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北师大版必修1 3.1.1正整数指数函数 讲稿


第三章
§1

指数函数和对数函数
正整数指数函数

景德镇第一中专 文志杰

1

引入新课

2

国际象棋发明者的奖励

3

国际象棋发明者的奖励

印度舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨?班?达 依尔,并问他想得到什么样的奖赏,大臣说:“陛下, 请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子,在 第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这 样下去,每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍, 直到把每一小格都摆上麦粒为止。并把这样摆满棋盘 上六十四格的麦粒赏给您的仆人。”
4

国王认为这位大臣的要求不算多,就爽快地

答应了。国王叫人抬来麦子并按这位大臣的
要求,在棋盘的小格内摆放麦粒:在第一格

内放一粒,第二格内放两粒,第三格内放四
粒??还没摆到第二十格,一袋麦子已经用

光了。国王这才发现,即使把全国的麦子都
拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺, 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?
5

1.了解正整数指数函数的概念 2.能画出一些简单的正整数指数函数的图像,了解它们

的特征
3.领会数形结合、分类讨论等数学思想方法

6

问题探究
问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分裂为4个, ??一直分裂下去

(1)用列表表示1个细胞分裂次数分别是1,2,3,4,5,6, 7,8时,得到的细胞个数

解 :利用正指数指数幂的运算法则,可以算出如下表
分裂次数 (n) 1 细胞个数 (y) 2 2 3 4 5 6 7 8

4

8

16

32

64

128

256
7

(2)用图象表示1个细胞分裂次数n,n∈N+与得到的细 胞个数 y 之间的关系;

解:
32 16

y

8 4 2 4 6


8

(3)写出y与n之间的关系式,试用科学计算器计算细胞

分裂15、20次得到的细胞个数

解: 细胞个数 y 与分裂次数 n 的关系为:
y ? 2 (n ? N ? )
n

用科学计算器算得
2
15

? 32768 ? 1048576

2

20

细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别 是32768个和1048576个。

9

问题2.电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的
t 臭氧层。臭氧含量 Q 近似满足 Q ? Q 0 ? 0 . 9 9 7 5 ,

其中 Q 0 是臭氧的初始量,t 是时间(年)。设 Q 0 =1.

(1)计算经过 20,40,60,80,100 年,臭氧含量 Q . (2)用图像表示每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化。 (3)试分析随着时间的增加,臭氧含量 Q 是增加还是减少 小?
10

解 : ( 1 ) 用 科 学 计 算 器 可 算 得 , 经 过 20 ,4 0 ,6 0 ,8 0,1 00 年 后 , 臭 氧 含 量 Q分 别 是 :

0 .9 9 7 5 0 .9 9 7 5 0 .9 9 7 5 0 .9 9 7 5 0 .9 9 7 5

20

? 0 .9 5 1 2 ? 0 .9 0 4 7 ? 0 .8 6 0 5 ? 0 .8 1 8 5 ? 0 .7 7 8 6

40

60

80

100

11

(2)每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化,它的图像也 是由一些孤立的点组成;

(3)通过计算和看图可 以知道,随着时间的增 加,臭氧的含量在逐渐 减少.

12

分析理解
细胞个数y与分裂次数n之间存在着函数关系 y=2n ,n∈N

问题1研究了随分裂次数增加细胞个数增加的趋势,可以知道,

问题1研究了随年份增加臭氧含量减少的趋势,同样可以知 道,臭氧含量Q与年份t之间存在着函数关系 Q = 0.9975t , t∈ N

13

一般地,函数 y ? a ( a ? 0 , a ? 1, x ? N ? )
x

叫做正整数指数函数,
其中 x 是自变量,定义域是正整数集 N ? .
在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常

见这类函数.

14

判一判
判断下列函数是否为正整数指数函数. (1) y=3x (x∈N+) (2) y=3-x (x∈N+) (3) y=2×3x (x∈N+) (4) y=x3 (x∈N+)

15

例题讲解
例 某地现有森林面积为 1000hm ,每年 增长 5%,经过 x ( x ? N ? ) 年,森林面积 为 y hm ,写出 x , y 间的函数关系式, 并求出经过 5 年后,森林的面积.
2 2

16

解: y与x之间的函数关系式为
y ? 1000(1 ? 5%) ( x ? N ? )
x

经过 5 年,森林的面积为

1000(1 ? 5%) ? 1276.28(hm ).
5 2

17

课堂练习

P63

练习 1、2

18

课堂练习答案
1. 画出函数 y ? ( ) ( x ? N ? ) 的图像,
x

1

2

并说明函数的单调性. 解:列表作图如下:
x y -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4

函数在定义域上为减函数.

19

2.一种产品的年产量原来是 10000 件,今后计划 使年产量每年比上一年增加 p % ,写出年产量 随年数变化的函数关系式.
解:年产量随年数变化的函数关系式为:

y ? 10000(1 ? p%) ( x ? N ? )
x

20

1.正整数指数函数的概念 2. 会画简单正整数指数函数的图像并能分析其简单性 质.

21

家庭作业:

练习28

P63,习题3-1 1、2、3

22


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