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北京市海淀区2014年高三一模数学(文)


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文科)
2014.4
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.
1.

r />
5 ? 2?i
A. 2 ? i B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

2. 已知集合 A ? ??1,0,1 ?, B ? y y ? sin πx, x ? A ,则A ? B ? A. {- 1} B. {0} C.

?

?

{1}

D. ?

3. 抛物线 y 2 ? 8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点有 A.0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 4 个

4. 平面向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 1 ,且 a , b 的夹角为 60? ,则 a ? (a ? b) = A.1 5. B. 3 C.5 D. 7

函数 f ( x ) ? 2 x ? sin x 的部分图象可能是
y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

6. 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 ? a2 , S3 成等差数列,则数列 ?an ? 的公比为 A.1 B.2 C.

1 2

D.3

7. 已知 f ( x) = a x 和 g ( x) = b x 是指数函数,则“ f (2) > g (2) ”是“ a > b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G : y ? ln x 上,若线段 AB 与曲线 M : y ?

1 相交且交点恰为线段 AB 的中点,则称 B x

为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点.那么曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则 m ? __________. m 3

10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______ 方案一: 方案二: 方案三:

11. 在 ?ABC 中, a = 3 , b = 5 , C = 120? ,则

sin A = ______, c = _______ . sin B

12. 某商场 2013 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型: ① f ( x) ? p ? q x , (q ? 0, q ? 1) ;② f ( x) ? log p ? q( p ? 0, p ? 1) ;③ f ( x) ? x2 ? px ? q .
x

能较准确反映商场月销售额 f ( x ) 与月份 x 关系的函数模型为 _________(填写相应函数的序号) ,若所选函数满足

f (1) ? 10, f (3) ? 2 ,则 f ( x) =_____________.
13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为__________.

14. 设不等式组 ?

? x ? y ? 2 ? 0, 表示的区域为 ?1 ,不等式 x 2 ? y 2 ? 1表示的平面区域为 ? 2 . x ? ay ? 2 ? 0 ?
; .

(1) 若 ?1 与 ? 2 有且只有一个公共点,则 a =

(2) 记 S (a ) 为 ?1 与 ? 2 公共部分的面积,则函数 S (a ) 的取值范围是
3 3

8

主视图
4 6

侧视图

俯视图

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分)

π 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) . 3 π (Ⅰ)求 f ( ) ; 6 π π (Ⅱ)求 f ( x) 在 [? , ] 上的取值范围. 2 2

16. (本小题满分 13 分) 某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对 100 名出租车司机进行调查.调查问卷共 10 道题,答题情况如下表: 答对题目数 女 男

?0,8?
2 3

8 13 37

9 12 16

10
8 9

(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于 9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司 机对新法规知晓情况比较好的概率; (Ⅱ)从答对题目数少于 8 的出租车司机中任选出两人做进一步的调查, 求选出的两人中至少有一名女出租车司机的 概率.

17. (本小题满分 14 分) ABC=90° 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ ,D 为 AC 中点, AE ? BD 于 E (不同于点 D ) ,延长 AE 交 BC 于 F, 将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 A 1 ? BCD ,如图 2 所示. (Ⅰ)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM //平面 A 1EF ; (Ⅱ)求证:BD⊥ A1F ; (Ⅲ)若平面 A 1 B 与直线 CD 能否垂直?并说明理由. 1 BD ? 平面 BCD ,试判断直线 A
A D E B F C

A1

E B F

D M C

图 1

图 2

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? 1 时,求证: f ( x) ? kx ? 1 恒成立.

19. (本小题满分 14 分) 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 4 上两点,点 M 的坐标为 (1,0) . (Ⅰ)当 A, B 关于点 M (1,0) 对称时,求证: x1 ? x2 ? 1 ; (Ⅱ)当直线 AB 经过点 (0,3) 时,求证: ?MAB 不可能为等边三角形.

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点) A(n) :

A1 , A2 , A3 ,?, An 与 B(n) : B1 , B2 , B3 ,?, Bn ,其中 n ? 3 ,若同时满足:
①两点列的起点和终点分别相同;②线段 Ai Ai ?1 ? Bi Bi ?1 ,其中 i ? 1, 2,3,?, n ? 1 , 则称 A(n) 与 B (n) 互为正交点列. (Ⅰ)试判断 A(3) : A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 与 B (3) : B 1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 是否互为正交点列,并说明理 由; (Ⅱ)求证: A(4) : A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 不存在正交点列 B (4) ; (Ⅲ)是否存在无正交点列 B(5) 的有序整数点列 A(5) ?并证明你的结论.

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数 学 (文科)
2014.4
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 1 10. 方案三 11.

3 ,7 5

12. ③, f ( x) ? x2 ? 8x ? 17

13. 152

14. ? 3 , [0, )

π 2

{说明:两空的第一空 3 分,第二空 2 分;14 题的第二空若写成 (0, ) 不扣分}

π 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.解:

π π π π (Ⅰ) f ( ) ? sin ? sin( ? ) 6 6 6 3 π π ? sin ? sin(? ) 6 6 π π ? sin ? sin 6 6 π ? 2sin ? 1 6
1 3 (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin x ? cos x 2 2

---------------------------------1 分 ---------------------------------2 分 ---------------------------------3 分 ---------------------------------4 分

---------------------------------6 分

? 1 3 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) 3 2 2
π π ?x? 2 2 π π 5π 所以 ? ? x ? ? 6 3 6 1 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 2 3
因为 ?

--------------------------------8 分

--------------------------------10 分 --------------------------------12 分 --------------------------------13 分

1 所以 f ( x ) 的取值范围是 [? ,1] 2

16.解: (Ⅰ)答对题目数小于 9 道的人数为 55 人,记“答对题目数大于等于 9 道”为事件 A

P( A) ? 1 ?

55 ? 0.45 100

--------------------------------5 分

(Ⅱ)设答对题目数少于 8 道的司机为 A、B、C、D、E,其中 A、B 为女司机 ,选出两人包含 AB、AC、AD、AE、 BC、BD、BE、CD、CE、DE 共 10 种情况,至少有 1 名女驾驶员的事件为 AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE 共 7 种. 记“随机选出的两人中至少有 1 名女驾驶员”为事件 M,则

P( M ) ?
17.解:

7 ? 0.7 10

--------------------------------13 分

(Ⅰ)因为 D , M 分别为 AC , BD 中点,所以 DM // EF 又 EF ? 平面A 1EF , DM ? 平面A 1 EF 所以 DM / / 平面A1EF . (Ⅱ)因为 A1E ? BD , EF ? BD 且 A1E ? EF ? E 所以 BD ? 平面A 1EF 又A 1 F ? 平面A 1EF -------------7 分 所以 BD ? A1F

---------------------2 分

-----------------------4 分
A1

------------------------9 分 ---------------------------------------10 分

E B F

D M C

(Ⅲ)直线 A 1B 与直线 CD 不能垂直

因为 平面A 1BD ? 平面BCD ? BD , EF ? BD , 1BD ? 平面BCD , 平面A

EF ? 平面CBD ,
所以 EF ? 平面A 1BD . 因为 A 1B ? 平面A 1BD ,所以 A 1 B ? EF , 又因为 EF / / DM ,所以 A 1B ? DM . 假设 A1B ? CD , 因为 A 1B ? DM , CD ? DM ? D , 所以 A 1B ? 平面BCD , ------------------------------------------13 分 ---------------------------------------12 分

所以 A1B ? BD ,这与 ?A 1BD 为锐角矛盾 所以直线 A 1B 与直线 CD 不能垂直. ---------------------------------------14 分

18.解: (Ⅰ) 定义域为 ? 0, ?? ? ------------------------------------1 分 ------------------------------------2 分

f '( x) ? ln x ? 1
令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 e

------------------------------------3 分

f '( x) 与 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)

1 (0, ) e

1 e
0 极小值

1 ( , ??) e

?


?


--------------------------------5 分 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??) --------------------------6 分 (Ⅱ) 证明 1: 设 g ( x) ? ln x ?

1 e

1 e

1 ,x ?0 x

------------------------------------7 分

g '( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 x x2 x

-------------------------------8 分

g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)
所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,即

(0,1)

1 0 极小值

(1, ??)

?


?


ln x ?

1 ? 1在 x ? 0 时恒成立, x 1 ?k, x

----------------------10 分

所以,当 k ? 1 时, ln x ?

所以 x ln x ? 1 ? kx ,即 x ln x ? kx ? 1 , 所以,当 k ? 1 时,有 f ( x) ? kx ? 1 . ------------------------13 分

证明 2: 令 g ( x) ? f ( x) ? (kx ? 1) ? x ln x ? kx ? 1 ----------------------------------7 分 -----------------------------------8 分 -----------------------------------9 分

g '( x) ? ln x ? 1 ? k
令 g '( x) ? 0 ,得 x ? ek ?1

g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)

(0,ek ?1 )

e k ?1
0 极小值

(ek ?1 , ??)

?


?
↗ ---------------------10 分

g ( x) 的最小值为 g (ek ?1 ) ? 1 ? ek ?1
当 k ? 1 时, e k ?1 ? 1 ,所以 1 ? e k ?1 ? 0 故 g ( x) ? 0 即当 k ? 1 时, f ( x) ? kx ? 1 . 19.解: (Ⅰ)证明: 因为 A, B 在椭圆上,

-------------------11 分

-----------------------------12 分 ------------------------------------13 分

ì ? x12 + 2 y12 = 4, ① ? 所以 í 2 2 ? ? ? x2 + 2 y2 = 4. ②
因为 A, B 关于点 M (1,0) 对称, 所以 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 0 ,

-----------------------------------1 分

--------------------------------2 分

将 x2 ? 2 ? x1, y2 ? ? y1 代入②得 (2 ? x1 )2 ? 2 y12 ? 4 ③, 由①和③消 y1 解得 x1 ? 1 , 所以 x1 = x2 = 1. (Ⅱ)当直线 AB 不存在斜率时, A(0, 2), B(0, 可得 AB = 2 2, MA = ------------------------------------------4 分 ------------------------------------------5 分

2) ,
-----------------------6 分

3 , ?ABM 不是等边三角形.

当直线 AB 存在斜率时,显然斜率不为 0. 设直线 AB : y ? kx ? 3 , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ,

? x 2 ? 2 y 2 ? 4, 2 2 联立 ? 消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 12kx ? 14 ? 0 , ------------------7 分 ? y ? kx ? 3,
? ? 144k 2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ?14 ? 32k 2 ? 56

由 ? ? 0 ,得到 k ?
2

7 4



-----------------------------------8 分

又 x1 ? x2 ?

14 ?12k , x1 ? x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

所以 x0 =

- 6k 3 , y0 = kx0 + 3 = , 2 1 + 2k 1 + 2k 2

所以 N (

?6k 3 , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

-------------------------------------------10 分

假设 ? ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB , 又因为 M (1, 0) ,

3 2 所以 kMN ? k ? ?1, 即 1 ? 2k ? k ? ?1 , ?6k ? 1 1 ? 2k 2
2 化简 2k ? 3k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? ?

---------------------11 分

1 2

---------------12 分

这与①式矛盾,所以假设不成立. 因此对于任意 k 不能使得 MN ? AB ,故 ? ABM 不能为等边三角形. ------------14 分 20.解: (Ⅰ)有序整点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 与 B 1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 互为正交点列. -------------------------1 分 理由如下: 由题设可知 A B2 B3 ? (3, ? 3) , 1A 2 ? (3, ?2), A 2A 3 ? (2,2) , B 1B2 ? (2,3), 因为 A B1B2 ? 0 , A2 A3 ?B2 B3 ? 0 1A 2? 所以 A 1A 2 ?B 1B2,A2 A 3 ? B2 B3 . 所以整点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 与 B 1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 互为正交点列.

?????

?????

?????

?????

????? ?????

????? ?????

????? ????? ????? (Ⅱ)证明 :由题意可得 A A ? (3,1), A A ? (3, ? 1) , A3 A4 ? (3,1) , 1 2 2 3
设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列,

----------------------------3 分

则可设 B1B2 ? ?1 (?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3), B3B4 ? ?3 (?1,3) , ?1,?2,?3 ? Z 因为 A 1与B 1, A 4与B4 相同,所以有

?????

?????

?????

? ?-?1 +?2 -?3 =9 ① ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 ②
因为 ?1,?2,?3 ? Z ,方程②不成立,

所以有序整点列 A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 不存在正交点列.----------8 分 (Ⅲ)存在无正交点列的整点列 A(5) . -------------------------------------------9 分

?????? 当 n ? 5 时,设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), ai , bi ? Z, 其中 ai , bi 是一对互质整数, i ? 1, 2,3, 4
若有序整点列 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 是点列 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 的正交点列, 则 Bi Bi ?1 ? ?i (?bi , ai ), i ? 1,2,3,4 ,由
4 ? 4 ? ? b ? ai , ① ? ? i i ? ? i =1 i ?1 得? 4 4 ? ?a ? b . ② ?ii ? i ? ? i =1 i ?1

??????

?????? 4 ?????? ? Ai Ai?1 ? ? Bi Bi+1
4 i =1 i ?1

取 A1 (0,0), ai =3, i ? 1,2,3,4 , b1 ? 2, b2 ? ?1, b3 ? 1, b4 ? ?1 由于 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1,2,3,4 . 等式②中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以存在无正交点列的整点列 A(5) . -----------------------------------13 分


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