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高中解析几何精选练习题5


练习五 2 2 1、 (陕西文数)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值 为 _________2
2

4 法一:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x ? ?
2

p 2 ,因为抛物线 y =2px(p>0)的准线 2

与圆(x-3) +y =16 相切,所以 3 ?
2 2 2

p ? 4, p ? 2 2
2 2

法二:作图可知,抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切与点(-1,0) 所以 ?

p ? ?1, p ? 2 2

2、 (辽宁文数)设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线 的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为_________

5 ?1 2

解析:不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为: 则一个焦点为 F (c,0), B(0, b) 一条渐近线斜率为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

b b b b ,直线 FB 的斜率为: ? ,? ? (? ) ? ?1 ,? b 2 ? ac a c a c

c 2 ? a 2 ? ac ? 0 ,解得 e ?
2

c 5 ?1 . ? a 2

3、 (辽宁文数)设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ? _________8 【解析】抛物线的焦点 F(2,0) ,直线 AF 的方程为 y ? ? 3( x ? 2) ,所以点 A(?2, 4 3) 、

P(6, 4 3) ,从而|PF|=6+2=8
4、 (山东文数) (9)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与
2

A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为________ x ? ?1
5(天津理数)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个 a 2 b2

焦点在抛物线 y ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为________
2

x2 y 2 ? ?1 9 27

?b ?a ? 3 ? x2 y 2 ? a 2 ? 9, b 2 ? 27 ,所以双曲线的方程为 ? ?1 【解析】依题意知 ?c ? 6 9 27 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
6、 (广东文数)7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心 率是________

3 5

7、 (四川理数)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在 a 2 b2

椭 圆 上 存 在点 P 满 足 线段 AP 的 垂 直平 分 线 过点 F , 则 椭 圆离 心 率 的取值 范 围 是 ________ ? ,1? 解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|=
?1 ? ?2 ?

a2 b2 ?c ? , |PF|∈[a-c,a+c] c c

于是

b2 ∈[a-c,a+c],即 ac-c2≤b2≤ac+c2 c
2 2 2

∴?

? ac ? c ? a ? c ? 2 2 2 ? ? a ? c ? ac ? c

?c ?1 ? ?a ?1 ? ?? 又 e∈(0,1) 故 e∈ ? ,1? ?2 ? c c 1 ? ? ?1或 ? ? a 2 ?a

8、 (2 湖北理数)若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 ________ ?1 ? 2 2,3?

?

?

【解析】曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) 到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得
b ? 1 ? 2 2 (舍) ,当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正确.


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