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湖北省黄石市示范高中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


湖北省黄石市示范高中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知全集为 R,集合 A.{x|x≤0} 2. (5 分)已知 sin(α﹣ A.﹣ B.{x|2≤x≤4} )= ,则 cos(α+ B. C.{x|0≤x<2 或 x>4} )的值为() C. D.﹣ ,则 A∩?RB=

() D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

3. (5 分)已知 A. B.

,若 C.19



平行,则 k 的值为() D.﹣19

4. (5 分)三个变量 y1,y2,y3 随着变量 x 的变化情况如下表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6655 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与 x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是() A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y3,y 1,y2

5. (5 分)给出函数 f(x)= A.﹣ B.

则 f(log23)等于() C. D.

6. (5 分)共点力 F1=(lg2,lg2) ,F2=(lg5,lg2)作用在物体 M 上,产生位移 s=(2lg5,1) ,则共点力 对物体做的功 W 为() A.lg2 B.lg5 C .1 D.2 7. (5 分)设函数 f(x)=sin(2x+ A.f(x)的图象关于直线 x= B. f(x)的图象关于点( C. 把 f(x)的图象向左平移 对称 ) ,则下列结论正确的是()

,0)对称 个单位,得到一个偶函数的图象

D.f(x)的最小正周期为 π,且在上为增函数

8. (5 分)若函数 f(x)对于任意的 x∈R 都有 f(x+3)=﹣f(x+1) ,且 f(3)=2015,则 f(f﹣2]+1=() A.﹣2015 B.﹣2014 C.2014 D.2015 9. (5 分)定义域和值域均为(常数 a>0)的函数 y=f (x)和 y=g(x)的图象如图所示,给出下列四个

命题: (1)方程 f=0 有且仅有三个解; (2)方程 g=0 有且仅有三个解; (3)方程 f=0 有且仅有九个解; (4)方程 g=0 有且仅有一个解. 那么,其中正确命题的个数是() A.(1) (4) B.(2) (3)

C.(1) (3)

D.(2) (4)

10. (5 分)平面向量的集合 A 到 A 的映射 f( )= ﹣2( ? ) ,其中 为常向量.若映射 f 满足 f( ) ?f( )= ? 对任意的 , ∈A 恒成立,则 的坐标不可能是() A.(0,0) B.( , ) C .( , ) D.(﹣ , )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)已知幂函数 y=(m ﹣3m+3)
2

的图象不过坐标原点,则 m 的值是.

12. (5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,则

=.

13. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 g(x)=f(x)﹣k 有两个零点,则实数 k 的取值

范围是. 14. (5 分)若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间?D(其中 a<b) ,使得当 x∈时,f(x) 2 的取值范围恰为,则称函数 f(x)是 D 上的“正函数”,若 f(x)=x +k 是(﹣∞,0)上的 正函数,则实 数 k 的取值范围是. 15. (5 分)判断下列说法: x ①已知用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内的近似解过程中得:f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25) <0,则方程的根落在区间(1.25,1.5) ②y=tanx 在它的定义域内是增函数. ③函数 y= 的最小正周期为 π

④函数 f(x)= ⑤已知 =(x,2x) ,

是奇函数 =(﹣3x,2) ,若∠BAC 是钝角,则 x 的取值范围是 x<0 或 x>

其中说法正确的是.

三.解答题(共 75 分) 16. (12 分)求值: (1) (2)已知 cos( ﹣(﹣ )﹣2+ +x)= , ﹣3 +( <x< ,求
﹣1

﹣1)

0

的值.

17. (12 分)已知向量 =( ﹣k +t ,且 ⊥ ,试求:

,﹣1) , =( , 的最小值.

) ,若存在非零实数 k,t 使得 = +(t ﹣3) , =

2

18. (12 分)已知 O 为坐标原点,向量 (1)记 f(α)= ? ,α∈(﹣ , +

=(sinα,1) ,

=(cosα,0) ,

=(﹣sinα,2) ,点 P 满足

=

) ,求函数 f(α)的值域; |的值.

(2)若 O,P,C 三点共线,求|

19. (12 分)在 Rt△ ABC 内有一内接正方形,它的一条边在斜边 BC 上,设 AB=a,∠ABC=θ,△ ABC 的 面积为 P,正方形面积为 Q.求 的最小值.

20. (13 分)定义在区间上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (A>0,ω>0,0<φ<π) ,其图象如图所示.

对称,当 x∈时,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)

(Ⅰ)求函数 y=f(x)在的表达式; (Ⅱ)求方程 f(x)= 的解; (Ⅲ)是否存在常数 m 的值,使得|f(x)﹣m|<2 在 x∈ 上恒成立;若存在,求出 m 的取值范围;若不存 在,请说明理由. 21. (14 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M≥0,都有|f(x)|≤M 成立, 则称 f (x) 是 D 上的有界函数, 其中 M 称为函 f (x) 的一个上界. 已知函数 f (x) =1+a g(x)= . + ,

(1)若函数 g(x)为奇函数,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 g(x) ,在区间上的所有上界构成的集合; (3)若函数 f(x)在=﹣sin(α﹣ )=﹣ ,

故选:D. 点评: 本题主要考查了诱导公式的应用,属于基础题.

3. (5 分)已知 A. B.

,若 C.19



平行,则 k 的值为() D.﹣19

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 计算题.

分析: 由已知中已知 量 ,

,若



平行,我们分别求出向

的坐标,然后根据两个向量平行,坐标交叉相乘差为零的原则构造关于 k 的方程,

解方程即可求出答案. 解答: 解:∵ ∴ ∵ =(k﹣3,2k+2) , 与 平行 , =(10,﹣4)

∴(k﹣3) (﹣4)﹣10(2k+2)=0 解得 k= 故选 A 点评: 本题考查的知识点是平行(共线)向量,其中根据两个向量平行,坐标交叉相乘差为零的原则构 造关于 k 的方程,是解答本题的关键. 4. (5 分)三个变量 y1,y2,y3 随着变量 x 的变化情况如下表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6655 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与 x 呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是() A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 观察题中表格,可以看出,三个变量 y1、y2、y3 都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量 y2 的增长速度最快,呈指数函数变化,变量 y3 的增长速度最慢,对数型函数变化. 解答: 解:从题表格可以看出,三个变量 y1、y2、y3 都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量 y2 的增长速度最快,呈指数函数变化,变量 y3 的增长速度最慢,对数型函数变化, 故选:C 点评: 本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异.解题时要认真审题,注意指数函数的性质的 合理运用.

5. (5 分)给出函数 f(x)= A.﹣ B.

则 f(log23)等于() C. D.

考点: 函数的值;对数的运算性质. 专题: 计算题.

分析: 先根据对数函数的性质判断 log23 的范围,代入相应的解析式求解,再判断所得函数值的范围, 再代入对应解析式求解,利用对数的恒等式“ 解答: 解:∵log23<4, ∴f(log23)=f(log23+3) , ∵log23+3>4, ∴f(log23+3)= = = . =N”进行求解.

故选 D. 点评: 本题是对数的运算和分段函数求值问题,一定要注意自变量的值所在的范围,然后代入相应的解 析式求解,利用“ =N”进行求值.

6. (5 分)共点力 F1=(lg2,lg2) ,F2=(lg5,lg2)作用在物体 M 上,产生位移 s=(2lg5,1) ,则共点力 对物体做的功 W 为() A.lg2 B.lg5 C. 1 D.2 考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 求出共点力的合力 F=F1+F2,再求合力 F 对物体做的功 W. 解答: 解:根据题意,得; 共点力的合力是 F=F1+F2=(lg2+lg5,lg2+lg2)=(1,2lg2) ; 对物体做的功为 W=Fs=1×2lg5+2lg2×1=2(lg5+lg2)=2. 故选:D. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应根据平面向量的数量积的意义进行解答,是基础题.

7. (5 分)设函数 f(x)=sin(2x+ A.f(x)的图象关于直线 x= B. f(x)的图象关于点( C. 把 f(x)的图象向左平移 对称

) ,则下列结论正确的是()

,0)对称 个单位,得到一个偶函数的图象

D.f(x)的最小正周期为 π,且在上为增函数 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;正弦函数 的对称性. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 由题意求出函数对称轴,判断 A,不正确;对称中心代入验证可知 B 的正误,根据平移判断 C 的 正误,根据单调性判断 D 的正误即可. 解答: 解:由对称轴 x= kπ+ k∈Z,A 不正确,



,0)代入函数表达式对 B 选项检验知命题错; )=cos2x,故其为偶函数,命题正确;

C 平移后解析式为 f(x)=sin=sin(2x+ D.由于 x∈时 2x+

∈,此时函数在区间内不单调,不正确.

故选 C. 点评: 本题考查 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性, 正弦函数的对称性,考查计算能力,是基础题. 8. (5 分)若函数 f(x)对于任意的 x∈R 都有 f(x+3)=﹣f(x+1) ,且 f(3)=2015,则 f(f﹣2]+1=() A.﹣2015 B.﹣2014 C.2014 D.2015 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件求出函数的周期,然后求解 f 的值,即可求解所求表达式的值. 解答: 解:函数 f(x)对于任意的 x∈R 都有 f(x+3)=﹣f(x+1) , 可得 f(x+2)=﹣f(x) ,可得 f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , 函数的周期为 4. f=f(504×4﹣1)=f(﹣1)=f(3)=2015. f(f﹣2]+1=f+1=f+1=f(503×4+1)+1=f(1)+1=﹣f(3)+1=﹣2015+1=﹣2014. 故选:B. 点评: 本题考查抽象函数的应用,函数的周期以及函数的值的求法,考查计算能力. 9. (5 分)定义域和值域均为(常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图所示,给出下列四个

命题: (1)方程 f=0 有且仅有三个解; (2)方程 g=0 有且仅有三个解; (3)方程 f=0 有且仅有九个解; (4)方程 g=0 有且仅有一个解. 那么,其中正确命题的个数是() A.(1) (4) B.(2) (3)

C.(1) (3)

D.(2) (4)

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 导数的综合应用;简易逻辑. 分析: (1)由于 g(x)∈,可得方程 f=0 有且仅有三个解; (2)由于 f(x) )∈,可得方程 g=0 有且仅有一个解,故不正确;

(3)方程 f=0 的解最多有九个解; (4)由于 g(x) )∈,可得方程 g=0 有且仅有一个解. 解答: 解: (1)∵g(x)∈,∴方程 f=0 有且仅有三个解,正确; (2)∵f(x) )∈,∴方程 g=0 有且仅有一个解,故不正确; (3)方程 f=0 的解最多有九个解,因此不正确; (4)∵g(x) )∈,∴方程 g=0 有且仅有一个解,正确. 综上可得:正确的是(1) (4) . 故选:A. 点评: 本题考查了函数的图象及其性质、复合函数的图象与性质、方程的解与函数的零点直角的关系, 考查了推理能力,考查了数形结合的思想方法,属于中档题.

10. (5 分)平面向量的集合 A 到 A 的映射 f( )= ﹣2( ? ) ,其中 为常向量.若映射 f 满足 f( ) ?f( )= ? 对任意的 , ∈A 恒成立,则 的坐标不可能是() A.(0,0) B. ( , ) C. ( , ) D.(﹣ , )

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由验证可得: ? 或 = ,验证即可. 解答: 解:∵f( )= ﹣2( ? ) ,其中 为常向量,且映射 f 满足 f( )?f( )= ? 对任意的 , ∈A 恒成立, ∴? 化为 ∴ =1 或 = , 不满足, = , =0, = , 化为 =0, 即 =1

经过验证:只有

故选:B. 点评: 本题考查了新定义、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(共 5 小 题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)已知幂函数 y=(m ﹣3m+3)
2

的图象不过坐标原点,则 m 的值是 1 或 2.

考点: 幂函数图象及其与指数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的性质建立条件关系即可得到结论.

解答: 解:∵幂函数 y=(m ﹣3m+3) ∴m ﹣3m+3=1,即 m ﹣3m+2=0 解得 m=1 或 2, 当 m=1 时,幂函数 y=(m ﹣3m+3) 当 m=2 时,幂函数 y=(m ﹣3m+3)
2 2 2 2

2

的图象不过坐标原点,

=x

﹣2

满足条件.

=x 也满足条件.

0

故答案为:m=1 或 2 点评: 本题主要考查幂函数定义和性质的应用,比较基础.

12. (5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=3,则

=18.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 AC 与 BD 交于 O,则 AC=2AO,在 RtAPO 中,由三角函数可得 AO 与 AP 的关系,代入向量 的数量积 =| || |cos∠PAO 可求

解答: 解:设 AC 与 BD 交于点 O,则 AC=2AO ∵AP⊥BD,AP=3, 在 Rt△ APO 中,AOcos∠O AP=AP=3 ∴| |cos∠OAP=2| |×cos∠OAP=2| =| |=6, || |cos∠PAO=3×6=18

由向量的数量积的定义可知, 故答案为:18

点评: 本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用,解题的关键在于发现规律: AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP.

13. (5 分)已知函数 f(x)=

,若 g(x)=f(x)﹣k 有两个零点,则实数 k 的取值

范围是( ,1) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的零点与方程根的关系. 计算题;函数的性质及应用. 化简确定函数 f(x)的单调性与值域,并将函数 g(x)的零点个数转化为函数交点的个数. 解:①当 x≥2 时,f(x)在?D(其中 a<b) ,使得当 x∈时,f(x)的取值范围恰为,则称函数 f
2

(x)是 D 上的“正函数”,若 f(x)=x +k 是(﹣∞,0)上的正函数,则实数 k 的取值范围是(﹣1,﹣ ) .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 根据函数 f(x)=x +k 是(﹣∞,0)上的正函数,则 f(a)=b,f(b)=a,建立方程组,消去 b, 求出 a 的取值范围,转化成关于 a 的方程 a +a+k+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内有实数解进行求解. 解答: 解:因为函数 f(x)=x +k 是(﹣∞,0)上的正函数, 所以 a<b<0, 所以当 x∈时,函数单调递减,则 f(a)=b,f(b)=a, 即 a +k=b,b +k=a, 2 2 两式相减得 a ﹣b =b﹣a,即 b=﹣(a+1) , 2 2 代入 a +k=b 得 a +a+k+1=0, 由 a<b<0,且 b=﹣(a+1) , ∴a<﹣(a+1)<0, 解得﹣1<a<﹣ . 故关于 a 的方程 a +a+k+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内有实数解, 记 h(a)=a +a+k+1, 则 h(﹣1)>0,h(﹣ )<0,即 1﹣1+k+1>0 且 ﹣ +k+1<0, 解得 k>﹣1 且 k<﹣ . 即﹣1<k<﹣ . 故答案为: (﹣1,﹣ ) . 点评: 本题考查新定义的理解和运用,考查函数的单调性的运用,考查函数方程的转化思想,考查运算 能力,属于中档题和易错题. 15. (5 分)判断下列说法: x ①已知用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内的近似解过程中得:f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25) <0,则方程的根落在区间(1.25,1.5) ②y=tanx 在它的定义域内是增函数. ③函数 y= 的最小正周期为 π
2 2 2 2 2 2 2

④函数 f(x)=

是奇函数

⑤已知

=(x,2x) ,

=(﹣3x,2) ,若∠BAC 是钝角,则 x 的取值范围是 x<0 或 x>

其中说法正确的是①③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;阅读型;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 由零点存在定理,即可判断①;由 y=tanx 在(kπ﹣ 由二倍角的正切公式,及正切函数的周期,即可判断③; 判断定义域是否关于原点对称,由于 x= ,f(x)=1,但 x=﹣ ,1+sinx+cosx=0,f(x)无意义.则定 ,kπ+ ) (k∈Z)递增,即可判断②;

义域不关于原点对称,即可判断④; 运用向量的夹角为钝角的等价条件为数量积小于 0,且不共线,解不等式即可判断⑤. 解答: 解:对于①,由零点存在定理可得,第一次由于 f(1)f(1.5)<0,则位于区间(1,1.5) , 第二次由于 f(1.25)f(1.5)<0,则位于(1.25,1.5) ,则①正确; 对于②,y=tanx 在(kπ﹣ 对于③,函数 y= ,kπ+ ) (k∈Z)递增,则②错误;

= tan2x,则函数的最小正周期为 π,则③正确;

对于④,函数 f(x)=

,由于 x=

,f(x)=1,但 x=﹣

,1+sinx+cosx=0,

f(x)无意义.则定义域不关于原点对称,则为非奇非偶函数.则④错误; 对于⑤,由于
2

=(x,2x) ,
2

=(﹣3x,2) ,若∠BAC 是钝角,则

?

<0,且



不共线,

则﹣3x +4x<0,且 2x≠﹣6x ,解得 x> 或 x<0 且 x≠﹣ ,则⑤错误. 综上可得,①③正确. 故答案为:①③. 点评: 本题考查函数的零点、函数的奇偶性和周期性、单调性的判断,考查平面向量的夹角为钝角的条 件,考查运算能力,属于基础题和易错题. 三.解答题(共 75 分) 16. (12 分)求值: (1) (2)已知 cos( ﹣(﹣ )﹣2+ +x)= , ﹣3 +( <x< ,求
﹣1

﹣1)

0

的值.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;有理数指数幂的运算性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用有理数指数幂的运算性质,对给出的关系式化简即可;

(2)利用三角函数的恒等变换,化简得: 与 tan( +x)的值,即可求得答案.

=sin2x?tan(

+x) ,依题意,分别求得 sin2x

解答: 解: (1)

=



(2)

=

=

=

=sin2x?tan( ∵ ∴tan( <x<

+x) . ,∴ <x+ <2π,又∵cos( +x)= ,∴sin( +x)=﹣ .

+x)=﹣ . +x)cos +x)cos +sin( ﹣sin =﹣ +x)sin cos( . = ×( ﹣ )=﹣ , .

∴cosx=cos=cos( ∴sinx=sin=sin( sin2x= .∴

+x)=﹣

点评: 本题考查有理数指数幂的运算性质与三角函数的恒等变换及化简求值,考查运算求解能力,属于 中档题.
2

17. (12 分)已知向量 =( ﹣k +t ,且 ⊥ ,试求:

,﹣1) , =( , 的最小值.

) ,若存在非零实数 k,t 使得 = +(t ﹣3) , =

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题;综合题;平面向量及应用. 分析: 根据向量数量积的坐标公式和性质,分别求出| |=2,| |=1 且 ? =0,由此将 ? =0 化简整理得 到 k= (t ﹣3t) .将此代入 值. 解答: 解:∵ =( ,﹣1) , =( , ) ,
3

,可得关于 t 的二次函数,根据二次函数的单调性即可得到

的最小

∴| |=
2

=2,| |=

=1,且 ? =

× +(﹣1)×

=0

∵ = +(t ﹣3) , =﹣k +t ,且 ⊥ , ∴ ? =0,即( +(t ﹣ 3) ) (﹣k +t )=0 展开并化简,得﹣k
2 2

+(﹣kt +3k+t) ? +t(t ﹣3)

2

2

2

=0

将| |=2、| |=1 和 ? =0 代入上式,可得 ﹣4k+t(t ﹣3)=0,整理得 k= (t ﹣3t)
2 3



=

= t +t﹣ = (t+2) ﹣ 的最小值等于﹣ . 的最小值.着重考查了平面向量数量积的坐标公式、

2

2

由此可得,当 t=﹣2 时,

点评: 本题以向量的数量积运算为载体,求

运算性质,以及二次函数的图象与性质等知识,属于中档题.

18. (12 分)已知 O 为坐标原点,向量 (1)记 f(α)= ? ,α∈(﹣ , +

=(sinα,1) ,

=(cosα,0) ,

=(﹣sinα,2) ,点 P 满足

=

) ,求函数 f(α)的值域; |的值.

(2)若 O,P,C 三点共线,求|

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 分析: (1) 设出 P 的坐标, 由向量的坐标得到点的坐标, 再由点的坐标求出所用向量的坐标, 结合 求出 P 的坐标,代入 f(α)= ? 化简,由 α 的范围可求函数 f(α)的值域; + |= ,利用万 =

(2)由 O,P,C 三点共线,由向量共线的充要条件求出 tanα 的值,结合| 能公式,代入即可求出| + |的值.

解答: 解: (1)设点 P 的坐标为(x,y) , ∵ =(sinα,1) , =(cosα,0) , =(﹣sinα,2) ,

∴A(sinα,1) ,B(cosα,0) ,C(﹣sinα,2) , ∴ 由 =(cosα﹣sinα,﹣1) , = =(x﹣cosα,y) ,

,得 cosα﹣sinα=x﹣cosα,y=﹣1.

∴x=2cosα﹣sinα,y=﹣1, ∴点 P 的坐标为(2cosα﹣sinα,﹣1) , ∴ 则 f(α)= ?
2





=2sinαcosα﹣2sin α+1 =sin2α+cos2α = ∵α∈(﹣ , . ) ,∴ ,

∴f(α)∈(﹣1, ]; (2)∵O,P,C 三点共线, ∴﹣1×(﹣sinα)=2×(2cosα﹣sinα) , ∴tanα= , ∴sin2α= ∴| + |= , .

点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示,正弦型函数的单调性,两角和与差的正弦,二 倍角的正弦, 二倍角的余弦, 三点共线, 解题的关键是根据向量共线的充要条件求出 tanα 的值, 是中档题. 19. (12 分)在 Rt△ ABC 内有一内接正方形,它的一条边在斜边 BC 上,设 AB=a,∠ABC=θ,△ ABC 的 面积为 P,正方形面积为 Q.求 的最小值.

考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 根据已知条件容易求出 Rt△ ABC 的面积 P= 即可得到 ,从而可解出 x= ,若设内接正方形的边长为 x,结合图形 ,从而得到正方形面积

Q=

.从而得到

,而根据函数 y=1+

在(0,1]上单调递

减即可求出 的最小值. 解答: 解:AC=atanθ,P= AB?AC= a tanθ;
2

设正方形边长为 x,AG=xcosθ,BC=

,BC 边上的高 h=asinθ;
2



=

,∴x=

,∴Q=x =



从而 =

=



令 sin2θ=t, (0<t<1],所以 =1

,设 y=1

,y′=



∴函数 y=1+ + 在区间(0,1]上单调递减,从而,当 sin 2θ=1 时, ( )min= ; 即 的最小值为 . 点评: 考查直角三角形边角的关系,三角函数的定义,相似三角形对应边的比例关系,二倍角的正弦公 式, 以及根据函数导数判断函数单调性的方法, 根据函数单调性求函数的最值, 通过换元解决问题的方法. 对称,当 x∈时,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)

20. (13 分)定义在区间上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (A>0,ω>0,0<φ<π) ,其图象如图所示.

(Ⅰ)求函数 y=f(x)在的表达式; (Ⅱ)求方程 f(x)= 的解; (Ⅲ)是否存在常数 m 的值,使得|f(x)﹣m|<2 在 x∈上恒成立;若存在,求出 m 的取值范围;若不存 在,请说明理由. 考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)当 x∈时,由图象可求得 f(x) ,由 y=f(x)的图象关于直线 x= ﹣x) ,当 (Ⅱ)分﹣ 时,易求 f( , ﹣x) ; 两种情况进行讨论可解方程; 上恒成立,可转化为函数的最值解决,而最 对称,则 f(x)=f(

(Ⅲ)由条件得:m﹣2<f(x)<m+2 在 x 值可借助图象求得; 解答: 解: (Ⅰ)x∈,A=2,

,∴T=2π,ω=1,

且 f(x)=2sin(x+φ)过(﹣ ∵0<φ<π,∴﹣ f(x)=2sin(x+ 当 φ= ) ,

,2) , ,

,φ=

时,﹣

,f(

﹣x)=2sin(

﹣x+

)=2sin(π ﹣x)=2sinx, ,

而函数 y=f(x)的图象关于直线 x=

对称,则 f(x)=f(

﹣x) ,即 f(x)=2sinx,

∴f(x)=



(Ⅱ)当﹣ ∴x+ 当 = 或

时,f(x)=2sin(x+ ,即 x=﹣ 或 , ,sinx= , ,

)=

,sin(x+

)=



时,f(x)=2sinx= 的解集是{﹣

,∴x= , },





∴方程 f(x)=

(Ⅲ)存在,假设存在,由条件得:m﹣2<f(x)<m+2 在 x

上恒成立,





由图象可得:

,解得 0<m<2.

点评: 本题考查恒成立问题、三角函数解析式的求解及其图象性质,考查数形结合思想,考查学生解决 问题的能力. 21. (14 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M≥0,都有|f(x)|≤M 成立, 则称 f (x) 是 D 上的有界函数, 其中 M 称为函 f (x) 的一个上界. 已知函数 f (x) =1+a g(x)= . + ,

(1)若函数 g(x)为奇函数,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 g(x) ,在区间上的所有上界构成的集合; (3)若函数 f(x)在上的值域为,结合新定义,即可求得结论; (3)由题意知,|f(x)|≤3 在上单调递增,

∴函数 g(x)=

在区间上的值域为,

∴|g(x)|≤2, 故函数 g(x)在区间上的所有上界构成集合为.…(14 分) 点评: 本题考查了与函数性质有关的新定义问题,考查了换元法求函数的值域,综合性强,涉及知识面 广,难度较大.


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