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全国高中数学联赛预赛模拟试卷第二卷


全国高中数学联赛初赛模拟试卷 一、选择题(每小题 5 分,6 个小题共计 30 分) 2x 1. 函数 f(x)=x+ x 4 -1 A.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.是奇函数但不是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 2. 已知 f(x)对任意的整数 x 都有 f(x+2)=f(x-2),若 f(0)=2003,则 f(2004)= A.2002 B.2003 C.2004 D.2005 3. 已知不等式 m2+(cos2θ-5)m+4sin2θ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4 或 x≤0 D.m≥1 或 m≤0 4. 母线长为 6的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为 A.1 B.2 C.3 D.4 5. 正三棱锥相邻侧面所成二面角,等于侧面与底面所成二面角的两倍,则侧棱与底面边长 之比为 3 A. 2 4 B. 3 3 C. 4 2 D. 3 6. 函数 y=cos3x+sin2x-cosx 的最大值等于 32 A. 27 16 B. 27 C. 8 27 D. 4 27 二、填空题(每小题 5 分,6 个小题共计 30 分) 32x 1 2 100 7. 已知函数 f(x)= )+f( )+……+f( )=________________. 2x,则 f( 101 101 101 3+3 8. 不等式|x2-2|≤2x+1 的解集为__________________. 9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号,则在这 90000 个车牌照中数 字 9 至少出现一个,并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有____________个. 1 1 1 10.若 0<a、b、c<1 满足条件 ab+bc+ca=1,则 + + 的最小值是_________. 1-a 1-b 1-c 11.已知正四棱锥 V-ABCD 的棱长都等于 a,侧棱 VB、VD 的中点分别为 H 和 K,若过 A、 1 H、K 三点的平面交侧棱 VC 于 L,则四边形 AHLK 的面积为_______________. 12.已知 a、b、x 是实数,函数 f(x)=x2-2ax+1 与函数 g(x)=2b(a-x)的图象不相交,记参 数 a、 b 所组成的点(a, b)的集合为 A, 则集合 A 所表示的平形图象的面积为___________. 三、解答题(每小题 20 分,4 个小题共计 80 分) 13.已知数列{an}满足 a1=1,an=2an-1+n-2(n≥2),求通项 an. 14.如图,O、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心,D 是 BC 边的中点, 由 H 向∠A 及其外角平分线作垂线, 垂 足分别是 E 是 F.证明:D、E、F 三点共线. 15.设 A={1,2,……,n},用 Sn 表示 A 的所有非空真 O E H A F 子集中个元素之和,Bn 表示 A 的子集个数. Sn 求 lim 2 . Bn n→∞n · x2 y2 16.已知椭圆ε : 2+ 2=1(a>b>0), a b 动圆Γ :x2+y2=R2,其中 b<R<a. B D C 若 A 是椭圆ε 上的动点,B 是动圆Γ 上的动点,且使直线 AB 与椭圆ε 和动圆Γ 均相切, 求 A、B 两点的距离|AB|的最大值. 2 参考答案 一、ABCBDA 二、7、50; 8、{x| 2-1≤x≤3}; 11、 5 2 a; 6 9、4168; 12、π


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