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云南省师大附中2017届高三适应性月考(一)数学文.doc


云南省师大附中 2017 届高三适应性月考(一) 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? {x | log 2 x ? 4} ,集合 B ? {x || x |? 2} ,则 A ? B ? () A. (0, 2] B. [0, 2] C. [?2, 2] D. (?2, 2) 2.已知复数 z ? ?1 ? i ,则复数

z ?3 的模为() z?2

A. 10 B.

10 C. 2 D.2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3.已知向量 a, b 均为非零向量, (a ? 2b) ? a , (b ? 2a ) ? b ,则 a, b 的夹角为() A.

?
6

B.

2? ? 5? C. D. 3 3 6

4. 等差数列 {an } 中, a3 ? 4 ,前 11 项和 S11 ? 110 ,则 a9 ? () A.10
2

B.12
2

C.14

D.16

5. 圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 5 ? 0 所得弦的长度为 2,则实数 a ? () A.-4 B.-2 C.4 D.2

6.某家具厂的原材料费支出 x 与销售量 y (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的 全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y ? 8 x ? b ,则 b 为() X y A.5 B.15 2 25 C.10 4 35 D.20 5 60 6 55 8 75
^ ^
^

7. 某程序框图如图 1 所示,该程序运行后输出的 S 的值是() A.3024 B.1007 C.2015 D.2016

8.给出下列四个结论: ①已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? a 2 ? 0 ,则 l1 / / l2 的充要条件为 a ? ?1 ; ②函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x 满足 f ( x ? 为(

?
2

) ? ? f ( x) ,则函数 f ( x) 的一个对称中心

?
6

, 0) ;

③已知平面 ? 和两条不同的直线 a, b ,满足 b ? ? , a / / b ,则 a / /? ; ④函数 f ( x) ?

1 ? ln x 的单调区间为 (0,1) ? (1, ??) . x
) D.0 )

其中正确命题的个数为( A.4 B.3 C.2

9. 某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的表面积为(

A. 4 3 ? 8 ? 2 19 B. 4 3 ? 8 ? 4 19 C. 8 3 ? 8 ? 4 19 D. 8 3 ? 8 ? 2 19

A.B.C.D. 10.已知 f ( x) 是奇函数并且是 R 上的单调函数, 若函数 y ? f ( x ? 2) ? f (?2 x ? m) 只有一
2

个零点,则函数 g ( x) ? mx ?

4 ( x ? 1) 的最小值是() x ?1

A.3

B.-3

C.5

D.-5

11.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上, AB ? AD ? CD ? 2 , BD ? 2 2 ,

BD ? CD ,平面 ABD ? 平面 BCD ,则球 O 的体积为()
A. 4 3? B.

3 8 2 ? C. ? D. 2? 2 3

x2 y 2 12. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为 B , F 为其右焦点,若 a b
AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? [ , ] ,则该椭圆离心率的最大值为() 12 4
A.

? ?

6 3 2 B. C. D.1 3 2 2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?3 x ? 5 y ? 6 ? 0 1 ? 13. 若 x, y 满足条件 ? 2 x ? 3 y ? 15 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为. 2 ?y ? 0 ?
14. f ( x) 是定义在 R 上的函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? 则 f (?

1 ,当 2 ? x ? 3 时, f ( x) ? x , f ( x)

11 )?. 2

15. 已知 sin ? ?

2 2 1 ? , cos(? ? ? ) ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(? ? ? ) 的值等于. 3 3 2

16. 已知曲线

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 且 a ? b )与直线 x ? y ? 2 ? 0 相交于 P, Q 两点,且 b a

??? ? ???? 1 1 ,则 ? 的值为. OP ? OQ ? 0 ( O 为原点) b a

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四面体 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 3, AC ? 2 3, cos B ?

3 . 3

(1)求 ?ACD 的面积; (2)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

18. (本小题满分 12 分) 2016 年 1 月 2 日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示,天猫元旦当天全天的成交金额 为 315.5 亿元.为了了解网购者一次性购物情况,某统计部门随机抽查了 1 月 1 日 100 名网 购者的网购情况,得到如下数据统计表,已知网购金额在 2000 元以上(不含 2000 元)的频 率为 0.4.

(1)先求出 x, y, p, q 的值,再将如图 3 所示的频率分布直方图绘制完整; (2) 对这 100 名网购者进一步调查显示: 购物金额在 2000 元以上的购物者中网龄 3 年以上 的有 35 人,购物金额在 2000 元以下(含 2000 元)的购物者中网龄不足 3 年的有 20 人,请 填写下面的列联表, 并据此判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为网购金额超 过 2000 元与网龄在 3 年以上有关?

参考数据:

参考公式: k ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,PA ? 平面 ABCD ,?ABC ? 60? ,

E , F 分别是 BC , PC 的中点.
(1)证明: AE ? 平面 PAD ; (2)取 AB ? 2 ,在线段 PD 上是否存在点 H ,使得 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切 值为

6 ,若存在,请求出 H 点的位置,若不存在,请说明理由. 2

20. (本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点, 抛物线 C : y ? nx(n ? 0) 在第一象限内的点 P (2, t ) 到焦点的距离为
2

5 , 2

C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q ,直线 l1 经过点 Q 且垂直于 x 轴.
(1)求线段 OQ 的长; (2)设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2 : x ? my ? b 交 C 交点 A 和 B ,交 l1 于点 E ,若直线

PA, PB 的斜率依次成等差数列,试问: l2 是否过定点?请说明理由.
21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ? R .
2

(1)若 a ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 [ ,1] 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g ( x) ? x ? f ( x ), x ? (0, e] ( e 是自然对数的底数) ;求当实数 a 等于多少时,可以
2

1 2

使函数 g ( x) 取得最小值为 3.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆 O 的半径 OB 垂直于直径 AC ,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交圆 O 于点 N , 过点 N 的切线交 CA 的延长线于点 P ,连接 BC , CN . (1)求证: ?BCN ? ?PMN ; (2)若 ?BCN ? 60? , PM ? 1 ,求 OM 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知曲线 C : ? ? 2 cos ? ,将曲线 C 上的点向左平移一个单位,然后纵坐标

? ? x ? t cos ? ? 3 不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,得到曲线 C1 ,又已知直线 l : ? ( t 是参 ? y ? 3 ? t sin ? ? 3 ?
数) ,且直线 l 与曲线 C1 交于 A , B 两点. (1)求曲线 C1 的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;

(2)设定点 P (0, 3) ,求

1 1 . ? | PA | | PB |

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| . (1)求不等式 f ( x) ? 1 ? f (2 x) 的解集 M ; (2)设 a, b ? M ,证明: f (ab) ? f (a ) ? f ( ?b) .

云南师大附中 2017 届高考适应性月考卷(一) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1. 故选 A. , , , 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 D 9 B 10 C 11 A 12 B

2. 3. 故

,则 , cos ,

,模为 ,所以 =0,可得 cos ,

,故选 B. ,即 又因为 , , ,

所以



=

,故选 C.

4.因为

,∴

.∵

为等差数列,a3,a6,a9 也构成等差

数列, ∴ ,∴ ,故选 D.

5.圆的标准方程为(x+2)2+(y?1)2=5?a,r2=5?a,则圆心(?2,1)到直线 x+y+5=0 的距离为

, 由 12+(2 )2=5?a,得 a=?4,故选 A. =50,又回归直线 过点( , ),

6.由给定的表格可知 =5, 所以 50=40+ ,∴ ,故选 C.

7. 该程序框图表示的是通项为

的数列前 2016 项和, 2+2016=3024 ,

故选 A.

8 .对于①, 由 l1 ∥ l2 得 ,



,①错;对于②,由





的周期为 ②错;



,∴







对于③, 当

时, 结论不成立, ③错; 对于④,



的定义域为(0,

),

由 (1,



,由



,∴

的单调区间为(0,1),

),④错.故选 D.

10.令

,则

,又因为

是 R 上的单调

奇函数, 所以

, 即

只有一个实数解, 则



解得 C.



,所以

的最小值为 5,故选

11.根据题意,AB=AD=2,BD=2 则 BC=2

,则∠BAD=

.在 Rt△BCD 中,BD=2

,CD=2, ,

, 又因为平面 ABD⊥平面 BCD, 所以球心就是 BC 的中点, 半径为 r=

所以球的体积为:

,故选 A.

12.由题知 AF⊥BF,根据椭圆的对称性, AF′⊥BF′(其中 F′是椭圆的左焦点) ,因 此四边形 AFBF′是矩形,于是,|AB|=|FF′|=2c,|AF|=2csin ,|AF′|=2ccos ,根

据 椭 圆 的 定 义 , |AF|+|AF ′ |=2a , ∴ 2csin

+2ccos

=2a , ∴ 椭 圆 离 心 率 e=

=

=

,而



,∴

+

,∴sin

,故 e 的最大值为

,故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13.作出约束条件表示的平面区域如图所示. 13 14 15 16





,当直线经过点(3,3)时,

有最大值为 .

14.由 f(x+2)=

可得,f(x+4)=

=f(x),所以函数 f(x)是以 4 为周期的周

期函数,



15. ∵



,∴ 2

∈ ( 0 ,π ) .∵ s i n

=

,∴ c o s 2 α = 1 ? 2

=?



∴ sin2α=

=

, 而 α, β∈

, ∴ α+β∈ (0, π),

∴ sin ( α + β )=

=





=sin[2 α ? ( α + β )]=sin2αcos(α+β) ?cos2αsin(α+β)=

×

?

×

=



16. 将 y=2?x 代入

, 得

设 P( x 1 , y1), Q(x2, y2), 则 x1+x2=

, x1x2=



=x1x2+y1y2=x1x2+(2?x 1 ) (2?x2)=2x1x2?2(x1+x2)+4 ,所以

+4=0,即 2a?2b=ab,即 a?b= ab,所以 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)如图,因为 AD=1,CD=3,AC=2 ,



所以 cosD= 因为 D∈(0, ),

. ????(2 分)

所以 sinD=

=



?????????(4 分) 因为 AD=1,CD=3,

所以△ACD 的面积 S= AD·CD·sin D=

×1×3×

=

. ????? (6 分)

(Ⅱ)AC=2 ∴ .

,BC=2





,?????????????????(8 分)

所以 所以 AB=4. 分) 18. (本小题满分 12 分)

, ?????????????????( 12

解: (Ⅰ)因为网购金额在 2000 元以上(不含 2000 元)的频率为 0.4, 所以网购金额在(2500,3000]的频率为 0.4?0.3=0.1, 即 q=0.1,且 y=100×0.1=10, 从而 x=15,p=0.15,相应的频率分布直方图如图 3 所示.

??????????????????????(5

分)

(Ⅱ)相应的 2×2 列联表为:

由公式 K2= 因为 5.56>5.024,

, ?????? (10 分)

所以据此列联表判断,在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为网购金额超过 2000 元与网龄在 3 年以上有关. 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. ????????????????(3 分) 因为 PA⊥平面 ABCD,AE 所以 PA⊥AE. 而 PA 平面 PAD,AD 平面 PAD,PA∩AD=A, ??????????????????(6 分) 平面 ABCD, 60° ,可得 为正三角形, ?????????????????(12 分)

所以 AE⊥平面 PAD.

(Ⅱ)解:设线段 PD 上存在一点 H,连接 AH,EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. ??????????????(8 分) 在 Rt△EAH 中, ,

所以当 AH 最短时,即当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大,

此时 所以,线段 PD 上存在点 H,

,因此

. ????????(11 分)

当 DH=

时,使得

与平面

所成最大角的正切值为

.?????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由抛物线 得 , , 在第一象限内的点 P 到焦点的距离为 ,

抛物线 C 的方程为 y2=2x,P(2,2).????????????(2 分)

C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 故 C 在点 P 处的切线斜率为 ,切线的方程为 令 y=0 得 x=?2,所以点 Q 的坐标为(?2,0).

,则 y′=





故线段 OQ 的长为 2.?????????????????(5 分) (Ⅱ)l2 恒过定点(2,0),理由如下: 由题意可知 l1 的方程为 x=?2,因为 l2 与 l1 相交,故 .

由 l2:

,令 x=?2,得

,故



设 A(x1,y1),B(x2,y2),

由 则

消去 x 得: ,

, .??????????????????(7 分)

直线 PA 的斜率为

,同理直线 PB 的斜率为



直线 PE 的斜率为



因为直线 PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列,

所以





.?????????( 10 分)

整理得: 因为 l2 不经过点 Q,所以

, ,

所以 2m?b+2=2m,即 b=2. 故 l2 的方程为 21. (本小题满分 12 分) ,即 l2 恒过定点(2,0).?????????(12 分)

解: (Ⅰ)当

时,

,∴

,∴





∴函数

在点(1,f(1))处的切线方程为 3x?y?2=0.

??????(3 分)

(Ⅱ)函数



上是增函数,





上恒成立,





上恒成立.

令 ∴ ,

,则

,当且仅当

时,取“=”号.

∴a 的取值范围为(

].

????????????(6 分)

(Ⅲ)∵

,∴

.

(1)当

时,

,∴

在(0,e]上单调递减,

, 分)

(舍去).

???????????????(8

(2)当



e 时,



在(0,e]上恒成立,



在(0,e]上单调递减,∴



(舍去).

(3)当



时,

,令

,则

,令

,则







上单调递减,在

上单调递增,

∴ 分) 综上所述,当实数 分)

,∴

满足条件.

??????????(11

时,使

的最小值为 3.

???????( 12

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:连接 ∵ 在 ∴ ∴ 根据弦切角定理,得 分) (Ⅱ)解法一:∵ ∴ 为等边三角形,∴ . , ,∴ 为 , 90° , , ,又∵ , , .?????????(4

的切线,∴ 中,∵



的半径为 ,

则在直角三角形 根据相交弦定理,

中,

, ,





可得



即可得 ∴





.???????????????????(10 分) 60° , ,

解法二:∵ ∴△PMN 为等边三角形,∴

设 又

的半径为 r,则在直角三角形 为 的外接圆,

中,







由正弦定理可知,



又 ∴ ,∴

, . ??????????????????(10 分) ,

解法三:

设 在 又∵

的半径为 r,则在直角三角形 中, ,MN=PM=1, ,∴

中, ,







∴ 分)

,∴

,∴

.??????????????????( 10

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)曲线 的直角坐标方程为: ,即 ,

∴曲线 ∴曲线

的直角坐标方程为 表示焦点坐标为

, ,长轴长为 4 的椭圆. ????? (4 分)

(Ⅱ)直线 :

(t 是参数)

将直线 的方程代入曲线

的方程

中,

得 设

. 对应的参数分别为 ,







结合 t 的几何意义可知,

.???????????( 10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 (Ⅰ)解: 当 解得 当 解得 当 解得 综上, (Ⅱ)证明:因为 所以,要证 ,只需证 , ,即 , ; , .

时,原不等式可化为 ,此时原不等式的解集为 时,原不等式可化为 ,此时原不等式无解; 时,原不等式可化为 ,此时原不等式的解集为

, .

.???????????????????(5 分) ,

即证 即证 即证

, , ,即证 .

∵a,b M,∴a2>1,b2>1,∴(a2?1)(b2?1)>0 成立, 所以原不等式成立. ???????????????(10 分)


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