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2013年高考数学(理)真题分类解析汇编10.排列、组合及二项式定理


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2013 年高考数学(理)真题分类解析汇编 10:排列、组合及 二项式定理
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) WORD 版含答案) 已知 (1 ? ax)(1 ? x) (纯 )
5


/>








x2









5

,



a?


) A. ? 4 【答案】D B. ? 3
5

C. ? 2
2

D. ? 1 +a? =5,解得 a=﹣1,

【天利解析】已知(1+ax) (1+x) 的展开式中 x 的系数为 故选 D.

2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 用 0,1,,9 十个数字,可以组 )

























数 (



) A.243 【答案】B

B.252

C.261

D.279
1 2

【天利解析】有重复数字的三位数个数为 9 ?10 ?10 ? 900 。没有重复数字的三位数有 C9 A9 ? 648 , 所以有重复数字的三位数的个数为 900 ? 648=252 ,选 B.
3 . (2013 年高考新课标 1(理 ) 设 m 为正整数, ( x ? )

y ) 2 m 展开式的二项式系数的最大值为

a , ( x ? y ) 2 m ?1 展 开 式 的 二 项 式 系 数 的 最 大 值 为 b , 若 13a ? 7b , 则 m ?
( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 2m 【天利解析】因为 m 为正整数,由(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,以及二项式系数 的性质可得 a= 同理,由(x+y) ,
2m+1

展开式的二项式系数的最大值为 b,可得 b= =7 , 13× 即 =7×

. , 13=7× 即 , 13 m+1) 即 (

再由 13a=7b, 可得 13 =7(2m+1) . 解得 m=6,故选 B.

1

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8 4

4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) ?1 ? x ? ?1+y ? 的 )









x2 y2





数 (



) A. 56 B. 84 C. 112 【答案】D 3 r r 【天利解析】 (x+1) 的展开式的通项为 Tr+1=C3 x 2 2 令 r=2 得到展开式中 x 的系数是 C3 =3, 4 r r (1+y) 的展开式的通项为 Tr+1=C4 y 2 2 令 r=2 得到展开式中 y 的系数是 C4 =6, 3 4 2 2 (1+x) (1+y) 的展开式中 x y 的系数是:3×6=18, 故选 D.

D. 168

5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 满足 a, b ? ??1, 0,1, 2? , )

且 关 于 x 的 方 程 ax 2 ? 2 x ? b ? 0 有 实 数 解 的 有 序 数 对 (a, b) 的 个 数 为 ( ) A.14 【答案】B B.13 C.12 D.10

【天利解析】方程 ax2 ? 2 x ? b ? 0 有实数解,分析讨论 ①当 a ? 0 时,很显然为垂直于 x 轴的直线方程,有解.此时 b 可以取 4 个值.故有 4 种有序数对 ②当 a ? 0 时, 需要 ? ? 4 ? 4ab ? 0 , ab ? 1. 即 显然有 3 个实数对不满足题意, 分别为 (1,2) , (2,1) , (2,2) .

? (a, b) 共有 4*4=16 中实数对,故答案应为 16-3=13.
6 .( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 )) 使 得

1 ? ? ? 3x ? ? x x? ?
) A. 4 【答案】B

n

? n?

N ?的展开式中含有常数项的最小的 为 n ?
( B. 5 C. 6 D. 7

【天利解析】展开式的通项公式为 Tk ?1 ? Cn (3x)
k

n?k

(

1 x x

k ) k ? Cn 3n ?k x

n?

5k 2

。由 n ?

5k ?0得 2

n?

5k ,所以当 k ? 2 时, n 有最小值 5 ,选 B. 2

7 . (2013 年高考四川卷(理) 从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别为 a, b ,共可得 )
2

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lg a ? lg b













数 (



) A. 9 【答案】C

B. 10

C. 18

D. 20 种排法,

【天利解析】首先从 1,3,5,7,9 这五个数中任取两个不同的数排列,共有 因为 ,

,所以从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可

得到 lga﹣lgb 的不同值的个数是:20﹣2=18.故选 C.
6 ?? 1? x ? ? , x ? 0, ?? 8 . (2013 年高考陕西卷(理) 设函数 f ( x) ? ?? ) , 则当 x>0 时, f [ f ( x)] 表达式的展 x? ? x ? 0. ? ? x,

开 ) A.-20 【答案】A









项 (



B.20

C.-15

D.15

【天利解析】当 x ? 0时,f [ f ( x)] ? (

x?

1 x

6 )? (

1 x

6 - x)的展开式中,常数项为

3 C6 (

1 x

) 3 (- x ) 3 ? ?20 。所以选 A
年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) ) (x 2

9 . ( 2013

2 5 ) 展 开 式 中 的 常 数 项 为 x3


) A.80 B.-80 C.40 D.-40 【答案】C 【 天 利 解 析 】 本 题 考 查 二 项 式 定 理 。 展 开 式 的 通 项 公 式 为
k Tk ?1 ? C( 5 2

2 ? x)5 k? ( 3 x

?k)

? 0 C k1 x ? 5

5k

, (。 由 k1 0? k ? 0 得 k ? 2 , 所 以 常 数 项 为 2 ) 5

T2?1 ? C52 (?2)2 ? 40 ,选 C.
二、填空题 10. (2013 年高考四川卷(理) 二项式 ( x ? y ) 的展开式中,含 x y 的项的系数是_________.(用数 )
5 2 3

字作答) 【答案】10 【天利解析】设二项式(x+y) 的展开式的通项公式为 Tr+1,则 Tr+1=
5

x

5﹣r

?y ,

r

3

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令 r=3,则含 x y 的项的系数是

2 3

=10.答案为:10.

11. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 将 A, B, C, D, E, F 六个 )

字母排成一排,且 A, B 均在 C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答) 【答案】480 【天利解析】 :按 C 的位置分类,在左 1,左 2,左 3,或者在右 1,右 2,右 3, 因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以 2 即可. 当 C 在左边第 1 个位置时,有 A 当 C 在左边第 2 个位置时 A A , , A +A A ,

当 C 在左边第 3 个位置时,有 A

共为 240 种,乘以 2,得 480.则不同的排法共有 480 种. 故答案为:480.
12. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案) 从 3 名骨科. 4 名脑外科和 5 名 )

内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有 1 人的选 派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】 590 【天利解析】本题考查排列组合的计数问题。骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人,则名额分配 为 , 1,1,3 ; 1,3,1 ; 3,1,1 或 1,2,2 ; 2,1,2 ; 2,2,1. 所 以 共 有
1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1 C3C4C5 ? C3C4 C5 ? C3 C4C5 ? C3C4 C52 ? C32C4C52 ? C32C4 C5 ? 590 .

1 ? ? 13. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) ? x ? ) ? x? ?

6

的二项展开式中

的常数项为______. 【答案】 15 【天利解析】 展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C x
k 6 6? k 3 6? k 1 k 3 k (? ) ? C6 x 2 (?1) k , 6 ? k ? 0 , k ? 4 。 由 得 2 x

所以常数项为 T4?1 ? C6 (?1) ? 15 。
4 4

14. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设二项式 ( x ? )

3

1 5 ) 的 x

展开式中常数项为 A ,则 A ? ________. 【答案】 ?10

4

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r

【天利解析】二项式

的展开式的通项公式为 Tr+1=

?

?(﹣1) ?

=(﹣

1) ? 令

r

?

. =0,解得 r=3,故展开式的常数项为﹣ =﹣10,

故答案为﹣10.

? 2 a? 7 15. (2013 年高考上海卷(理) 设常数 a ? R ,若 ? x ? ? 的二项展开式中 x 项的系数为 ?10 ,则 ) x? ?

5

a ? ______ 【答案】 a ? ?2
【天利解析】 Tr ?1 ? C5 ( x )
r 2 5? r

a 1 ( )r , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 ,故 C5 a ? ?10 ? a ? ?2 . x

16. (2013 年高考北京卷 (理) 将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张, )

如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是_________. 【答案】96 【天利解析】5 张参观券全部分给 4 人,分给同一人的 2 张参观券连号,方法数为:1 和 2,2 和 3, 3 和 4,4 和 5,四种连号,其它号码各为一组,分给 4 人,共有 4× =96 种.

a ? ? 17. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 若 ? x ? ) ? 的展开式中 3 x? ?

8

x 4 的系数为 7,则实数 a ? ______.
【答案】

1 2
r 8 8? r

【天利解析】 通项 C x

(3

a x

) ?C a x
r r 8 r

8? r ?

r 3

?8?

4 1 3 r ? 4 ? r ? 3, C8 a 3 ? 7 ? a ? 3 2

所以

1 2

18. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 6 个人排成一行, )

其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答). 【答案】480 【天利解析】6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:排列好甲、乙两人外的 4 人, 有 中方法, 种方法,

然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位,有

5

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所以共有:

=480.

6


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