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12.1.1 两角和与差的余弦公式教案


12.1.1 两角和与差的余弦公式教案
【教学目标】
知识目标:理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差 的余弦公式,运用两角和与差的余弦公式,解决相关 数学问题。 能力目标:培养学生严密而准确的数学表达能力;培养学生逆向思维 和发散思维能力;培养学生的观察能力,逻辑推理能 力和合作学习能力。

【教学重点】
两角和与差

的余弦公式的理解与灵活运用。 .

【教学难点】
两角和与差的余弦公式的推导。

【教学过程】 教 过 一 创设情境,引入课题
问题 1 :我们已经学习了向量的数量积,请用数 量积的知识完成下列练习。 利用 同角 质疑 观察 三角 函数 基本 说明 思考 关系 进行 三角 式的 理解 介绍 求值 与化 领会 分析 简应 用来 15

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

a ? b ? a b cos?

a? (x1 , y1 ), a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
练 习 已 知

b? (x2 , y2 )



a ? (cos45?, sin 45?)



讲解

主动 求解

b ? (cos30?, sin 30?) ,则 a ? b ?

引领

二 自主探究,引发思考

教 过
问 题 2

学 程
: 由

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
巩固 求解 讲解 公式

cos(45? ? 30?) ? cos45? cos30? ? sin 45? sin 30?
出发,你能推广到对任意的两个角都成立吗?

三 层层深入,得出结论
问 题 3 : 强调 明确 强调 符号 问题 (一)两角差的余弦公式 15

? cos? ? cos?cos? ? sin?sin?

设a ? (cos? , sin? ), b ? (cos? , sin? ),

a ? b ? cos?cos? ? sin?sin?
? a ? b ? a b cos?
? cos? ? cos?cos? ? sin?sin?
如 果 ? ? ? ? [0, ? ] , 那 么

? ?? ?? 。
cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?
故 ,

实际上,当 ? ? ? 任意角时,由诱导公式 总 可 以 找 到 一 个 角 都 可 转 化 ? ? [0,2? ) , 使

cos? ? cos(? ? ? ) 。
综 上 所 述 ,

cos(? - ? ) ? cos?cos? ? sin?sin? ,对于 任意的角 ? , ? 都成立。

例1、 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 ,

求 : cos15?, cos75?

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

问题4 :cos 75? ? ? 根据两角差的余弦公式,你 可以猜猜 cos(? ? ? ) ? ? 提示:令 ? ? ? ? (二)两角和的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?
结论: 两角和与差的余弦公式 C? ??

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
注: 1、公式中两边的符号正好相反(一正一负 ) 2、式子右边同名三角函数相乘再加减, 且余弦在前正弦在后。

四 数学运用,小试身手 1. 求值 (1).cos105 ?

思考 提问 巡视 指导 动手 求解 交流 纠错 答疑 40

(2).cos54? cos36? ? sin 54? sin 36? (3).cos50? cos5? ? sin 50? sin 5?
(4).cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? )


、 已 知 2 ? 3 3 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ? ) 3 2 5 2 ,求 cos(? ? ? ) 的值。
2

注意:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题. 2 . 已 知

sin ? ?

5 ? 3 3 , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ? ) 13 2 5 2

教 过 ,求 cos(? ? ? ) 的值。

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

变式思考
1.
4 5 已知 ? , ?都是锐角, cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 求 cos ?的值。 5 13

2.
已知 ? , ?都是锐角, cos ? ? 12 3 , sin(? ? ? ) ? ? , 求 cos ?的值。 13 5
培养 引导 式 回忆 学生 总结 反思 提问 反思 交流 学习 过程 能力 45

五 学习体会,相互分享
让学生谈谈自己在本节课上的收获和体会。 提 示 : ( 1 ) 公

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;
(2)前后知识的联系; (3)学完后能解决的问题。

六 课外作业,继续探究
1.课本第 4 页,感受理解第 1 题。思考运用第 3 题。 2.探究:知道了 cos(? ? ? ) ,你觉得 sin(? ? ? ) 也有类似的规律吗?

【板书设计】 (见黑板) 【教学后记】 (备注)
说明 记录

45


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