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饱和岩体热流固耦合数学模型研究


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饱和岩体热流固耦合数学模型研究
刘善利 1,赵坚 2
1. 长江南京航道工程局,南京(210011) 2. 河海大学水利水电工程学院,南京 (210098)
E-mail: liulanxun123245@sina.com

摘 要:在高压注水油采作业、冻土冷融

及核废料库围岩等工程中,都可能会由于地质环境 条件(如内部温度、压力等)产生比较剧烈改变而导致岩体介质密度发生改变。基于对此类 岩体热流固耦合问题的认识和研究, 本文把液固介质的密度作为随温度、 压力改变而变化的 参数,把粘性耗散能热源项和温度梯度引起的流量变化流源项反映在热流固耦合作用过程 中,推导建立了考虑介质密度变化的饱和岩体热流固耦合数学模型。 关键词:饱和岩体;耦合;热流固;数学模型

0. 引言
岩体热流固(Thermo-Hydro-Mechanical,简写为 THM)三场耦合研究已深入到地热资 源开发利用、核废料安全处置、非等温煤层瓦斯渗流、冻土及油气田开采等领域中。建立反 映温度场、 渗流场和应力场各场之间相互作用的耦合数学模型是研究岩体热流固耦合问题的 基础,也是重点。国内外很多学者根据不同研究对象和目的,先后建立了形式各异的热流固 耦合数学模型,如非等温瓦斯渗流数学模型、三维裂隙网络块裂介质模型、连续介质参数模 型、饱和小变形线热弹性模型、污染物运移模型、经典流固耦合方程组加上温度场经验方程 建立的模型、基于含油气盆地的多场耦合模型、冻土模型、饱和热弹性多孔介质瞬态全耦合 模型、核废料地下处置多相耦合模型等。在此类模型中,一般把液固介质的密度项作为常数 来考虑,即不考虑或忽略介质密度随温度、压力变化影响因素,也忽略源汇项的作用。研究 和实验[1-2]表明,这样处理与实际情况有出入,特殊情况下,分析结果会有较大误差。因此, 研究在温差和压力变化比较剧烈情况下的介质密度项和源项改变影响是必要的。 本文根据高压注水油采作业、 冻土冷融及核废料库围岩等工程中, 由于地质环境条件 (如 内部温度、压力等)产生比较剧烈改变,可能导致岩体介质密度发生改变的情况,以孔祥言 提出的“饱和小变形线热弹性模型”模型[3]为基础,运用混合分析法[4],推导建立固液介质密 度随温度、 压力变化和源项等影响因素的饱和岩体温度场、 应力场和流体渗流场耦合的数学 模型, 提出了模型应用的环境条件, 并在模型中加入反映粘性耗散能的热源项和温度梯度引 起的流量变化流源项。

1. 基本思路
建立热流固三场耦合数学模型的基础是构造反映物质特性的物性方程。 物性方程包括状 态方程和本构方程。状态方程是联系物质(如地下水、岩体骨架等)和各种热力学参数之间关 系的方程,也称平衡态热力学特性方程,它反映物质特性参数随压力和温度变化的关系;而 本构方程是描述依赖于特定物质内部结构固有反应的方程, 它反映物质分子热运动特性或内 在的激发-反应关系,即非平衡态热力学特性方程。

1.1 状态方程
孔祥言[3]等基于饱和多孔材料小变形情形的线性热弹性理论建立了热流固耦合数学模 型, 模型考虑了流体和固体密度以及孔隙度随压力和温度的变化关系和液体粘度随温度变化
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等因素。本文在建立地下水、固体介质状态方程中,采用孔祥言的理论方法,考虑介质密度 随压力和温度的函数关系。即 1 ○地下水密度 ρ f :

ρ f = ρ f 0 exp[c f ( p ? p 0 ) ? β f (T ? T0 )] = ρ f 0 + ρ f 0 c f Δp ? ρ f 0 β f ΔT
2 ○固相密度 ρ s

(1)

ρ s = ρ s 0 [1 +

′ p ? p0 tr (σ ′ ? σ 0 ) ? 3β Tm (T ? T0 ) ? ] (1 ? φ )3K m Km

(2)

而在地下水的粘度取值上, 则采用试验方法得出的规律; 固在整个热流固三场耦合状态 方程的建立上采用理论法和试验法相结合的混合分析法。

1.2 本构方程
在本构方程的构建过程中,本文在已有研究[3]的基础上考虑到: (1)岩体为单相流体(地下水)所饱和,只考虑固液两相; (2)考虑质量源。地下水渗流服从广义 Darcy 定律,考虑温度梯度的影响;热传导则遵 循 Fourier 导热定律,考虑粘性耗散。 对于热流固三场耦合问题,其本构方程包括热传导方程、地下水运动方程、岩体热弹性 方程。 1 ○热传导本构方程(Fourier 定律)[5] 广义 Fourier 定律可写为: 式中

q h = ? λ ?T + D p ?p

(3)

q h 为热流密度向量; 为导热系数; 为孔隙水压力梯度作用下的热流扩散率; λ Dp q h = ? λ ?T 。

?p 为孔隙水压力梯度。由于 Dufour 效应的影响十分微弱,故略去水力梯度引起的热通量,
即本文采用 2 ○地下水运动方程(Darcy 定律) 考虑类 Soret 效应的广义 Darcy 定律[6-7]可写为: q = ? 式中

k

μf

(?p + ρ f g?z ) ? DT ?T f

(4)

DT 为温差作用下的水流扩散率,DT 中已经包含地下水和固体的热膨胀系数、物

理化学变化系数的影响。 3 ○岩体热弹性本构方程 对岩体骨架热膨胀性质及力学性质各向同性的情况, 考虑热应力及流体孔隙压力的岩体 应力-应变关系可写为:

σ ij = 2Gε ij + λδ ij ε V ? βδ ij (T ? T0 ) + αpδ ij

(5)

式中 σ ij 为应力分量; ij 为应变分量;β = (2G + 3λ ) β s 为热应力系数, 和 λ 为 Lamé G ε 弹性常数, β s 为岩体骨架各向同性线热膨胀系数; δ ij 为 Kronecker 数; α 为 Biot 系数。

2. 热流固三场耦合数学模型建立
利用热传导方程、 地下水运动方程、 岩体热弹性方程三个本构方程和利用结合描述物质 存在和运动形式的普遍物理规律的三个基本方程,即线动量平衡方程(运动方程) 、连续性
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方程和能量守恒方程,可以推导出三场耦合控制方程组,方程组含有岩体变形场控制方程、 地下水渗流场控制方程和岩体温度场控制方程。

2.1 岩体变形场控制方程
由线动量平衡原理可导出静力平衡方程[8]:

σ ij , j + ρf i = 0
式中

(6)

ρ = φρ f + (1 ? φ ) ρ s 为岩体介质(骨架+地下水)的等效密度, kg / m 3 ; f i 为岩体

介质的体积力分量,当只考虑重力时,有 f i = g i = (0,0, g ) T 。

G? 2 u i + (G + λ )ε V ,i ? (2G + 3λ ) β s T, j δ i , j + αp, j δ i , j + (φρ f + (1 ? φ )ρ s ) f i = 0(i = 1,2,3)
(7) 分别在 x,y,z 三个方向上对时间 t 求导数,得

将上式变换得,

G
G

? 2ε V ? 2 ? 2T ?2 p ? u x + (G + λ ) =0 ? (2G + 3λ )β s +α ?t ?t ?x ?t ? x ?t?x

(

)

? ? 2ε V ?2 p ? 2T ? 2 u y + (G + λ ) =0 +α ? (2 G + 3λ )β s ?t ? t? y ?t?y ? t? y

(

)

G

? 2ε V ? ? 2 u z + (G + λ ) ? t? z ?t

(

)

? (2 G + 3 λ )β s

?ε ? 2T ?2 p + ρ s 0 (1 ? α ) V +α ?t?z ? t? z ?t

+

? ?α ?φ ? φ 0 cφ ? ρ f 0 φc f + ρ s 0 ? ? K ? m ? ?
这里 α = 1 ?

? ? ?p ?T ?? g ? ?t + [ρ f 0φ 0 β f ? ρ s 0 (3(1 ? α )β Tb ? 3(1 ? φ )β Tm ? φ 0 β φ )]g ?t = 0 ?? ? (8)


Kb

Km

,Kb

β Tb 分别表示固体整体的体积模量及线热膨胀系数。

2.2 地下水渗流场控制方程
考虑质量源, 地下水的连续性方程为: 岩体骨架的连续性方程为:

?( ρ f φ ) ?t

+ ? ? ( ρ f φv f ) = ρ f Q f

(9)

?[ ρ s (1 ? φ )] (10) + ? ? [ ρ s (1 ? φ )v s ] = 0 ?t 式中 ρ f 、 ρ s 分别为地下水、岩体骨架的密度,kg/m3; φ 为岩体的孔隙度; v f
分别为地下水的实际流速向量和岩体骨架的速度向量; Q f 为单元体内的源汇强度。 根据质量守恒定律,渗流场控制方程为:



vs

ρ fα
? ? ? ? ? ?ρ f ? ?

ρf ?T ? ?p ?ε V ? + ? ρ f 0φc f + (α ? φ )? ? {3ρ f [(1 ? φ )βTm ? (1 ? α )βTb ] + ρ f 0φβ f } Km ?t ? ?t ? ?t
(11)

? k ?? ? (? p + ρ f g ? z ) + DT ? T ? ? = ρ f Q f ? ? μ f (T ) ?? ? ??

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2.3 岩体温度场控制方程
本文考虑的源项包括岩体本身的热生产率及其它各种附加热源/汇项[2], 包括各种热对流 项和传导项,其中的热传导项采用 Fourier 导热定律得出。经过推导,具体的温度场控制方 程为:

[(1 ? φ )ρ

s

C s + φρ f C

f

] ??T t

= ? ? { (1 ? φ )λ s + φλ

[

f

]? T }

? ? ?ε k ?ηt (12) + ρ f C f ? ? ?T (? p + ρ f g? z ) ? ? (1 ? φ )T⊕ β V + Q fv + Q fp + Q0 e ? μ (T ) ? ?t f ? ? ?ε V 为热弹性耦合项[2]; Q fv 为粘性耗散项[9] 其中,等式右方 ? (1 ? φ )T ⊕ β
?t

Q fv =
[10]

φμ f
k

v?v +

φFρ f
k

v ? v ? v ;Q fp 为地下水的可逆变形引起的单元体的能量变化项
为热生成率项[11]。

, Q fp = ?T⊕

βf
cf

??v;

Q0 e ?ηt

3. 数学模型特征
与孔祥言建立的模型[3]相比,本文由于在本构方程的构建上考虑了诸多因素, 既包括 考虑到密度随温度和压力变化的函数关系,又考虑了各种热源、流源项,且在各方程的组成 上采用便于理解的变量叠加形式, 因此使得推导建立的考虑介质密度为变量及各源项的三场 耦合方程组具有以下特征: 1)变形场应力应变形式采用外力的作用叠加形式; 孔祥言等推导出的岩体变形本构方程为: 从渗流场方程组(11)和(14)比较来看,所推方程在组成上,本文给出的方程里面较孔祥 言提出的渗流场方程多了两项 ρ f Q f , DT ?T ,分别代表源项和温度梯度项因素。另外,孔 祥言在液体密度上进行了约分,即在渗流场处理中忽略了液体密度随温度和压力的变化关 系。

? ? ?2ε ?2T ?2 p ? ?a =0 G ?2ux + (G + λ ) V ? 3KbβTb ?t ?t?x ?t?x ?t?x ? ? ?2 p ? ?2ε ?2T ?a =0 G ?2uy + (G + λ ) V ? 3Kb βTb ? ?t ?t?y ?t?y ?t?y ? ? ?p ? ? 2 ?2εV ?2T ?2 p ?ε ? a ?φ ? φ0Cφ )? g ? 3KbβTb ?a ? ρs0 (1 ? a) V ? ?ρ f 0φc f + ρs0 ( ?G ? uz + (G + λ ) ?t?z ?t?z ?t?z ?t ? Km ? ?t ? ?t

(

)

(

)

(

)

? ρ f 0φ0 β f ? ρ s 0 (3(1 ? a)βTb ? 3(1 ? φ )βTm ? φ0 βφ ) g

[

]

?T =0 ?t

(13)

从变形场方程组(8)和(13)比较来看,两表达式形式基本相同,均是考虑介质密度随温度 和压力变化后得出的结果。 所不同的是构筑应力应变的形式, 本文是在有效应力原理的基础 上添加了考虑温度和孔隙水压力作用的应力应变关系, 后者是将应变分解为热应变、 应力应

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变及压力应变的思路推导的, 以致两模型变形场方程组部分系数有差异, 例如本文热变形前 面的系数为 ? (2G + 3λ ) β s ,而后者对应的系数为 ? 3K b β Tb ;本文在压力应变前面的系数 均与孔祥言给出的变形场方程组压力应变系数绝对值相等,但是符号相反。 2)渗流方程为考虑源项及附加源项形式构筑的; 孔祥言推导出的渗流方程为:

a

? K ? ? ?p ?ε V ? a ? φ ?T +? ? K + c f φ ? ?t + 3(1 ? a )β Tb ? (1 ? φ )β Tm ? φβ f ?t = ? ? ? μ (T ) (?p + ρ f g?z )? ? ?t ? m ? f ? ? ? ?

[

]

(14) 从渗流场方程组(11)和(14)比较来看,所推方程在组成上,本文给出的方程里面较孔祥 言提出的渗流场方程多了两项 ρ f Q f , DT ?T ,分别代表源项和温度梯度项因素。另外,孔 祥言在液体密度上进行了约分,即在渗流场处理中忽略了液体密度随温度和压力的变化关 系。 3)能量方程为考虑各种能量变化的叠加形式组合而成的; 孔祥言推导出的能量方程为:
? ?a ?φ ? φ 0 cφ ? ρ s0 c s v? ? K m ? ? ? ? ?p ? ? K ?T ? ? ? ρ s 0 c s v ? ? φβ φ + 3 (1 ? φ )β Tm ? 3 b β Tm ? ? Km ? ? ?t ? ? ? ? ?T ?T ? + ? ? ? ?t

ρs0csv? ?

? Kb ? ?ε ? ? K T + (1 ? φ )3βTmKmT00 + φρl clpT + (1 ? φ )ρscspT ? v ? ? ? ?ρl clpT (?p + ρl g?z )? + ? ? (kl?T ) = qht ? ?t μ ? ? ? Km ? (15)

4. 结语
本文基于温差变化比较大的应用条件, 重点考虑密度项随温度、 压力变化及源项的影响 因素,建立了饱和岩体热流固耦合数学模型,包括地下水渗流场运动方程、岩体变形场方程 及温度场方程。 经求解验证及算例分析, 表明本文建立的模型适用于温差变化比较大的条件 下的多场耦合问题, 可以求解有关求解油气田开采、 核废料处置、 冻土等问题。 受篇幅所限, 此部分内容将在另文介绍。

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参考文献
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STUDYING ON THERMO-HYDRO-MECHANICAL COUPLING MATHEMATICAL MODEL OF SATURATED ROCKS
LIU Shanli1, ZHAO Jian2
1.Changjiang Nanjing waterway Construction bureau, Nanjing (210011) 2.College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University, Nanjing (210098) Abstract In oil mining operations by water injection in high pressure, the permafrost by melting and frozening , and the nuclear waste project in rock mass,the density of rock medium will be changed when the geological environmental conditions (such as internal temperature, pressure,etc) have a more dramatic change.Based on understanding and studying the Thermo-Hydro-Mechanical coupling problem of such rock mass, the density of liquid-solid medium is considered as a parameter changing with temperature and pressure, the heat source produced by the viscous dissipation and the stream flow source made by temperature gradient are reflected in the process of the Thermo-Hydro-Mechanical coupling,then the saturated rocks coupling model is derived by considering the changes of the medium density. Keywords:saturated rocks;coupling;Thermo-Hydro-Mechanical;mathematical model 作者简介:刘善利(1980-)男,汉族,山东济宁人,硕士,助工,从事疏浚吹填施工管理。 liulanxun123245@sina.com

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