴ln a>0,ax>0.又 x>-1,∴ >0, ?x+1?2 ∴y′>0,∴函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)假设方程 f(x)=0 有负数根,即存在 x0<0,使 f(x0)=0,即 ax0 x0-2 2-x0 + =0,∴ax0= . x0+1 x0+1 2-x0 若 x0<-1,则 <0.① x0+1 而 ax0>0 恒成立,② ∴①式与②式矛盾, 3 若-1<x0<0,则 ax0=-1+ . x0+1 ∵-1<x0<0,∴0<x0+1<1, ∴ 1 3 >1,∴ >3, x0+1 x0+1

3 ∴-1+ >2.③ x0+1 而当-1<x0<0 时,0<ax0<1.④ ∴③式与④式矛盾. 综上可知,假设不成立,原命题正确,即方程 f(x)=0 没有负数 根. 12.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N*) 在函数 y=x2+1 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2an,求证:bn· bn+2<b2 n+1. 解:(1)由已知得 an+1=an+1,则 an+1-an=1,又 a1=1,所以 数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. 故 an=1+(n-1)×1=n. (2)证明:由(1)知,an=n,从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1 =2
n-1

+2

n-2

1-2n +?+2+1= 1-2

=2n-1.
n n +2 因为 bn· bn+2-b2 -1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2- n+1=(2 -1)(2 2 2n+1)-(22n+2-2· 2n+1+1)=-2n<0,所以 bn· bn+2<bn +1 .

[热点预测] 1 13 . (2013· 湖南省六校联考 ) 已知函数 f(x) = aln x + 2 x2 - (a + 1)x(a≥1) (1)讨论 f(x)的单调性与极值点. 1 (2)若 g(x)=2x2-x-1(x>1),证明:当 a=1 时,g(x)的图象恒在 f(x)的图象上方.
2 ln 2 ln 3 ln n 2n -n-1 (3)证明: 22 + 32 +?+ n2 < (n∈N*,n≥2). 4?n+1?

x2-?a+1?x+a ?x-1??x-a? a 解: (1)f′(x)=x+x-(a+1)= = (x>0) x x ?x-1?2 当 a=1 时 f′(x)= x ≥0 在(0,+∞)上恒成立 ∴f(x)在(0,+∞)单调递增,此时 f(x)无极值点 当 a>1 时 f′(x),f(x)在定义域上的变化情况如下表:

x f′(x) f (x )

(0,1) + 增

(1,a) - 减

(a,+∞) + 增

由此表可知 f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增,f(x)在(1,a)上单 调递减.x=1 为极大值点,x=a 为极小值点. 1 1 (2)证明:a=1 时,令 F(x)=g(x)-f(x)=2x2-x-1-ln x-2x2+ 2x=x-1-ln x 1 x-1 F′(x)=1-x = x 当 x>1 时,F′(x)>0,0<x<1 时,F′(x)<0 ∴F(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)上递增. ∴F(x)≥F(1)=0,∴x>1 时,F(x)>0 恒成立 即 x>1 时 g(x)>f(x)恒成立 ∴当 x>1,g(x)的图象恒在 f(x)的图象的上方. (3)证明:由(2)知 F(x)≥F(1)=0 即 ln x≤x-1 ln x 1 ∵x>0,∴ x ≤1-x. 1? ln n2 1 ln n 1? 令 x=n (n∈N )则 n2 ≤1-n2,∴ n2 ≤2?1-n2? ? ?
2 *

1 1 1? ln 2 ln 3 ln n 1? ∴ 22 + 32 +?+ n2 ≤2?1-22+1-32+?+1-n2? ? ? 1? 1 1? 1 1 =2(n-1)-2?22+32+?+n2?.
? ?

1 1 ? 1 1? 1 <2(n-1)-2?2×3+3×4+?n?n+1??
? ? ?

1 1 ? 1 1?1 1 1 1 =2(n-1)-2?2-3+3-4+?+n-n+1?
? ?

1 ? 1 1?1 =2(n-1)-2?2-n+1?
?

2n2-n-1 = 4?n+1? ∴不等式成立.


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