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必修二第三章直线与方程教案


第三章
一、概念理解: 1、倾斜角:①找α :直线向上方向、x 轴正方向; ②平行:α =0°; ③范围:0°≤α <180° 。 2、斜率:①找 k :k=tanα (α ≠90°) ; ②垂直:斜率 k 不存在; ③范围: 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标: k ? tan? ?

直线与方程

y1 ? y2 y2 ?

y1 ? x1 ? x2 x2 ? x1

①构造直角三角形(数形结合) ; ②斜率 k 值于两点先后顺序无关; ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系: l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ①相交:斜率 k1 ? k 2 (前提是斜率都存在) 特例----垂直时:<1> l1 ? x轴,即k1不存在,则 k2 ? 0 ; <2> 斜率都存在时: k1 ? k2 ? ?1 。 ②平行:<1> 斜率都存在时: k1 ? k2 , b1 ? b2 ; <2> 斜率都不存在时:两直线都与 x 轴垂直。 ③重合: 斜率都存在时: k1 ? k2 , b1 ? b2 ; 二、方程与公式: 1、直线的五个方程: ①点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ②斜截式: y ? kx ? b ③两点式: 将已知点 ( x0 , y0 )与斜率k 直接带入即可; 将已知截距 (0, b)与斜率k 直接带入即可;

y ? y1 x ? x1 ? , (其中x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 将已知两点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 直接带入即可; y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b
将已知截距坐标 (a,0), (0, b) 直接带入即可;

④截距式:

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0 在距离公式当中会经常用到直线的 “一般式方程” 。 2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可(可简记为“方程组思想” ) 。 3、距离公式:

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ①两点间距离: P 1P 2 ?
2

2

推导方法:构造直角三角形“勾股定理” ;

1

②点到直线距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C2 A2 ? B 2

推导方法:构造直角三角形“面积相等” ;

③平行直线间距离: d ?

推导方法:在 y 轴截距 (0, C1 ) 代入②式;

4、中点、三分点坐标公式:已知两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 推导方法:构造直角“相似三角形” ; 2 2 2 x ? x2 2 y1 ? y2 , ) 靠近 A 的三分点坐标 ②AB 三分点 (s1 , t1 ), (s2 , t2 ) : ( 1 3 3 x ? 2 x2 y1 ? 2 y2 ( 1 , ) 靠近 B 的三分点坐标 推导方法:构造直角“相似三角形” 。 3 3
①AB 中点 ( x0 , y0 ) : ( ? 中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。 ? 三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题。 三、解题指导与易错辨析: 1、解析法(坐标法) : ①建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标; ②依据代数关系(点在直线或曲线上) ,进行有关代数运算,并得出相关结果; y ③将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明” 。 2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” : ① PA ? PB 的最小值:找对称点再连直线,如右图所示: ② PA ? PB 的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边” ;
2 2

o

x

③ PA ? PB 的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴” 。 3、直线必过点:① 含有一个未知参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3 令:x+2=0 => 必过点(-2,3) ② 含有两个未知参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令:3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析: ① 讨论斜率的存在性: 解题过程中用到斜率,一定要分类讨论: <1>斜率不存在时,是否满足题意; <2>斜率存在时,斜率会有怎样关系 ② 注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解; (求解直线与坐标轴围成面积时, 较为常见。 ) ③ 直线到两定点距离相等,有两种情况: <1> 直线与两定点所在直线平行; <2> 直线过两定点的中点。 (求解过某一定点的直线方程时, 较为常见。 )

2

一选择题
1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为( A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 ) D. 2 x ? y ? 5 ? 0 ) )

2.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A. x ? 2 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0

C. x ? 2 y ? 5 ? 0

3. 在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x
D )

O

x

A B C 4.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a=(

2 A. ? 3

2 B. 3

3 C. ? 2

3 D. 2
)

5.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线的方程是(

A. B.

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x1 ? x2

C.( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? 0 D.( x2 ? x1 )( x ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y ? y1 ) ? 0
6、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 o D、K1﹤K3﹤K2 L3 ) L2 x L1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为( ) A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0 C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( ) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 9、直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则( ) A.a=2,b=5; B.a=2,b= ? 5 ; C.a= ? 2 ,b=5; D.a= ? 2 ,b= ? 5 . 10、直线 2x-y=7 与直线 3x+2y-7=0 的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)

3

11、过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是( A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 二填空题 12. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程



_____;

13 两直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,则 k 的值是 14、两平行直线 x ? 3 y ? 4 ? 0与2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的距离是



15 空间两点 M1(-1,0,3),M2(0,4,-1)间的距离是 三计算题 16、已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) ,M 是 BC 边上的中点。 (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线方程。

17、求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形,并且两截距之差为 3 的直线的方程。

18. 直线 x ? m y ? 6 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? 3m y ? 2m ? 0 没有公共点,求实数 m 的值。
2

19.求经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点,且分别与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 (1)平 行, (2)垂直的直线方程。

4

20、 (16 分)过点(2,3)的直线L被两平行直线L1:2x-5y+9=0与 L2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,求直线L的方程

测试题答案
1-5 BACAC 6-10 AADBA 11 A 12.y=2x 或 x+y-3=0 13. ± 6

14 、

10 20

15. 33
16、解: (1)由两点式写方程得

y ?5 x ?1 ? ,即 6x-y+11=0 ?1? 5 ? 2 ?1



直线 AB 的斜率为

k?

?1? 5 ?6 ? ? 6 直线 AB 的方程为 ? 2 ? (?1) ? 1

y ? 5 ? 6( x ? 1) 即 6x-y+11=0

(2)设 M 的坐标为( x0 , y0 ) ,则由中点坐标公式得

?2?4 ?1? 3 ? 1, y 0 ? ? 1 故 M(1,1) AM ? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 2 2 5 ?1 ? ?6 设 AB 边的高所在直线的斜率为 k (3)因为直线 AB 的斜率为 kAB= ?3 ? 2 1 则有 k ? k AB ? k ? (?6) ? ?1? k ? 6 1 所以 AB 边高所在直线方程为 y ? 3 ? ( x ? 4)即x ? 6 y ? 14 ? 0 6 x y 1 ? ? 1 则有题意知有 ab ? 3 ? ab ? 4 17.解:设直线方程为 a b 2 x0 ?
又有① a ? b ? 3则有b ? 1或b ? ?4(舍去) 此时 a ? 4直线方程为x+4y-4=0 ② b ? a ? 3则有b ? 4或-1(舍去)此时a ? 1直线方程为4 x ? y ? 4 ? 0 18.方法(1)解:由题意知

? x ? m2 y ? 6 ? 0 即有(2m 2 -m 3 +3m)y=4m-12 ? ?(m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 因为两直线没有交点,所以方程没有实根,所以2m 2 -m 3 +3m=0 ?m (2m-m 2 +3)=0 ? m=0或m=-1或m=3 当m=3时两直线重合,不合题意,所以m=0或m=-1
5

方法(2)由已知,题设中两直线平行,当

m ? 2 3m 2m m ? 2 3m m ? 0时, = 2 ? 由 = 2 得m ? 3或m ? ?1 1 m 6 1 m 3m 2m 由 2 ? 得m ? ?3所以m ? ?1 m 6
当 m=0 时两直线方程分别为 x+6=0,-2x=0,即 x=-6,x=0,两直线也没有公共点, 综合以上知,当 m=-1 或 m=0 时两直线没有公共点。 19 解:由 ?

?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 1 ,得 ? ;∴ l1 与 l 2 的交点为(1,3) 。 x ? y ? 2 ? 0 y ? 3 ? ?

(1) 设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线为 2 x ? y ? c ? 0 则 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=1。 ∴所求直线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 。 方法 2 :∵所求直线的斜率 k ? 2 ,且经过点( 1 , 3 ) ,∴求直线的方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,即

2x ? y ? 1 ? 0 。
(2) 设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线为 x ? 2 y ? c ? 0 则 1 ? 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=-7。 ∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 。 方法 2:∵所求直线的斜率 k ? ?

1 1 ,且经过点(1,3) ,∴求直线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) ,即 2 2

x ? 2y ? 7 ? 0 。
20、 解: 设线段AB的中点 P 的坐标 (a, b) , 由 P 到 L1, 得 、L2 的距离相等,

?2a ? 5b ? 9? ? ?2a ? 5b ? 7?
2 2 ? 52 2 2 ? 52

经整理得, 2a ? 5b ? 1 ? 0 ,又点 P 在直线x-4y-1=0上,所以 a ? 4b ? 1 ? 0 解方程组 ?

?2a ? 5b ? 1 ? 0 ?a ? 4b ? 1 ? 0

得?

?a ? ?3 即点 P 的坐标(-3,-1) ,又直线 L 过点(2,3) ?b ? ?1

所以直线L的方程为

y ? (?1) x ? (?3) ? ,即 4 x ? 5 y ? 7 ? 0 3 ? (?1) 2 ? (?3)

6


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