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2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习:8-5 课时作业)


课时作业(四十三)
1.已知不同直线 m、n 及不重合平面 P、Q,给出下列结论: ①m?P,n?Q,m⊥n?P⊥Q ②m?P,n?Q,m∥n?P∥Q ③m?P,n?P,m∥n?P∥Q ④m⊥P,n⊥Q,m⊥n?P⊥Q 其中的假命题有( A.1 个 C.3 个 答案 C D.4 个 ) B.2 个

解析 ①为假命题,m 不一定与平面 Q 垂直,所以

平面 P 与 Q 不 一定垂直.命题②与③为假命题,②中两平面可以相交,③没有任何 实质意义.只有④是真命题,因为两平面的垂线所成的角与两平面所 成的角相等或互补. 2.命题 p:若平面 α⊥β,平面 β⊥γ,则必有 α∥γ;命题 q:若平 面 α 上不共线的三点到平面 β 的距离相等,则必有 α∥β.对以上两个命 题,下列结论中正确的是( A.命题“p∧q”为真 C.命题“p∨q”为真 答案 B ) B.命题“p∨q”为假 D.命题“綈 p 或非 q”为假

解析 据题意可知对于命题 p, 显然与一平面都垂直的两平面的位 置关系是平行或相交,如将一本书打开,每一张纸所在平面都与桌面 垂直,但这些平面相交,即命题 p 是假命题;对命题 q,只需使平面 α 内的两点连线与平面 β 平行,使第三点与这两点的连线与平面 β 的交 点为线段的中点即可满足条件,故命题 q 是假命题;A.由于 p 和 q 都

是假命题,因此命题:“p 且 q”应为假命题;B.由于 p 和 q 都是假命 题,故“p 或 q”应为假命题.故 B 正确;C 错误;D.由于 p 和 q 都是 假命题,故非 p 和非 q 都是真命题,从而“非 p 或非 q”为真命题,故 D 是错误的. 3.如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC 和 CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿着 AE 和 AF 及 EF 把正方形折成一个四面体, 使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 H,那么,在四面体 A-EFH 中必有( )

A.AH⊥△EFH 所在平面 B.AG⊥△EFH 所在平面 C.HF⊥△AEF 所在平面 D.AG⊥△EFH 所在平面 答案 A

解析 ∵AD⊥DF,AB⊥BE, ∵B、C、D 重合记为 H, ∴AH⊥HF,AH⊥HE, ∴AH⊥面 EFH. 4.对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题是真命题的是( A.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n )

C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m?α,n∥α,则 m∥n 答案 D

解析 若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m 与 n 平行、相交或异面, 应排除 A;若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 平行、相交或异面,应排除 B; 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,应排除 C. 5.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面, 则下列命题中正确的是( )

A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B.则 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C.若 m∥n,m∥α,则 n∥α D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β 答案 D

解析 对于选项 A,两平面 β、γ 同垂直于平面 α,平面 β 与平面 γ 可能平行,也可能相交;对于选项 B,平面 α、β 可能平行,也可能 相交;对于选项 C,直线 n 可能与平面 α 平行,也可能在平面 α 内; 对于选项 D,由 m∥n,m⊥α,∴n⊥α.又 n⊥β,∴α∥β,故选 D. 6.(2012· 郑州质检)设 α、β 是两个不同的平面,a、b 是两条不同 的直线,给出下列四个命题,其中真命题是( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,a∥b,则 α∥β C.若 a⊥α,b⊥β,a⊥b,则 α⊥β D.若 a、b 在平面 α 内的射影互相垂直,则 a⊥b 答案 C )

解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行,所以 A 错误;与

两条平行直线分别平行的两个平面未必平行,所以 B 错误;如图(1), 设 OA∥a,OB∥b,直线 OA、OB 确定的平面分别交 α、β 于 AC、BC, 则 OA⊥AC,OB⊥BC,所以四边形 OACB 为矩形,∠ACB 为二面角 α -l-β 的平面角,所以 α⊥β,C 正确;如图(2),直线 a、b 在平面 α 内的射影分别为 m、n,显然 m⊥n,但 a、b 不垂直,所以 D 错误,故 选 C.

7. 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 答案 A

解析

BD1⊥平面 AB1C.

8. 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC, 则 C1 在面 ABC 上的射影 H 必在( )

A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 CA 上 D.△ABC 内部 答案 A

解析 ∵CA⊥AB,CA⊥BC1,AB∩BC1=B, ∴CA⊥平面 ABC1.∴平面 ABC⊥平面 ABC1. ∴过 C1 作垂直于平面 ABC 的直线在平面 ABC1 内, ∴H∈AB. 9. 如下图所示,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是 圆 O 上的一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下列结 论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③

解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面 PBC, ∴AF⊥PB,AF⊥BC.又 AE⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面 AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确. 10.四面体 ABCD 中,AC=BD,E、F 分别是 AD、BC 的中点, 2 且 EF= 2 AC,∠BDC=90° . 求证:BD⊥平面 ACD. 证明

如图所示,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG、EF. ∵E、F 分别为 AD、BC 的中点, 1 1 ∴EG 綊2AC,FG 綊2BD. 1 又 AC=BD,∴FG=2AC. 1 ∴在△EFG 中,EG2+FG2=2AC2=EF2. ∴EG⊥FG.∴BD⊥AC. 又∠BDC=90° ,即 BD⊥CD,AC∩CD=C, ∴BD⊥平面 ACD. 11. (2012· 海淀区)如下图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.求 证:

(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD,∴CD⊥PA,

又 CD⊥AC,PA∩AC=A, 故 CD⊥平面 PAC,AE?平面 PAC,故 CD⊥AE. (2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60° ,故 PA=AC. ∵E 是 PC 的中点,故 AE⊥PC. 由(1)知 CD⊥AE, 从而 AE⊥平面 PCD,故 AE⊥PD. 易知 BA⊥PD,故 PD⊥平面 ABE. 12. (2012· 广东六校联考)如下图,四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,△PAD 为等腰三角形,∠APD=90° ,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC、BD 的中点.

(1)证明:EF∥平面 PAD; (2)证明:平面 PDC⊥平面 PAD; (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积. 解析 (1)证明:如图,连接 AC.

∵四边形 ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点. ∴F 也是 AC 的中点. 又 E 是 PC 的中点,EF∥AP, ∵EF?平面 PAD,PA?平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. (2)证明: ∵面 PAD⊥平面 ABCD, CD⊥AD, 平面 PAD∩平面 ABCD =AD, ∴CD⊥平面 PAD. ∵CD?平面 PDC,∴平面 PDC⊥平面 PAD.

(3)取 AD 的中点为 O.连接 PO ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,△PAD 为等腰直角三角形, ∴PO⊥平面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. ∵AD=2,∴PO=1.又 AB=1. 1 2 ∴四棱锥 P—ABCD 的体积 V=3PO· AB· AD=3. 13. 如下图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC =BC=BB1=2,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1.

(1)求证:BB1⊥平面 ABC; (2)求证:BC1∥平面 CA1D; (3)求三棱锥 B1-A1DC 的体积. 解析 (1)证明:∵AC=BC,D 为 AB 的中点,∴CD⊥AB.

又∵CD⊥DA1,

∴CD⊥平面 ABB1A1. ∴CD⊥BB1. 又 BB1⊥AB,AB∩CD=D, ∴BB1⊥平面 ABC. (2)证明:连接 BC1,连接 AC1 交 CA1 于 E,连接 DE,易知 E 是 AC1 的中点, 又 D 是 AB 的中点,则 DE∥BC1, 又 DE?平面 CA1D,BC1?平面 CA1D, ∴BC1∥平面 CA1D. (3)由(1)知 CD⊥平面 AA1B1B, 故 CD 是三棱锥 C-A1B1D 的高, 在 Rt△ACB 中,AC=BC=2, ∴AB=2 2,CD= 2,又 BB1=2, 1 1 1 ∴ VB1 - A1DC = VC - A1B1D = 3 S △ A1B1D· CD = 6 A1B1×B1B×CD = 6 4 ×2 2×2× 2=3. 14. (2011· 安徽理)如下图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC, △ODE,△ODF 都是正三角形.

(1)证明直线 BC∥EF; (2)求棱锥 F-OBED 的体积.

解析

(1)(综合法)设 G 是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点, 由于

△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以 1 OB 綊2DE,OG=OD=2. 同理,设 G′是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点,有 OG′=OD =2.又由于 G 和 G′都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G′重合. 1 1 在△GED 和△GFD 中,由 OB 綊2DE 和 OC 綊2DF,可知 B,C 分别是 GE 和 GF 的中点,所以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF. (向量法)过点 F 作 FQ⊥AD, 交 AD 于点 Q, 连接 QE, 由平面 ABED → ⊥平面 ADFC, 知 FQ⊥平面 ABED, 以 Q 为坐标原点, QE为 x 轴正向, → → QD为 y 轴正向,QF为 z 轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.

3 3 3 3 由条件 E( 3,0,0),F(0,0, 3),B( 2 ,-2,0),C(0,-2, 2 ). → 3 3 则有BC=(- 2 ,0, 2 ), → EF=(- 3,0, 3). → → 所以EF=2BC,即得 BC∥EF. 3 (2)由 OB=1,OE=2,∠EOB=60° ,知 SEOB= 2 ,而△OED 是 边长为 2 的正三角形,故 SOED= 3,所以 3 3 SOBED=SEOB+SOED= 2 . 过点 F 作 FQ⊥AD, 交 AD 于点 Q, 由平面 ABED⊥平面 ACFD 知, 1 FQ 就是四棱锥 F-OBED 的高, 且 FQ= 3, 所以 VF-OBED=3FQ· SOBED 3 =2.

1.(2012· 西城区)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD = 2,BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD,

使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是(

)

A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° 1 D.四面体 A′-BCD 的体积为3 答案 B

解析 取 BD 的中点 O,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,又平面 A′BD⊥平面 BCD,∴A′O⊥平面 BCD.∵CD⊥BD. ∴OC 不垂直于 BD,假设 A′C⊥BD,∵OC 为 A′C 在平面 BCD 内的射影,∴OC⊥BD,矛盾,所以 A′C 不垂直于 BD,A 错误;∵ CD⊥BD,平面 A′BD⊥平面 BCD,∴CD⊥平面 A′BD,A′C 在平 面 A′BD 内的射影为 A′D,∵A′B=A′D=1,BD= 2,∴A′B ⊥A′D,A′B⊥A′C,B 正确;∠CA′D 为直线 CA′与平面 A′BD 1 1 所成的角,∠CA′D=45° ,C 错误;VA′-BCD=3S△A′BD· CD=6,D 错 误,故选 B. 2.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面, 则下列命题正确的是( ) B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β

答案

B

解析 对于选项 A,若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 可能平行、相交或 异面;对于选项 C,α 与 β 也可能相交;对于选项 D,α 与 β 也可能相 交.故选 B. 3. (2011· 江西南昌一模)在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 AB 的中点,则点 C 到平面 A1DM 的距离为( )

6 A. 3 a 2 C. 2 a 答案 A

6 B. 6 a 1 D.2a

解析 设点 C 到平面 A1DM 的距离为 h,则由已知得 DM=A1M= 1 =2× 2a× a 5 a2+?2?2= 2 a,A1D= 2a,S△A1DM 5 2 6 ? 2 a?2-? 2 a?2= 4 a2,连接 CM,

1 S△CDM=2a2,由 VC-A1DM=VA1-CDM,得

1 1 S △A1DM· h = 3 3S

△CDM

· a,即

6 2 1 2 a · h = a, 4 2a ·

6 6 所以 h= 3 a,即点 C 到平面 A1DM 的距离为 3 a,选 A. 4. (2011· 辽宁文)如下图, 四边形 ABCD 为正方形, QA⊥平面 ABCD, 1 PD∥QA,QA=AB=2PD. (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值.

解析

(1)由条件知 PDAQ 为直角梯形.

因为 QA⊥平面 ABCD, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD, 交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,所以 DC⊥平面 PDAQ,可 得 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 2 PD,则 PQ⊥QD. 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高,所以棱锥 Q- 1 ABCD 的体积 V1=3a3. 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高, 而 PQ= 2a, △DCQ 的面积为 2 2 1 3 a ,所以棱锥 P - DCQ 的体积 V 2= a . 2 3 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1.

5. (2012· 潍坊质量抽测)已知三棱锥 S-ABC 中,平面 ASC⊥平面 2 ABC,O、D 分别为 AC、AB 的中点,AS=CS=CD=AD= 2 AC. (1)求证:平面 ASC⊥平面 BCS; (2)设 AC=2,求三棱锥 S-BCD 的体积.

解析

2 (1)证明:连接 SO,OD,因为 AS=CS=CD=AD= 2 AC,

O 为 AC 的中点,所以 SO⊥AC,OD⊥AC,

又 D 为 AB 的中点,∴OD∥BC.∴BC⊥AC. 又平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC, 所以 SO⊥平面 ABC.所以 SO⊥BC. 又 SO∩AC=O,故 BC⊥平面 SAC. 又 BC?平面 BCS,所以平面 ASC⊥平面 BCS. (2)由(1)知,SO 为三棱锥 S-BCD 的高. 1 因为 AC=2,所以 AS=SC= 2,AO=2AC=1,AB=2AD= 2AC =2 2,所以 BC= AB2-AC2=2, SO= AS2-AO2= ? 2?2-12=1.

1 11 1 ∴S△BCD=2S△ABC=2· AC · BC = 2 4×2×2=1, 1 1 1 ∴VS-BCD=3· S△BCD· SO=3×1×1=3.

1.(2012· 宝鸡模拟)已知正四面体 A-BCD,设异面直线 AB 与 CD 所成的角为 α,侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为 β,侧面 ABC 与底面 BCD 所成的角为 γ,则( A.α>β>γ C.β>α>γ 答案 B B.α>γ>β D.γ>β>α )

解析 如图,取底面 BCD 的中心为点 O,连接 AO,BO,易知∠ π ABO=β, 取 BC 的中点 E, 连接 AE、 OE, 易知∠AEO=γ, 易知 0<β<γ<2, 延长 BO 交 CD 于 F,则 BF⊥CD,又 AO⊥CD,∴CD⊥平面 ABF, π ∴CD⊥AB,即 α=2.∴α>γ>β,选 B. 2.已知 m,n,l 为三条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则 下列命题中正确的是( )

A.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α 答案 D

B.l⊥β,α⊥β?l∥α

D.α∥β,l⊥α?l⊥β

解析 此类问题只需举反例即可,对于 A,m,n 还可能是异面直 线;对于 B,l?α 也有可能;对于 C,n?α 也有可能,因此选 D. 3.已知 α、β 表示两个不同的平面,m 是一条直线且 m?α,则“α ⊥β”是“m⊥β”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B ) B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 若 m⊥β,m?α,则由面面垂直的判定定理得 α⊥β,但反 之不成立,∴选 B. 4.(2012· 山东潍坊质量抽测)已知直线 m、l 和平面 α、β,则 α⊥β 的充分条件是( ) B.m⊥l,α∩β=m,l?α D.m∥l,l⊥β,m?α

A.m⊥l,m∥α,l∥β C.m∥l,m⊥α,l⊥β 答案 D m⊥l ? 解析 由

m∥α?? / α⊥β,如下图. l∥β

? ? ?

m⊥l 由

? ? α∩β=m?? / α⊥β,如下图. ? ? l ?α

m∥l ? 由

m⊥α?? / α⊥β,如下图. l⊥β

? ? ?

所以选项 A,B,C 都不对.由选项 D 能推出 α⊥β,所以 D 正确, 故选 D.

5. (2012· 东城区)如下图,在平行四边形 ABCD 中,CD=1,∠BCD =60° ,且 BD⊥CD,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G、 H 分别是 DF、BE 的中点.

(1)求证:BD⊥平面 CDE; (2)求证:GH∥平面 CDE; (3)求三棱锥 D-CEF 的体积. 解析 (1)证明:∵四边形 ADEF 是正方形,∴ ED⊥ AD.又平面

ADEF⊥平面 ABCD, 平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, ∴ED⊥平面 ABCD.∴ED⊥BD. 又 BD⊥CD,且 ED∩DC=D,∴BD⊥平面 CDE. (2)证明:连接 EA. ∵G 是 FD 的中点,四边形 ADEF 是正方形, ∴G 是 AE 的中点,又易知 H 是 FC 的中点, ∴在△FCD 中,GH∥CD. 又∵CD?平面 CDE,GH?平面 CDE,∴GH∥平面 CDE. (3)设 Rt△BCD 中,BC 边上的高为 h, ∵CD=1,∠BCD=60° ,BD⊥CD, ∴BC=2,BD= 3. 1 1 ∴2×2×h=3×1× 3.

3 3 ∴h= 2 ,即点 C 到平面 DEF 的距离为 2 , 1 1 3 3 ∴VD-CEF=VC-DEF=3×2×2×2× 2 = 3 . 6. 如下图,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60° ,AB=2,AD=4. 将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平面 EBD⊥平面 ABD.

(1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥 E-ABD 的侧面积. 解析 (1)在△ABD 中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60° ,

∴BD= AB2+AD2-2AB· ADcos∠DAB=2 3.

∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD. 又∵平面 EBD⊥平面 ABD, 平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB?平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD. ∵DE?平面 EBD,AB⊥DE.

(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB,∴CD⊥BD,从而 DE⊥BD. 在 Rt△DBE 中,∵DB=2 3,DE=DC=AB=2, 1 ∴S△DBE=2DB· DE=2 3. 又∵AB⊥平面 EBD,BE?平面 EBD,∴AB⊥BE. 1 ∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE=2AB· BE=4. ∵DE⊥BD,平面 EBD⊥平面 ABD, ∴ED⊥平面 ABD. 而 AD?平面 ABD,∴ED⊥AD, 1 ∴S△ADE=2AD· DE=4. 综上,三棱锥 E-ABD 的侧面积 S=8+2 3.

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