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上海中学高三数学复习题型整理分析:专题1 集合与函数 Word版含解析


第一部分
1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.

集合与函数

[举例 1]已知集 P ? { y | y ? x 2 , x ? R}, Q ? { y | y ? 2 x , x ? R},求 P ? Q . 分析:集合 P、Q 分别表示函数 y ? x 2 与 y ? 2 x 在定义域 R 上的值域,所以 P ? [0,

??) ,

Q ? (0,??) , P ? Q ? (0,??) .
[举例 2]函数 f ( x) ? ?

? x ( x ? P) ,其中 P、M 是实数集 R 的两个非空子集,又规定: ?? x ( x ? M )

F ( P) ? { y | y ? f ( x), x ? P}, F (M ) ? { y | y ? f ( x), x ? M }.给出下列四个判断:
M) ? ?; M) ? ?; (1) 若P?M ??, 则 F (P) F ( (2) 若P?M ? ?, 则 F (P) F (
(3)若 P ? M ? R, 则 F ( P)

F (M ) ? R ; (4)若 P ? M ? R, 则 F ( P) F (M ) ? R .

其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------( ) A、1 个; B、2 个; C、3 个; D、4 个. 分析:这是一道比较难的题,涉及到函数的概念,集合的意义. F ( P ) 是函数 y ? x( x ? P) 的 值域, F ( M ) 是函数 y ? ? x( x ? M ) 的值域.取 P ? [0,??) , M ? (??,0) 可知(1) 、 (3) 不正确 .由函数的定义可知,函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应,所以若

P ? M ? ? ,只能是 P ? M ? {0} ,此时 F ( P)
设 a?P

F (M ) ? {0} , (2)正确.对于命题(4) :

M , 则 a ? P 且 a ? M , 若 a ? 0 , 显 然 有 0 ? F (P )且 0 ? F ( M ) , 所 以 有 F ( M )? R;若 a ? 0 ,由 a ? P 则 a ? F ( P) ,由 a ? M ,则 ?a ? F (M ) . 若有 F (M ) ,则

F ( P)

a ? F (M ) ,则 ?a ? M ,所以 ? a ? P ,则 ?a ? F ( P) ,所以 ?a ? F ( P) F ( P) F ( M ) ? R.同理可证,若 ?a ? F ( P) ,则有 a ? F ( P)

F ( M ) .(4)也正确,选

B. 2、空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. [举例]若 A ? {x | x 2 ? a}, B ? {x | x ? 2} 且 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围. 分析:集合 A 有可能是空集 .当 a ? 0 时, A ? ? ,此时 A ? B ? ? 成立;当 a ? 0 时,

A ? (? a , a ) ,若 A ? B ? ? ,则 a ? 2 ,有 0 ? a ? 4 .综上知, a ? 4 .
注意:在集合运算时要注意学会转化 A ? B ? A ? A ? B 等. 3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定:若 A ? B ,则 x ?A 是 x ?B 的充分条件;

若 A ? B ,则 x ?A 是 x ?B 的必要条件;若 A ? B 且 A ? B 即 A ? B ,则 x ?A 是 x ?B 的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价, “逆命题”与“否命题”等价转换去 判定也很方便. 充要条件的问题要十分细心地去辨析: “哪个命题”是“哪个命题”的充分(必要)条 件;注意区分: “甲是乙的充分条件(甲 ? 乙) ”与“甲的充分条件是乙(乙 ? 甲) ” ,是两 种不同形式的问题. [举例]设有集合 M ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 2}, N ? {( x, y) | y ? x ? 2},则点 P ? M 的_ ______条件是点 P ? N ;点 P ? M 是点 P ? N 的_______条件. 分析:集合 M 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 外的所有点的集合,N 是直线 y ? x ? 2 上方的点的集合.显 然有 N ? M .(充分不必要、必要不充分) 4、掌握命题的四种不同表达形式,会进行命题之间的转化,会正确找出命题的条件与结论. 能根据条件与结论判断出命题的真假. [举例]命题: “若两个实数的积是有理数,则此两实数都是有理数”的否命题是____ ____________________,它是____(填真或假)命题. 5 、 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? a 对 称 , 则 有 f (a ? x) ? f (a ? x) 或

f (2a ? x) ? f ( x) 等,反之亦然.注意:两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身
的对称问题 . 函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 的对称曲线是函数 y ? f (2a ? x) 的图 像,函数 y ? f ( x) 的图像关于点 ( a, b) 的对称曲线是函数 y ? 2b ? f (2a ? x) 的图像. [举例 1]若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f ( x) 的图像关于______对称. 分析:由 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则有 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) , 所 以 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ?1 对 称 . 或 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 像 是 由 函 数

y ? f ( x) 的图像向右平移一个单位而得到的, y ? f ( x ? 1) 的图像关于 y 轴对称,故函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? ?1 对称.
[ 举例 2] 若函数 y ? f ( x) 满足对于任意的 x ? R 有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? 2 时

f ( x) ? x 2 ? x ,则当 x ? 2 时 f ( x) ? ________.
分析 :由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 知,函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称,因而有

f ( x) ? f (4 ? x) 成立. x ? 2 ,则 4 ? x ? 2 ,所以 f ( x) ? f (4 ? x) ? (4 ? x) 2 ? (4 ? x) .即
x ? 2 时 f ( x) ? x 2 ? 9 x ? 20.
6、 若函数 y ? f ( x) 满足:f ( x ? a) ? f ( x ? a)(a ? 0) 则 f ( x) 是以 2 a 为周期的函数.注意: 不要和对称性相混淆.若函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? a) ? ? f ( x)(a ? 0) 则 f ( x) 是以 2 a 为 周期的函数.(注意:若函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ?

1 ,则 f ( x) 也是周期函数) f ( x)

[举例]已知函数 y ? f ( x) 满足:对于任意的 x ? R 有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 成立,且当

x ? [0,2) 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2006 ) ? ______.
分析:由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 知: f ( x ? 2) ? f [(x ? 1) ? 1] ? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,所以函数

y ? f ( x) 是以 2 为周期的周期函数 . f (2006 ) ? f (2004 ) ? ?? ? f (2) ? f (0) ? ?1 ,

f (2005 ) ? f (2003 ) ? ?? ? f (3) ? f (1) ? 1 ,故意原式值为 0.
7、奇函数对定义域内的任意 x 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 ;偶函数对定义域内的任意 x 满足

f (? x) ? f ( x) ? 0 .注意:使用函数奇偶性的定义解题时,得到的是关于变量 x 的恒等式而
不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于 y 轴对称; 若函数 y ? f ( x) 是奇函数 或偶函数,则此函数的定义域必关于原点对称;反之,若一函数的定义域不关于原点对称, 则该函数既非奇函数也非偶函数.若 y ? f ( x) 是奇函数且 f (0) 存在,则 f (0) ? 0 ;反之不 然. [举例 1]若函数 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则实数 a ? _______; 2 ?1
x

分析:注意到 f (0) 有意义,必有 f (0) ? 0 ,代入得 a ? 若能灵活运用,则事半功倍.

1 .这种特值法在解填空、选择题时 2

[举例 2]若函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 2) x ? 3 是定义在区间 [2a ? 1,2 ? a] 上的偶函数,则此函 数的值域是__________. 分析:函数是偶函数,必有 (2a ? 1) ? (2 ? a) ? 0 ,得 a ? ?1 ;又由 y ? f ( x) 是偶函数,
2 因而 b ? 2 .即 f ( x) ? ? x ? 3( x ? [?3,3] ,所以此函数的值域为 [?6,3] .

8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致,偶函数在关于原点对称的区间内增减性相 反.若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称,则它在对称轴的两侧的增减性相反;此时 函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式(即函数不等式) ”多用函数的单 调性,但必须注意定义域. [举例]若函数 y ? f ( x) 是定义在区间 [?3,3] 上的偶函数,且在 [?3,0] 上单调递增,若实 数 a 满足: f (2a ? 1) ? f (a 2 ) ,求 a 的取值范围. 分析:因为 y ? f ( x) 是偶函数, f (2a ? 1) ? f (a 2 ) 等价于不等式 f (| 2a ? 1 |) ? f (a 2 ) , 又此函数在 [?3,0] 上递增,则在 [0,3] 递减.所以 3 ?| 2a ? 1 |? a 2 ,解得 ? 1 ? a ? ?1 ? 2 . 9、要掌握函数图像几种变换:对称变换、翻折变换、平移变换 .会根据函数 y ? f ( x) 的图 像,作出函数 y ? f (? x), y ? f (| x |), y ?| f ( x) |, y ? f ( x ? a), y ? f ( x) ? a 的图像 .(注 意: 图像变换的本质在于变量对应关系的变换) ; 要特别关注 y ? f (| x |), y ?| f ( x) | 的图像. [举例]函数 f ( x) ?| log2 | 2 x ? 1 | ?1 | 的单调递增区间为_____________. 分析:函数 f ( x) ?| log2 | 2 x ? 1 | ?1 | 的图像是由函数 y ? log2 x 的图像经过下列变换得到 的:先将函数 y ? log2 x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 (或将函数 y ? log2 x 的 2

图像向上平移 1 个单位)得到函数 y ? log2 2 x 的图像,再将函数 y ? log2 2 x 的图像作关 于 y 轴对称得到函数 y ? log2 | 2 x | 的图像,再将函数 y ? log2 | 2 x | 的图像向右平移

1 个 2

单位,得到函数 y ? log2 | 2 x ? 1 | 的图像,再将函数 y ? log2 | 2 x ? 1 | 的图像向下平移 1 个单位得到函数 y ? log2 | 2 x ? 1 | ?1 ,最后将函数 y ? log2 | 2 x ? 1 | ?1 的图像在 x 轴下方 部分翻折到 x 轴上方得到函数 f ( x) ?| log2 | 2 x ? 1 | ?1 | 的图像 .注意在变化过程中函数图 像与坐标轴的交点的变化(尤其是与 x 轴的交点不要搞错) ,从图像上可以看出此函数的单 调递增区间是 [ ?

1 3 ,1) 与 [ ,?? ) . 2 2

需要注意的是:函数图像变化过程: y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ? y ? f (| x ? a |) 与变化过 程: y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) ? y ? f (| x ? a |) 不同.前者是先作关于 y 轴对称后平移, 而后者是先平移后再作关于直线 x ? a 对称.

10、研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的) 、二次方程根的分 布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域) 、含有绝对值的函数及分段函数的性质 (包括值域)等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确:即 找准特殊的点(函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等) 、递增递减的区间、最值等. [举例 1]已知函数 f ( x) ?

2x ? 1, g ( x) ? ax ? 1 ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集不为空

集,则实数 a 的取值范围是____________. 分析:不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集不为空集,亦即函数 y ? f ( x) 的图像上有点在函数

y ? g ( x) 的图像的上方.
函数 f ( x) ?

y
1 O

2x ? 1 的图像是 x 轴上方的半

支抛物线,函数 g ( x) ? ax ? 1 的图像是过点

l1

1 2

x

(0,1) 斜率为 a 的直线.当 a ? 2 ? 1时直线与抛物线相切,由图像知: a ? 2 ? 1 .(注意图
中的虚线也满足题义) [举例 2]若曲线 y 2 ?| x | ?1 与直线 y ? kx ? b 没有公共点,则 k , b 应当满足的条件是 .

分析:曲线 y 2 ?| x | ?1 是由 y 2 ? x ? 1( x ? 0) 与 y 2 ? ? x ? 1( x ? 0) 组成,它们与 y 轴的 y 交点为 (0,1) 和 (0,?1) ,图像如图(实线部分).可以看出
2 若直线 y ? kx ? b 曲线 y ?| x | ?1 的图像没有公共点,此

1 -1 O

x

直线必与 x 轴平行,所以 k ? 0 , ? 1 ? b ? 1 . 11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是:曲线与任何平行于 y 轴的直线至多只有一 个交点. 一个函数存在反函数的充要条件是:定义域与值域中元素须一一对应,反应在图像上 平行于 x 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗?(是的,并且任何函数 在它的每一个单调区间内总有反函数).还应注意的是:有反函数的函数不一定是单调函数, 你能举例吗? [举例]函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1, ( x ? [0,1] ? [3,4] ) ,若此函数存在反函数,则实数 a 的 取值范围是__________. 分析: 由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应, 平行于 x 轴的直线 与函数的图像至多只有一个交点 . 又由二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1图像的对称轴为直线

x ? a 知:a ? 0 或 a ? 4 必存在反函数,0 ? a ? 1 或 3 ? a ? 4 必不存在反函数.当 a ? [1,3]
时如何讨论?注意到函数在区间 [0,1] 上递减,在 [3,4] 上递增,所以只要 f (4) ? f (1) 或

f (3) ? f (0) 即可.亦即

5 3 ? a ? 3 或 1 ? a ? .综上知,实数 a 的取值范围是 (??,0] ? 2 2

3 5 [1, ) ? ( ,3] ? [4,?? ) . 2 2
12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域,反函数的定义域不能单从反函数的表 达式上求解,而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解(关于 x 的)方程的过 程.注意:函数的反函数是唯一的,尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定. [举例]函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2x ? 2), ( x ? (??,?2]) 的反函数为__________. 分析:令 y ? log2 ( x 2 ? 2x ? 2) ,则 x 2 ? 2x ? 2 ? 2 y ? ( x ? 1) 2 ? 2 y ? 1 .因为 x ? ?2 , 所以 x ? 1 ? ?1 ,则 x ? 1 ? ? 2 y ? 1 , x ? ?1 ? 2 y ? 1 .又原函数的值域为 [1,??) ,所以 原函数的反函数为 f
?1

( x) ? ?1 ? 2 x ? 1( x ? 1) .(若是从反函数表达式得 2 x ? 1 ? 0 求得

x ? 0 就不是反函数的定义域).
13、原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;原函数与反函数 的图像关于直线 y ? x 对称;若函数 y ? f ( x) 的定义域为 A,值域为 C,a ? A, b ? C ,则有

f ( f ?1 (b)) ? b, f ?1 ( f (a)) ? a . b ? f (a) ? a ? f ?1 (b) .需要特别注意一些复合函数的反
函数问题.如 y ? f (2 x) 反函数不是 y ? f
?1

( 2 x) .
?1

[举例 1]已知函数 y ? f ( x) 的反函数是 y ? f

( x) ,则函数 y ? 2 f ?1 (3x ? 4) 的反函数

的表达式是_________. 分析:求函数的反函数是解方程的过程,即用 y 表示 x, 然后将 x , y 互换即得反函数的表达

y y 1 y ? 3x ? 4 ? f ( ) ? x ? [ f ( ) ? 4] .所以 2 2 3 2 1 x 函数 y ? 2 f ?1 (3x ? 4) 的反函数为 y ? [ f ( ) ? 4] . 3 2
式.由 y ? 2 f
?1

(3x ? 4) 可得 f ?1 (3x ? 4) ?

[举例 2]已知 f ( x) ? ? 分析:由 f
?1

?2 x ,

x?0

?log2 (? x) , ? 2 ? x ? 0

,若 f

?1

(a) ? 3 ,则 a ? ____.

(a) ? 3 得 a ? f (3) ,所以 a ? 8 .

14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数的单调性) ,但证明函数单调性 只能用定义,不能用关于单调性的任何性质,用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因

式分解.记住并会证明:函数 y ? ax ? [举例]已知函数 f ( x ) ? ax ? 围. 分析:函数 y ? ax ?

b , (a, b ? 0) 的单调性. x

1 (a ? 0) 在 x ? [1,??) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范 x

b , (a, b ? 0) 称为“耐克”函数,由基本不等式知:当 x ? 0 时,函数 x

的最小值是 2 ab ,当 x ?

b b b 时等号成立. x ? (0, ] 时,函数递减; x ? [ ,??) 时, a a a
1 ( a ? 0) x

函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数 f ( x ) ? ax ? 在 [1,??) 上递增,则

1 ? 1 ,得 a ? 1 .但若是大题推理就不能这样描述性的说明,必需要 a
1 由函数 f ( x) 是单调 ), x1 x2

按函数单调性的定义有严格的论证. 任设 x1 , x2 ? [1,??), 且 x1 ? x 2 . f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(a ?

增 函 数 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 而 x1 ? x2 ? 0 , 则 a ?

1 1 对于 ? 0 .所以 a ? x1 x 2 x1 x 2

x1 , x2 ? [1,??), 且 x1 ? x 2 恒成立,因

1 ? 1 ,故 a ? 1 . x1 x 2

需要说明的是:在考试中若“小题大做”则浪费时间,因为“小题”只要结果;而“大题小 做”则失分,因为“大题”需要严格的论证过程. 15、一元二次函数是最基本的初等函数,要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函 数在闭区间上一定存在最大值与最小值,应会结合二次函数的图像求最值. [举例]求函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在区间 [?1,3] 的最值. 分析: 求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关 系分三种情况进行讨论, 但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与 对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.

f ( x) max

?2 ? 2a (a ? ?1) ?10 ? 6a (a ? 1) ? 2 (?1 ? a ? 3) . , f ( x) min ? ?1 ? a ?? ?2 ? 2a (a ? 1) ?10 ? 6a (a ? 1) ?

16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次 不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解 集” , 可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等 式的讨论比较方便.还应当注意的是; 一般地, 不等式解集区间的端点值是对应方程的根 (或

增根). [举例 1]已知关于 x 的不等式 | ax ? 3 |? 5 的解集是 [?1,4] ,则实数 a 的值为 .

分析:若是从解不等式入手,还应考虑常数 a 的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之 间的关系则可迅速得到答案:解集端点值 ? 1,4 是方程 | ax ? 3 |? 5 的根.则 ?

?| ?a ? 3 |? 5 得 ?| 4a ? 3 |? 5

?a ? ?2或8 ? ? 1 ,知 a ? ?2 . a ? ? 2 或 ? 2 ?
[举例 2]解关于 x 的不等式: ax2 ? 2ax ? 1 ? 0(a ? R) . 分析:首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当 a ? 0 时,此不等式是恒成立的,
2 则其解集为 R .当 a ? 0 时,才是二次不等式.与其对应的方程为 ax ? 2ax ? 1 ? 0 ,根判别

2 式 ? ? 4a ? 4a . 当 ? ? 0 ,即 a ? 1 或 a ? 0 时,方程两根为 x1, 2 ?

? a ? a2 ? a ;当 a

? ? 0 ,即 a ? 1 时,方程有等根 x ? ?1 ;当 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,方程无实根.结合二

? a ? a2 ? a ? a ? a2 ? a 次函数的图像知: a ? 1 时不等式的解集为 (??, )?( ,??) ; a a
当 a ? 1 时,不等式的解集为 (??,?1) ? (?1,??) ;当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 R ;当

a ? 0 时,不等式的解集为 (

? a ? a2 ? a ? a ? a2 ? a , ) a a


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