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2012高三上12月理科aaabbb


天津一中 2012—2013 学年高三数学三月考试卷(理科) 一、选择题:

2?i ? 2?i 3 4 A. ? i 5 5
1.复数

B.

3 4 ? i 5 5

C. 1 ?

4 i 5

D. 1 ?

3 i 5<

br />
2 . “ m ? ?1 ” 是 “ 直 线 m x? ( 2 m? 1 ) y? 1 ?和 0直 线 垂直”的 3x ? m y? 3 ? 0 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.执行右图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 A. ? 1 B.

2 3

C.

3 2

D.4

4.函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? log2 x 的零点所在的一个区间是 A. ? , ?
9

?1 1? ?8 4?

B. ?

?1 1? , ? ?4 2?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. (1,2)

1? ? 5. ? x ? ? 展开式中的常数项是 x? ?
A. ?36 B. 36 6. a ? log 9 C. ?84 D. 84

3 1 , b ? log8 3, c ? ,则 a, b, c 的大小关系是 2 4
B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a
2

A. a ? b ? c

7.△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a sin A sin B ? b cos A ? 则

2a ,

b ? a
B. 2 2 C. 3 D. 2
?

A. 2 3

8.在平面内,已知 OA ? 1, OB ? 3 , OA ? OB ? 0 , ?AOC ? 30 ,设 OC ? mOA ? nOB ,

( m, n ? R ) ,则 A. ? 3 二、填空题:

m 等于 n
B. ? 3 C. ?

1 3

D. ?

3 3

9.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级 的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 名学生。

PC 与圆 O 交于点 B ,PA ? 4 , 10. 如图, 已知 PA 是圆 O 的切线, 切点为 A ,AC 是圆 O 的直径,
圆 O 的半径是 2 3 ,那么 PB ? __________ 。

11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



12.已知抛物线的参数方程为 ?

? x ? 8t 2 ? y ? 8t

( t 为参数) ,焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, 。

PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么 PF ?

13.设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x 1 ? x ? 5, x ? R ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 取值 范围是 。

?

?

?

?

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? π ? ? ? 14.已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x ) ? a sin( x ) ? 2a ? 2,( a ? 0) ,若存在 3 6 ? 2 x , x ? ? 1 ,1? ? ? ? ?2 ? ? x ?1

x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是



三、解答题: 15.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x ? sin( x ?
2

?
2

) , x?R

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

(2)若 x ? ??

? ? ?? , ,求函数 f ( x) 的值域 ? 12 2 ? ?

16.有甲,乙两个盒子,甲盒中装有 2 个小球,乙盒中装有 3 个小球,每次随机选取一个盒子并 从中取出一个小球 (1)当甲盒中的球被取完时,求乙盒中恰剩下 1 个球的概率; (2)当第一次取完一个盒子中的球时,另一个盒子恰剩下 ? 个球,求 ? 的分布列及期望 E? 。

17 . 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB ∥ CD , ∠ ABC=90 ,

AB = PB = PC = BC = 2CD ,平面 PBC ⊥平面 ABCD .
(1)求证: AB ⊥平面 PBC ; (2)求平面 PAD 和平面 BCP 所成二面角(小于 90° )的大小; (3) 在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ?若存在, 求 的值;若不存在,请说明理由.
B A P

PM PB

C

D

4 x ,右焦点 F (5,0) , 3 9 双曲线的实轴为 A1 A2 ,P 为双曲线上一点 (不同于 A1 , A2 ) , 直线 A1 P ,A2 P 分别与直线 l : x ? 5
18.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为 y ? 交于 M , N 两点 (1)求双曲线的方程; (2) FM ? FN 是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由。

19.已知 a1 ? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2x 的图象上,其中 n ? 1, 2,3
2

(1)证明数列 ?lg(1 ? an )? 是等比数列; (2)设 Tn ? (1 ? a1 ) ? (1 ? a2 ) ? (3)记 bn ?

? (1 ? an ) ,求 Tn 及数列 ?an ? 的通项;

1 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 ? an an ? 2

20.已知函数 f ( x) ?

ln x ? 1. x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 m ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 [m, 2m] 上的最大值; (3)证明:对 ?n ? N ,不等式 ln(
*

2?n e 2?n ) ? 恒成立。 n n

参考答案 一、选择题: 1-4 AADC 5-8 CDDB

二、填空题: 9. 15 10. 2 11. 3? 12. 8 13. a ? 0或 ? 6 14. ? , ? ?2 3? 三、解答题: 15. (1) f ( x) ? sin( 2 x ? (2) ?

?1 4?

?
6

)?

1 ,T ? ? 2

?1 ? 3 3 ? , ? 2? ? 2
2

16.解: (1) P ? C3 ( ) ?
2

1 2

1 1 3 ? ? 2 2 16

(2) ? ? 1, 2,3

1 3 1 1 4 P(? ? 1) ? C32 ( ) 4 ? C3 ( ) ? 2 2 8 1 3 1 1 3 P(? ? 2) ? ( )3 ? C2 ( ) ? 2 2 8 1 1 15 P(? ? 3) ? ( ) 2 ? E? ? 2 4 8
17. (Ⅰ)证明:因为 ? ABC 所以 AB ? BC . 因为 平面 PBC ^ 平面 ABCD ,平面 PBC

90 ,
………………………………………1 分 平面 ABCD = BC ,

AB ? 平面 ABCD ,
所以 AB ^ 平面 PBC . (Ⅱ)解:取 BC 的中点 O ,连接 PO . 因为 PB = PC , 所以 PO ? BC . 因为 平面 PBC ^ 平面 ABCD ,平面 PBC 所以 PO ^ 平面 ABCD . 平面 ABCD = BC , PO ? 平面 PBC , ………………………………………4 分 ………………………………………3 分

如图,以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直 线为 y 轴, OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz .不妨设 BC = 2 .由 直角梯形 ABCD 中 AB = PB = PC = BC = 2CD 可得 P(0,0, 3) , D(- 1,1, 0) ,

A(1, 2, 0) .
所以 DP = (1, - 1, 3) , DA = (2,1,0) .
P z

设平面 PAD 的法向量 m = ( x, y, z ) .

ì ? m ?DP 因为 ? í ? ? ? m ?DA

0, 0.
B x

C O

D y A

ì ? ( x, y, z ) ?(1, 1, 3) = 0, 所以 ? í ? ? ? ( x, y, z ) ?(2,1, 0) 0,
即? í

ì ? x - y + 3 z = 0, ? ? ? 2 x + y = 0.

令 x = 1 ,则 y = - 2, z = 所以 m = (1, - 2, -

3.
………………………………………7 分

3) .

取平面 BCP 的一个法向量 n ? ? 0,1,0 ? . 所以 cos m, n ?

m?n 2 . ?? m n 2

所以 平面 ADP 和平面 BCP 所成的二面角(小于 90° )的大小为

? . 4

………………………………………9 分 (Ⅲ)解:在棱 PB 上存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ,此时

PM 1 = . 理由如下: PB 2

………………………………………10 分 取 AB 的中点 N ,连接 CM , CN , MN . 则 MN ∥ PA , AN = 因为 AB = 2CD ,
M

1 AB . 2

P

所以 AN = CD . 因为 AB ∥ CD , 所以 四边形 ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥ AD . 因为 MN
B

C

D A

N

CN = N , PA

AD = A ,
………………………………………13 分

所以 平面 MNC ∥平面 PAD . 因为 CM ? 平面 MNC , 所以 CM ∥平面 PAD . 18. (1)

………………………………………14 分

x2 y 2 ? ?1 9 16
9 5

(2) A1 (?3, 0), A2 (3, 0), F (5, 0)设P( x, y ), M ( , y0 )

? A1 P ? ( x ? 3, y ), A1M (

24 , y0 ) 5 24 24 y y ? 0 ? y0 ? 5 5 x ? 15

因为 A1 , P, M 三点共线? ( x ? 3) y0 ?

9 24 y 9 6y ?M ( , ) ,同理 N ( , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15 16 24 y 16 6y ? FM ? (? , ), FN ? (? , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15

FM ? FN ?

256 144 y 2 ? ? 25 25 x 2 ? 9

y2 16 ? 2 x ?9 9

? FM ? FN ? 0

2 19. (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an , ?an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两边取对数得 lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即
lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )

?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32
0 1 2 n-1

n?1

?1 ? an ? 32 (*)
2

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32 ? 31?2?2
由(*)式得 an ? 32 (Ⅲ)
n?1

?…+2n-1

=3

2n -1

?1
? 1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2

2 an?1 ? an ? 2an ?an?1 ? an (an ? 2)

?

1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1
n

又 bn ?

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(
n?1

an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ?
20. (本小题满分 14 分)

2 3 ?1
2n

.


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