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空间点、线、面之间的位置关系 修改


第七章

立体几何

7.2 空间点、线、面之间的位置关系
【考纲知识梳理】 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的基本性质
公理 1: 公理 3: 2、直线与直线的位置关系 公理 2:

? ?相交直线 (1)位置关系的分类 ?共面直线 ?平行直线 ? ? ? 异面直线:不同在任何一个平面

内,没有公共点 ?

(2)异面直线所成的角 ①定义: 3、直线和平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 直线 a 在平面α 内 有无数个公共点 直线 a 与平面α 相交 有且只有一个公共点 直线 a 与平面α 平行 没有公共点 ②范围 ? 0, ? 2

? ?? ? ?

a ??

a ?? ? A

a / /?

图形表示

4、两个平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数

两平面平行

? / /?

0

两平面相交

斜交

? ?? ? a

有无数个公共点在 一条直线上

1

? ??
垂直

有无数个公共点在 一条直线上

? ?? ? a
5、平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行,可能相交,也可能异面)

6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

二、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 2、平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 注:能否由线线平行得到面面平行? 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线与平面垂直 (1)定义: 2、二面角的有关概念 (1)二面角: 3、平面与平面垂直 (1)定义: (2)判定定理: 注:垂直于同一平面的两平面是否平行? 4、直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 90 和 0 。
0 0

(2)性质定理:

(2)性质定理:

(2)判定定理:

(2)二面角的平面角:

(2)性质定理:

【要点透析】
一、空间点、直线、平面之间的位置关系 (一)异面直线的判定 过平面处一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:

2

〖例〗如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点。问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由。

(二)平面的基本性质及平行公理的应用 1、平面的基本性质的应用 (1)公理 1: (2)公理 2: (3)公理 3:

2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理 2 的推论: (1) 4、点共线、线共点、点线共面 (1)点共线问题 :证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公 理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上。 (2)线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点 在直线上。 (3)证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α ,再证明其余元素确定平面β ,最后证明平面α 、β 重合。 〖例〗如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90 ,BC 分别为 FA、FD 的中点。
0

(2)

(3)

1 AD,BE 2

1 FA,G、H 2

3

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

(三)异面直线所成的角 〖例〗空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30 ,E、F 分别是 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小。
0

二、直线、平面平行的判定及其性质 (一)直线与平面平行的判定 判定直线与平面平行,主要有两种方法: (1)利用判定定理: (2)利用面面平行的性质定理:

注:线面平行关系没有传递性,即平行线中的一条平行于一平面,另一条不一定平行于该平面。 〖例〗如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 有公共边 BC,BE//CF,∠BCF=90 ,求证:AE//平面 DCF
0

(二)平面与平面平行的判定 判定平面与平面平行的常用方法有:
(1)利用定义(常用反证法) ; (2)利用判定定理:转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中,也可直接利用一个平 面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行; 4

(3)利用面面平行的传递性:

? / /? ? ? ? ? / /? . ? / /? ?


(4)利用线面垂直的性质:

? ? l? ? ? ? / /? ? ? l?

〖例〗如图所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1 各棱长为 4,E、F、G、H 分别是 AB、AC、A1C1、A1B1 的中点,求 证:平面 A1EF//平面 BCGH

(三)直线与平面平行的性质及应用 〖例〗如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问截面在什么位置时其截面面积 最大。

注:利用线面平行的性质,可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中,若遇到线 面平行这一条件,就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现 平行转化。至于最值问题,常用函数思想解决,若题目中没有涉及边长,要大胆地设未知量,以便解题。 (四)平面与平面平行的性质及应用 平面与平面平行的判定与性质,同直线与平面平行的判定与性质一样,体现了转化与化归的思想。三 种平行关系如图:

性质过程的转化实施,关键是作辅助平面,通过作辅助平面得到交线,就可把面面平行化为线面平行 并进而化为线线平行,注意作平面时要有确定平面的依据。 〖例〗已知,平面α //平面β ,AB、CD 夹在α 、β 之间,A、C∈α ,B、D∈β ,E、F 分别为 AB、CD 的中点,求证:EF//α ,EF//β

三、直线、平面垂直的判定及其性质
5

(一)直线和平面垂直的判定和性质 证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)利用判定定理; (3)利用面面平行的性质 (2)利用平行线垂直于平面的传递性 (4)利用面面垂直的性质。

当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一直线,常用来证明线线垂直。 〖例〗如图,已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,若∠PDA=45 ,求证: MN⊥平面 PCD。
0

(二)平面与平面垂直的判定 证明面面垂直的主要方法是:①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分 利用等腰三角形底边的中线垂直于底边,勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为 直二面角。③客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个 平面。 〖例〗如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。

(1)求证:BC1//平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B。

(三)平面与平面垂直性质的应用 〖例〗 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB//DC, PAD 是等边三角形, Δ 已知 BD=2AD=8,

6

AB=2DC=4 5 。

(1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积。

注: (1)当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面 垂直,进而可以证明线段线线垂直,构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。 (2)已知面面垂直时,通过作辅助线可转化为线面垂直,从而有更多的线线垂直的条件可用,必要 时可以通过平面几何的知识证明垂直关系,通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最 常用方法。 (四)线面角、二面角求法 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一。有时在客观题中考查,更多的是在解答题 中考查。 求这两种空间角的步骤: 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)

? 认(指) ? 求。
在客观题中,也可用射影法: 设斜线段 AB 在平面α 内的射影为 A’B’,AB 与α 所成角为θ ,则 cosθ =

A' B ' AB

.

设Δ ABC 在平面α 内的射影三角形为 ? A ' B ' C ' ,平面 ABC 与α 所成角为θ ,则 cosθ =

S? A ' B ' C ' . S? ABC

〖例〗三棱锥 P-ABC 中,PC、AC、BC 两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点。

7

(1)证明:平面 GFE//平面 PCB; (2)求二面角 B-AP-C 的正切值; (3)求直线 PF 与平面 PAB 所成角的正弦值。

【感悟高考真题】
1、 (2011·辽宁高考理科·T8)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不 . 正确的是 .. (A) AC⊥SB (B) AB∥平面 SCD (C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角

(D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

2、 (2011·浙江高考理科·T4)下列命题中错误的是 (A)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (B)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (C)如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥平面 ? (D)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 3、 (2011·江苏高考·T16)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,

AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点
求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

8

4、18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中 点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V.

【考点模拟演练】
一、选择题
1、如图,正四面体 ABCD 的顶点 A, B, C 分别在两两垂直的三条射线

Ox, Oy, Oz 上,则在下列命题中,错误的是 ..
A、 O ? ABC 是正三棱锥 B、直线 OB // 平面 ACD

C、直线 AD 与 OB 所成的角是 45° D、二面角 D ? OB ? A 为 45° 2、正四面体 ABCD 的外接球球心为 O , E 为 BC 中点,则二面角 A ? BD ? E 的大小为

? ? D、 3 6 3、若直线 a ? b ,且直线 a // 平面 ? ,则直线 b 与平面 ? 的位置关系是 .
A、 B、 C、 A. b ? ? B. b // ? C. b ? ? 或 b // ? D. b 与 ? 相交或 b ? ? 或 b // ? )

2? 3

5? 6

4、 m, n 是两条不同的直线, , ? 是两个不重合的平面, 设 给定下列四个命题, 其中为真命题的是( ? ①

m ? n? ?? m ?? n ??? m ??? ? ? m // n n ?? ?
B. ②和③



a ?? ? ??? ? ? a ? ??
m ??? ? n ? ? ? ? m // n ? // ? ? ?





A. ①和②

C. ③和④

D. ①和④
9

5、给出下列条件: (其中 l 为直线,α 为平面) ①l 垂直于α 内的一凸五边形的两条边 ②l 垂直于α 内三条不都平行的直线 ③l 垂直于α 内无数条直线 其中是 l⊥α 的充分条件的所有序号是 A.② B.①③ C.②④ D.③④ ) ④l 垂直于α 内正六边形的三条边

6、在侧棱长为 a 的正四棱锥中,棱锥的体积最大时底面边长为(

2 3 A. 3 a

B. 3 a

3 C. 3 a

D.a )

7、 X、 Z 是空间不同的直线或平面, 设 Y、 对下面四种情形, “X⊥Z 且 Y⊥Z ? X∥Y” 使 为真命题的是( ①X、Y、Z 是直线 (A) ①② ②X、Y 是直线,Z 是平面 ③Z 是直线,X、Y 是平面 ④X、Y、Z 是平面 (B) ①③ (C)②③ (D) ③④

8、设 a, b, c 是空间三条不同的直线, ? , ? 是空间两个不重合的平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 A.当 b// c 时,若 b ? ? ,则 c ? ? . B.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b// c . C.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? . D.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? .

9、如图所示,甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( )

①长方体 A.④③②

②圆锥

③三棱锥

④圆柱 D.③②④

B.②①③

C.①②③

10、如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M 为侧棱 AA1 上一动点,已知△BCM 面积的最大值是 2 3 ,二面 角 M―BC―A 的最大值是 A. 3 3

? ,则该三棱柱的体积等于 3
C.





B. 2 3

3

D. 3 2

11、已知在如下图四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF ? AB,则 EF 与 CD 所成 的角为( )

10

A、90



B、45



C、60



D、30



12、如图,设平面 ? ? ? ? EF , AB ? ? , CD ? ? ,垂足 分别为 B, D ,若增加一个条件,就能推出 BD ? EF .
B ?

现有① AC ? ? ; ② AC 与 ? , ? 所成的角相等; ③ AC 与 CD 在 ? 内的射影在同一条直线上;④ AC ∥ EF . 那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是
E

D

A

C F

?

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个.


13、一个多面体的直观图及三视图如图所示,则多面体 A ? CDEF 的体积为

14、矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球 的体积为 15 、正 方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , E 、 F 分 别为 AB 、 AD 的 中点, 则 AD1 与 EF 所 成角 的大小 为 .

16、一直角梯形 ABCD,AD 是垂直于上、下底的腰,AB=2,CD=1,BC= 3 ,E 为 AD 的中点,沿 CE、EB 折 成一个三棱锥 E-ABC(缺一个面 ABC) ,使 A、D 重合于 A,则这个三棱锥的体积是_____.
D C C

E A A B E B

三、解答题
17、在四棱锥 P-ABCD 中,已知 ABCD 为矩形,PA ⊥平面 ABCD,设 PA=AB=a,BC=2a,求二面角 B-PC-D 的 大小。

注:用几何法求二面角的方法比较多,常见的有: (1)定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析1 (2)三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线,如解析2 (3)垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析3
11

用几何法将二面角转化为其平面角,要掌握以下三种基本做法:①直接利用定义,图(1).②利用三垂线定 理及其逆定理,图 (2).最常用。③作棱的垂面,图(3).

18、 ,正四棱锥 P-ABCD 中,侧面与底面 ABCD 所成角为 60°,点 E 是 PB 的中点。 (Ⅰ)求异面直线 PD 与 AE 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 P—AC--E 的大小; (Ⅲ)在侧面 PAD 上是否存在一点 F,使 EF⊥平面 PBC, 若存在,确定点 F 的位置,并证明;若不存在,说明理由。

12


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